对一道期末考试“新定义型”试题的探析

☉浙江省绍兴市柯桥区平水镇中学 沈岳夫

《义务教育数学课程标准（2011年版）》中明确指出：数学在应用方面需要大力加强，鼓励学生发现数学的规律和问题解决的途径，使他们经历知识的形成过程.“新定义型”试题是考查学生数学能力的最好题型之一，它既能考查学生适应新问题、接受新知识、认识新事物的能力，又能考查学生的自学能力，信息的收集、迁移和应用能力.此类题型新颖别致，颇具魅力，已成为中考试题中的一朵奇葩，其中对新概念信息的提取、化归转化和分类是求解的关键，也是一个难点.本文以柯桥区2017学年第一学期期终学业评价调测试卷八年级数学第26题“新定义型”试题为例，谈谈自己的一些认知与探析.这条线段定义为原三角形的“和谐分割线”.例如，如图1，等腰直角三角形斜边上的中线就是一条“和谐分割线”.

（1）判断（对的打“√”，错的打“×”）

①等边三角形不存在“和谐分割线”；（ ）

②若三角形中有一个角是另一个角的两倍，则这个三角形必存在“和谐分割线”.（）

（2）如图2，Rt△ABC，∠C=90°，∠B=30°，AC=2，请画出“和谐分割线”，并计算“和谐分割线”的长度.

（3）如图3，线段CD是△ABC的“和谐分割线”，∠A=42°，求∠B的度数.

一、试题呈现

题目 定义：经过三角形的一个顶点的线段把三角形分成两个小三角形，如果其中一个三角形是等腰三角形，另外一个三角形和原三角形的三个内角相等，那么把

本题的母题源于2016年宁波市中考数学试卷，经命题人改编而生成次压轴题，此题是以三角形为依托，全面考查了三角形、特殊三角形、勾股定理等知识点及分类讨论的数学思想，综合性较强.在阅卷结束时，笔者发现此题得分率很低，得满分（满分8分）者寥寥无几，特别是第（3）小题不少学生无从下手，失分现象尤为严重.那么该题如何解？笔者愿以此文与各位同仁探讨.

二、思路探析

毋容置疑，这是一道设置新颖、独特的期末考次压轴拉分题，命题人将一道“新定义型”的题目设置成三个问题，难度由浅入深，层层递进，学生的思维需要拾级而上.三个问题所表现的功能泾渭分明，清晰可见，问题之间确立的关系起承转合，水到渠成.第（1）问谓“起”.问题的起源，起点低，容易上手，激发了学生进一步探究“和谐分割线”的理解与运用.第（2）问谓“承”.承上启下，把第（1）问中的正误判断过渡到画出“和谐分割线”并计算它的长度，为第（3）问的设置作好铺垫.第（3）问谓“转”.峰回路转，问题的考查的能力、基本思想和呈现方式都发生了很大变化.在求解时需积累感悟第（2）问的经验逆向思考，然后进行分级分类思考，即先考虑△ACD或△BCD是等腰三角形，然后再考虑腰、底边的情形，这才是破解第（3）问的关键.当然这些念头其实是前两小题迁移而来，是一种顺势而为，是一种经验的“喷薄”.

解：（1）①填“√”；②填“√”.

（2）由题意，作∠A的平分线，交BC与点D，则AD为“和谐分割线”，进而可求得AD=

（3）此题需要进行两级分类思考：

当△ACD是等腰三角形时，

若AC=AD，因为∠A=42°，则∠ACD=∠ADC=69°，所以∠CDB=111°.由题意得∠ACB=111°，所以∠DCB=111°-69°=42°，进而可得∠B=27°；

若AD=CD，因为∠A=42°，则∠ACD=∠A=42°，所以∠CDB=84°.由题意得∠ACB=84°，所以∠DCB=84°-42°=42°，进而可得∠B=54°；

若AC=CD，因为∠A=42°，则∠CDA=∠A=42°，所以∠CDB=138°.由题意得∠ACB=138°，所以∠BCD=138°-96°=42°，进而可得∠B=0°，不合题意，舍去.

当△BCD是等腰三角形时，

若CD=BD，设∠B=x°，则∠BCD=∠B=x°，进而可得∠ADC=2x°，∠ACD=138°-2x°，∠ACB=∠ACD+∠BCD=138°-x°.根据题意，若∠ACB=∠ADC时，得138°-x°=2x°，解得x=46°，所以∠B=27°.

若CD=CB，设∠B=x°，则∠CDB=∠B=x°，进而可得∠ADC=180°-x°，∠ACD=x°-42°，∠ACB=∠ACD+∠BCD=138°-x°.根据题意，若∠ACB=∠ADC时，得138°-x°=180°-x°，不合题意，舍去.

若BC=BD，设∠B=x°，则∠BCD=∠BDC=90°-进而可得∠ADC=90°+∠ACD=90°-42°，∠ACB=∠ACD+∠BCD=138°-x°. 根据题意，若∠ACB=∠ADC时，得138°-x°=90，解得x=32°，所以∠B=32°.

综上所述，满足条件的∠B度数为27°、54°、46°和32°.

