“基于素养，能力立意”引领下的高阶思维培养*——以直角坐标系中“斜三角形”的面积求法为例

☉浙江宁波市镇海蛟川书院 陈 丽

“核心素养”是近年教育研究的热点问题，2018年1月23日—24日，教育部长陈宝生在全国教育工作会上提出继续把“聚焦根本任务，系统推进立德树人”作为2018年教育事业发展的七大主攻方向之一.核心素养的落实离不开学科素养，而数学是思维的科学，在数学课堂上培养学生的数学高阶思维、渗透数学素养是现在教学的核心价值取向和教学目标追求.按照布卢姆教育目标分类对认知过程的划分，数学高阶思维是指发生在数学活动中的较高的认知水平层次上的心智活动或认知能力，它在教学目标分类标准中主要表现为分析、评价和创造.如何在数学课堂上培养学生的数学素养，促进学生高阶思维的发展？笔者以直角坐标系中“斜三角形”的面积求法为例，浅谈自己的一些尝试.

一、研磨教学目标，精准对焦

数学课堂只有制定贯通整节课的教学目标，才能精准把握教学方向，寻找培养学生素养、发展学生高阶思维的契机.三角形面积及面积产生的坐标问题是中考命题者比较喜欢的方向，尤其与一次函数、二次函数、反比例函数相结合，其中相关的变式问题也很多.并且在直角坐标系中，对于任意一个三角形，当三角形的三个顶点坐标确定时，都可以通过平移变换将三角形转化为顶点在原点的三角形，因此只需要研究顶点是原点的常规三角形的面积求法.本节课的教学目标是课堂上通过数学活动，让学生掌握顶点在原点的常规三角形的常用处理方法，如割、补、移等.那么课堂上如何启发引导才能让学生自然想到这些方法？如何让学生通过自主探究、合作交流掌握常规三角形几种常见的处理方法？能不能让学生在课堂产生一些有创造性的想法，产生一些增量，让学生有更多的体会和新的收获？

二、创新教学设计，融情启智

1.追本溯源，为形成学生高阶思维接力.

问题1：如图1，在直角坐标系中，若A（2，1）、B（3，0），求△AOB的面积.

师：3是谁的长？

生：OB.

师：OB这条线段在面积公式中指什么？

生：底.

师：1是什么呢？

生：高.

师：为什么选择OB作为底呢？

生：因为底在坐标轴上，比较容易求解.

问题2：如图2，在直角坐标系中，若A（2，1）、B（0，3），求△AOB的面积.

师：你选谁为底？

生：OB.

师：为什么？

生：因为OB在y轴上.

【设计意图】问题是思维的起点，巧设问题串，层层推进，由表及里，将学生浅显易懂的知识进行剥离，表象知识内隐化，去表存真，探本求源，帮助学生找到思维的原点，这也是新知的生长点，为发展学生高阶思维接力.

2.拾阶而上，为培养学生高阶思维助力.

问题3：如图3，在直角坐标系中，若A（2，1）、B（1，2），求△AOB的面积.

师：我给大家两点建议，有思路的同学将思路写下来：你是怎么处理的？为什么这么处理？有的同学做不出来，没关系，我们还在学习阶段，思考一下在求解过程中你碰到了什么问题干扰你思路的形成？什么原因困扰你？

（三分钟后）

生：底和高不知道.

师：你选谁为底？

生：（支支吾吾）我想选OA为底.

师：OA的长是多少？

师：怎么求的？

生：勾股定理.

师：OA上的高可以求吗？

（学生没有太大反应）

师：我们来看题目中的条件，这个题目中给的条件是什么？是不是三个点的坐标都给定了？三角形的边OB、AB可以求吗？怎么求？

师：如图4，过点B作BC⊥AC于点C，要想求高线BC的长，需要求谁的长？

生：OC.

师：怎么办？

生：设OC=x，列方程.

师：怎么列？

师：这种解法比较烦琐，思考：为什么问题1、问题2中的两个三角形的面积容易求出？与问题3的区别在哪里？

生：问题1、问题2中的三角形有一条边在坐标轴上，而问题3中三角形的边没有在任何坐标轴上.

师：你有没有什么办法将问题3中的三角形进行转化？

生：如图5，可以用矩形ODEF的面积减去三个三角形S△AOD、S△ABE、S△OBF，进行求解.S△AOB=S矩形ODEF-S△AOD-S△ABES△OBF=2-

师：我们用了两种方法，对这两种解法你有哪些体会？

生：将三角形转化成边在坐标轴上，方便求解.

师：非常好，问题1、问题2中的三角形的边是有“横竖”的线段，而问题3中的三角形没有一边是“横竖”的，为了方便，我们约定，存在“横向”或“竖向”边的三角形称为“直三角形”，没有“横向”或“竖向”边的三角形称为“斜三角形”.

师：请思考刚才的解答，我们作了什么样的处理？为什么要进行这样的处理？请跟大家分享一下.

生：通过构造矩形，把斜三角形变成了直三角形.

师：非常好，要求斜三角形的面积我们要进行处理，处理的目标很清楚，就是产生直三角形，请思考：刚才我们是怎么产生直三角形的？

生：作垂线，构造矩形.

师：一定要构造矩形吗？可不可以优化一下？

生：如图6，直接补成梯形就好.

师：很棒，是的，可以通过作垂线，把斜三角形补成矩形或梯形，转化成直三角形进行求解.

【设计意图】顺应学生的思维轨迹，巧设阶梯型问题，通过师生对话，启迪学生的思维，促进学生对数学的深度理解.通过对问题的感知、探索、求解、对比，深化思维，激发学生思维发展的内部动机，转化为高阶思维发展的内驱力，创造合适契机，渗透素养，逐步实现由“低层次思维”向“高阶思维”的转化，培养学生的高阶思维能力.

