一组规律探寻问题的呈现、分析、求解及思考

2018-03-30浙江临海市大石中学梁素芬

中学数学杂志 2018年6期

☉浙江临海市大石中学梁素芬

《义务教育数学课程标准（2011年版）》在第三学段（7～9年级）对知识技能的要求里面明确提到：探索具体问题中的数量关系和变化规律，掌握用代数式、方程、不等式、函数进行表述的方法.

规律探寻类问题符合其知识技能的考查要求，这类问题的综合性强，一是体现在考查的知识点较多，不管是代数，还是几何，亦或是代数与几何结合，都可以找到很多的考查点；二是这类问题更多的是侧重于对学生掌握的“隐性知识”进行考查，如数形结合、化归与转化的数学思想，以及学生的观察、实验、猜测、联想、推理和总结的能力等.

一、一组规律探寻问题

（1）（数列类，根据2016年济宁市中考题改编）按一定规律排列的一列数：1，3，6，10，□，21，28，….请你仔细观察，按照此规律，方框内的数字应为______.

（2）（数式类，根据2016年滨州市中考题改编）观察下列式子：

13=12；

13+23=32；

13+23+33=62；

13+23+33+43=102；

……

可猜想第n个式子为______.

（3）（数形类，2017年临沂市中考题）将一些相同的“○”按图1所示摆放，观察每个图形中“○”的个数，若第n个图形中“○”的个数为78，则n的值是（）.

A.11 B.12 C.13 D.14

（4）（数阵类，2017年黔东南州中考题）我国古代许多数学的创新和发展都位居世界前列，如南宋数学家杨辉（约13世纪）所著的《详解九章算术》一书中，用图2所示的三角形解释二项和（a+b）n的展开式的各项系数，此三角形称为“杨辉三角”.

根据“杨辉三角”，请计算（a+b）20的展开式中第三项的系数为（）.

A.2017 B.2016 C.191 D.190

二、分析与求解

解答上述四个题目的关键是对下面一列数的把握：1，3，6，10，15，21，28，…，这列数的规律比较明显，第二项比第一项多2，第三项比第二项多3，第四项比第三项多4，……，第n项比第n-1项多n；深层次的规律是第一项等于1，第二项等于1+2，第三项等于1+2+3，第四项等于1+2+3+4，……，第n项等于1+2+3+…+n，所以每一项的一般形式应该为（用倒序相加法求得）.

第（1）题的答案为：15；第（2）题的答案为：13+23+33+；第（3）题只需令=78即可，解得n=12，所以答案为B；第（4）题关于杨辉三角的整体规律不用考虑（如果考虑了，反而麻烦了），只需考虑每个展开式中第三项的系数即可，所以求（a+b）20的展开式中第三项的系数只需令中的n等于19即可，所以答案为D.

这类问题以不同的形式（列、式、形、阵）出现，但都和“数”有关系，解决这类问题的关键是发现“数”与“n”的关系，培养学生良好的“数感”，相当于建立一个定义在所有正整数上的函数关系.在教学或学习中可以熟记下列常见的几列数：1，2，3，4，…，n，…；1，3，5，7，…，2n-1，…；2，4，6，8，…，2n，…；1，4，9，16，…，n2，…（常称为“正方形数”）；1，3，6，…，…（常称为“三角形数”）.

下面分别以“1，3，5，7，…，2n-1，…”和“1，3，6，…，，…”为例，介绍另外一种方法.

对于“1，3，5，7，…，2n-1，…”，可以发现这列数的深层特点：后面一项与前面一项的差等于常数（高中称为等差数列，在此不提），我们则称满足上述类型特点的一列数为“一次函数型”，下面以“1，2，3，4，…，n，…”为自变量，“1，3，5，7，…，2n-1，…”为函数值，建立函数关系.设y=an+b，将（1，1）、（2，3）代入上式，解得a=2，b=-1，所以这列数的一般形式为：2n-1.

三、两点思考

通过上述对“规律探寻”这类问题的示例、求解、分析，可以发现这类问题比较受命题者青睐，因此在教学中应该引起一线教师的足够重视.可以大胆预测，在以后的中考试题中，此类问题还会大量存在，甚至会“只增不减”.

1.知识与能力并重.

对于“规律探寻问题”，在教学中应该做到知识和能力并重.在知识方面，如上面提到的一些基本的方法、基本的题型要认真总结，但是不能陷于“题海战术”，因此要重视能力方面的培养，特别是提出问题和发现问题的能力，如上述第（4）题的解题方法就是学生发现的，作为教师，可能更多的是关注杨辉三角整体的性质（这和教师的知识储备有关系），而学生却能够真正“走”进命题者的心里，洞悉命题意图，使得此题变“活”，富有灵性，实现和命题者的对话.

2.素养与育人共舞.

随着《中国学生发展核心素养》的提出，可以看出这类问题考查的方向与此是不谋而合的，如学生需要抽象出n与第n个数之间的关系，重要的是在抽象过程中需要较高的逻辑推理能力.此外，这类问题在教学中可以很好地实现学科育人，如上述题组中就出现了历史上有名的三角形数、正方形数及杨辉三角，这是一种“美”的体现.因此对于这类问题，在教学中只有注意到了素养与育人共舞，才能够真正“跳出题海”，才能够还数学以“美”的本来面貌.