评注：解答此题只有深刻领悟“和谐分割线”的含义——经分割以后，一个是等腰三角形、另一个三角形和原三角形相似.因此，导致不少学生被第（3）问“卡壳”的主要原因在于：一是考虑不周，被图3所迷惑，默认只有△ACD是等腰三角形；二是导角能力弱，当△BCD是等腰三角形时，找不出角之间的等量关系；三是分类意识差，学生没有注意到图形2是唯一的、确定的，而图形3是不唯一的、不确定的，进而没有两级分类.当然，此题第 （3）问，为了减少计算量 （需计算6次），可再约定△BCD是等腰三角形这个条件，同样能达到考查目的，这样命题或许会好一点.

三、巩固提升

郑毓信教授曾说过：“知识求连，方法求变.”变则灵动，变则鲜活，变出智慧，变出情趣，“变”打开了学生获取解题方法的有效通道.进行有效试题“变式”可以链接中考试题或改编题，进一步感悟、理解问题的本质，数学思想方法，提升分析、思考、研究问题的思维能力.

1.真题展示

（2016年浙江·宁波卷）从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线.

（1）如图4，在△ABC中，CD为角平分线，∠A=40°，∠B=60°，求证：CD为△ABC的完美分割线.

（2）在△ABC中，∠A=48°，CD是△ABC的完美分割线，且△ACD为等腰三角形，求∠ACB的度数.

解析：（1）根据完美分割线的定义只要证明：①△ABC不是等腰三角形；②△ACD是等腰三角形；③△BDC∽△BCA即可.

（2）分类讨论：分三种情形讨论即可.①如图6，当AD=CD时，可求得∠ACB=96°；②如图7，当AD=AC时，可求得∠ACB=114°；③如图8，当AC=CD时，不合题意.

所以∠ACB=96°或114°.

2.试题改编

给出一个新定义：如果三角形的一个内角恰好是另一个内角的一半，那么这个三角形叫做“半角三角形”.例如，在△ABC中，则△ABC是“半角三角形”.

（1）若“半角三角形”是直角三角形，求它的三个内角度数.

（3）①如图10，“半角三角形”ABC中，∠B=32°，∠C=64°，则可以把△ABC分割成两个等腰三角形，请你给出分割的方案；

②“半角三角形”是否一定可以分割成两个等腰三角形？并请说明理由.

解析：（1）此问中的另一个内角并没有指明是直角还是锐角，因此需要分类讨论：当一个内角是直角的一半时，三角形的三个内角度数分别为90°，45°和45°；当一个锐角是另一锐角的一半时，三角形三个内角度数分别为90°，30°和60°.

（2）此问可运用：如果一个三角形是2倍角三角形，则2倍角所对边的平方等于一倍角所对边乘以该边与第三边的和.如图6，在△ABC中，若∠A=2∠B，∠A、∠B、∠C所对的边分别用a、b、c表示，则a2=b（b+c）.

（3）①因为在2倍角的三角形中，当2倍角关系中较小的那个角小于45°时，一定能分成两个等腰三角形.具体图形略；

②不一定.反例：如三个内角度数为100°，50°，30°的三角形；一般情况，若三个内角为2α，α，180°-3α，且45°＜α＜60°的三角形就不能分割成两个等腰三角形.

四、解题反思

“数学试题是永远做不完的！”那么如何在中考备考复习中通过一个或少数题目实现课堂教学效益的最大化呢？笔者认为进行一题多考量、一题多串联是一种非常有益的尝试.

首先，一题多考量有助于学生对数学知识和数学思想方法的理解和运用，有助于学生迁移能力的形成，有助于学生发散思维能力的提高.学生通过多角度思考问题，深入探究问题本质，从而找到解决问题的途径.通过把同一问题的不同方法放在一起探究，不仅对解题方法作了归纳总结，而且对解题思想进行了梳理.这样的教学方式，一方面能使学生避免“题海”战术，减轻学生课业负担；另一方面对知识的掌握、思维和能力的培养起着至关重要的作用.

其次，一题多串联是指从不同角度，或不同情境，或不同层次，对数学中的某些例题、习题或中考试题进行条件的弱化或变化，使其暴露问题的本质特征，从而揭示不同知识点之间的内在联系，通过解决原问题促进新问题的诞生和解决.一题多串联教学不仅仅是一种数学教学方式，而且是一种数学教学思想，通过一题多法、一图多变、一题多变等训练，帮助学生在变式训练中发展思维的灵活性与发散性.“解一题，会一类，通一片”，让学生由此及彼，并感悟出同类问题的深层结构，使得学生下次再碰到类似问题时能快速找到切入点，顺利贯通思路，提升解题能力的同时，发展数学洞察力，训练思维的深度，让一题多变成就精彩，让课堂高效起来.

1.沈岳夫.对一道期末考试题的研究与拓展［J］.中学数学（下），2017（3）.

2.沈岳夫.细研解题思路 提炼解题模型［J］.数学数学，2017（1）.

3.严浩良，沈岳夫.对一道“新定义”型探究题的解法探析与拓展［J］.中学数学（下），2016（2）.

4.沈岳夫.抓住特殊角度 探求一题多解［J］.数学数学，2017（2）.J