3.自然生长，为发展学生高阶思维发力.

师：我们发现将斜三角形转化为直三角形更容易求解，那么除了作垂线的方法，还有没有别的处理途径，能够产生直三角形，且产生的直三角形与原来的斜三角形之间存在联系？先独立思考，有想法了把想法写下来，在图上画出你的处理方案，思考并写出你的处理方案产生了哪些直三角形.

（三分钟后，合作交流）

师：前后四人为一小组，各小组起立，交流各自的处理方法，说出这样处理的原因.若无自己的处理方法，则交流困惑的问题.同伴间可帮助.若讨论后小组仍无思路，思考以下三个问题：

（1）能不能在x轴上找点P，使△PBO包含△AOB？（2）如何分割△AOB能产生直三角形？

（3）是否存在与△AOB面积相等的三角形？若存在，该怎么找？

讨论结束后，请坐下去，任选一种方法，写出详细解答过程，并与大家分享

生：如图7，延长BA交x轴于点P.

师：非常好，产生了哪些与斜△AOB有关的直三角形？

生：△BOP、△AOP.

师：那么斜△AOB的面积怎么求？

生：S△AOB=S△BOP-S△AOP.

生：如图8，也可延长AB交y轴于点M，S△AOB=S△MOAS△MOB.

师：很好，这两个同学都是通过补的方法，将斜三角形的面积转化成了两个直三角形的面积差来求解.结合老师刚才提出的三个问题，还有哪个小组有不同的方案？

生：如图9，可以过点A作AN平行于x轴，交OB于点N，则S△AOB=S△ANO+S△ANB

师：如何求AN的长？

生：我们组还有另一种做法，如图10，过点B作BQ平行于y，交OA于点Q，做法和刚才的类似.

（同学们情不自禁地报以热烈的掌声）

师：你们组很棒.

（这时已经有学生在举手，迫不及待地要发言了）

生：如图11，过点B作BG平行于OA，交y轴于点G，连结GA，则S△AOB=S△AOG.

师：如何求直△AOG的面积？

生：先求G点的坐标.因为GB与OA平行，所以kGB=，所以点G），则S=△AOG

师：这个直三角形你是怎么找到的？

生：过点B作OA的平行线，平行线上任意一点与OA构成的三角形都与△AOB的面积都相等，只要与坐标轴相交，便可以找到相应的面积相等的直三角形.

师：你归纳得非常好，也就是要过三角形的一个顶点作边的平行线，与坐标轴的交点构成的三角形便是要找的直三角形.请大家作图试试看，你可以找到多少个这样的直三角形？

生：过点B作BI平行于OA，交x轴于点I，连接AI，则S△AOB=S△AOI.

生：还可以过点A作OB的平行线分别交x轴于点H，交y轴于点J，则S△AOB=S△HOB，S△AOB=S△AOJ.

【设计意图】为了激活不同思维程度的学生的思维，笔者以素养为本，精心设计启发性问题串，置学生于愤悱状态，激发学生探知的欲望.笔者首先让学生自己操作，自己感悟，再进行小组合作，给学生提供动脑、动口的机会，使学生积极主动地进行思维活动，让学生在对话和思维的碰撞中提升思维能力，活化所学知识，让学生在探究的过程中既掌握所学知识和技能，又感悟知识的本质，积累思维和实践的经验，形成和发展核心素养，助力培养学生的高阶思维，让不同思维层次的学生更上一个思维台阶.

三、提炼知识方法，聚焦智慧

师：通过以上交流和探索，对于如何求斜三角形的面积，你有哪些解题经验？

求斜三角形的面积→求直角三角形的面积：

【设计意图】教师引导学生及时梳理、归纳，帮助学生理清思维脉络，形成知识体系.课堂小结不仅是对本节课所学知识的总结，还是对获得知识所用方法的提炼，更是对解决学习困惑的经验积累与提升.通过小结，可以让学生内隐的数学活动经验显性化，形成体系.

四、注重思维延伸，以思启智

课后思考：先画图思考你对这些斜三角形有哪些处理方法，任选一种方法求△AOB的面积.

问题1：在直角坐标系中，若A（2，1）、B（3，3），求△AOB的面积.

问题2：在直角坐标系中，若A（2，1）、B（1，-1），求△AOB的面积.

问题3：在直角坐标系中，若A（2，1）、B（1，-1）、求△ABC的面积.

徐斌艳教授曾指出：学生核心素养的形成不是依赖单纯的课堂教学，而是依赖学生参与其中的教学活动；不是依赖记忆与理解，而是依赖感悟与思维；它应该是日积月累的、自己思考的经验的积累.因此数学课堂上教师要创设基于学情的教学活动，帮助学生感悟、内化，形成高阶思维能力.一节课的结束，不应该是思维的终点，而应该是思维更高的起点.教师要精心设计延伸性问题，帮助学生创造性思维的培养与发展，让学生不因教学的停止而使数学思考停止.

教育的目的是什么？怀特海认为，学生是有血有肉的人，教育的目的是激发和引导他们的自我发展之路，他指出“不能让思维僵化，而要让它生动活泼起来——这是所有教育的核心问题”，这不仅关系到学生的成长，更关系到社会的发展.

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3.廖辉辉，史宁中，朱丹红.数学基本思想、核心素养内涵及教学［J］.福建教育（中学版），2016（7/8）.

4.褚水林.促进高阶思维能力发展的数学问题设计［J］.中学数学教学参考（中），2017（10）.W