核心素养视角下的《一元二次方程》的教学

2018-03-30江苏无锡市梅梁中学储东花周晓兰

中学数学杂志 2018年6期

☉江苏无锡市梅梁中学储东花周晓兰

刚颁布的新课标将数学素养作为现代社会每一个人应该具备的基本素养，新课标修订组负责人王尚志教授认为在整个数学课程标准中，数学学科核心素养处于中心地位.“数学运算”是数学学科六个核心素养之一.数学运算能力是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题，包括掌握运算法则、探究运算方向、选择运算方法等.初中阶段，教材安排了许多的运算内容，如数的运算、式的运算、解方程等.运算是推理的基础，运算能力对数学学习来说起到了基石性的作用.没有运算能力的支撑，学好数学是一句空话.笔者认为运算能力的培养与发展应贯穿于师生共同参与数学活动的全过程中，应伴随着数学知识的积累和深化，从简单到复杂、从具体到抽象，有层次的发展.下面笔者结合“一元二次方程”的教学谈谈如何提高学生的运算能力，进而培养学生的数学运算素养.

一、正确理解数学概念是发展运算素养的前提

概念是思维的基本形式，数学概念则是客观事物中数和形的本质属性的反映，是构建数学理论大厦的基石，是导出数学定理和数学法则的逻辑基础，是本学科的精髓、灵魂，是逐步形成运算技能、发展运算素养的前提.

【教学片段】一元二次方程的解法

师：什么叫一元二次方程？

生：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程.

师：根据一元二次方程的概念，在解一元二次方程时，有哪些解题策略？

生：因为它与一元一次方程相比，是未知数的次数高了，所以要“降次”，通常采用直接开平方法和因式分解法达到“降次”的目的.

师：你能说具体些吗？

生：例如解方程x2-5=0，用直接开平方法得x1=x2=-

师：为何有两个解？

生：由x2=5，根据平方根的定义可知，x是5的平方根.因为一个正数有2个平方根，它们互为相反数，所以方程有两个解.

师：根据平方根的概念，你还能得出别的结论吗？

生：如果x2=-5，那么方程无解，如果x2=0，那么方程有两个相等的解.因为负数没有平方根，0的平方根是0.

师：真棒！你又如何理解因式分解法呢？以方程x2-5x=6为例说明.

生：解：x2-5x=6，x2-5x-6=0，（x-6）（x+1）=0，则x-6=0或x+1=0.

故x1=6，x2=-1.

生：因式分解法就是把一个多项式化成几个整式的积的形式，所以方程的左边是积的形式，那么方程的右边一定是0，所以先把方程变形，这样可以转化成两个一元一次方程；如果右边不是0，就要分无数种情况讨论.

师：一元二次方程的“二次”还体现在哪里吗？

生：“二次”体现在它的解，若有解，就有两个解.

师：本题给我们什么启发吗？

生：一元一次方程若有解通常是一个解，一元二次方程若有解是两个，我想假如是一元三次方程，若有解，就有三个解.

师：你的想象力真丰富.

在以上教学片段中，教师引导学生理解一元二次方程的概念的内涵和外延，并揭示解一元二次方程的思想方法和解题方法.

二、灵活运用法则是提升运算素养的手段

“正确、迅速、灵活”是衡量运算能力的三个指标.运算是一种技能，运算技能需要运算的法则做支撑，按程序操作，因此，需要教师带领学生明晰运算法则，进行合理运算.在一元二次方程的教学中，可以运用对比的手段让学生感悟，扎扎实实地落实每个运算法则，培养运算素养.

【教学片段】师：请大家回顾解一元二次方程的方法有哪些？

生：直接开平方法，因式分解法，配方法，公式法.

师：为了方便解答，我们分别标记为：A←→直接开平方法，B←→因式分解法，C←→配方法，D←→公式法.

如何解下列方程？①4x2-5=0，②x2-5x+6=0，③x2-6x-1=0，④x2-x-1=0.

（几分钟后）

生1：第①个方程：A、B、C、D四种解法都可以，但直接开平方法和因式分解法简单.

生2：我发现，能用直接开平方法的就一定可以用因式分解法.

师：你真善于思考！

生3：第②个方程可以用B、C、D，但B最简单.

生4：第③个方程，可以用C、D，说不上哪种方法简单，但第④个方程虽然C、D都可以，但D更简便.

师：为什么？

生4：因为方程③二次项系数为1，一次项系数是偶数，这样配方时不会出现分数，使得计算简便，而④如果用配方法就出现分数，计算明显复杂，所以用公式法快，计算简便.

师：让我们再归纳、比较这四种解法.

生5：A、B解法简便，但不是万能的，而C、D适合任何一个一元二次方程，但解法复杂，容易计算错误，所以，能用A、B的就不用C、D.

在实施运算的过程中，要分析运算的条件，选择运算方法，进行对比、优化，力求使运算符合算理，达到正确熟练、灵活、简洁，实现运算思维的优化及运算能力的逐步提高.

三、弄清算理是发展运算素养的关键

运算能力的培养与发展不仅包括运算技能的逐步提高，还应包括运算思维的提升和发展.在一元二次方程的内容中，“课标”设置了“能用配方法、公式法、因式分解法解数字系数的一元二次方程”等内容，不仅要学习和掌握解一元二次方程的运算方法，更要思考和领悟解一元二次方程的算理.在反复操练、相互交流的过程中，不仅会逐步形成运算技能，还会引发对“怎么算得好？”“为什么要这样算？”等一系列问题的思考.这是由法则到算理的思考，是运算从操作层面提升到思维层面，这是运算发展的重要内容.

【教学片断】师：昨天我们学习了一元二次方程的概念，请说出它的一般式.

生1：ax2+bx+c=0（a≠0，且a、b、c是常数）

师：很好，根据以往的经验，今天我们要研究什么呢？

生（众）：解一元二次方程.

教师板书课题，并出示下列一元二次方程：①x2-4=0，②x2-4x=0，③x2-4x+4=0，④x2-5x+6=0，⑤x2-5x-1=0.

师：请同学们仔细观察以上5个一元二次方程，把你认为会做的解答在练习本上.

10分钟后统计结果：第①题，知道解的有95%；第②题，知道解的有70%；第③题，知道解的有60%；第④题，知道解的有10%；第⑤题，知道解的0%.

师：请问第①题如何解的？

生2：移项得x2=4，所以x=±2.

师：你为什么要移项？

生2：因为（±2）2=4，所以x=±2.

师：±2是4的平方根，也就是对4开平方，所以这种解法叫直接开平方法.

通常，把x=±2写成x1=2，x2=-2，还有其他解法吗？

生3：我原来是想把方程x2-4=0写成（x+2）（x-2）=0，再往下就不会了.现在看到方程的解是x1=2，x2=-2，给我启发：（x+2）（x-2）=0可得x+2=0或x-2=0.

所以x1=2，x2=-2.

师：真聪明！请说说你的解法.

生3：第一步通过因式分解把方程化成A·B=0，即A=0或B=0，再分别解两个新的方程A=0和B=0.

师：这两个新方程是什么方程？

生3：一元一次方程.

师：请提炼你的解题思路.

生3：一元二次方程因式分解成两个一元一次方程.

师：回顾我们已学过的二元一次方程组、分式方程的解法.

生4：二元一次方程组通过加减消元或代入消元转化成一元一次方程，分式方程通过去分母转化成一元一次方程.

生5：哦，我明白了.原来一元一次方程是其他所有方程的根源，任何方程都要化成一元一次方程.

师：这就是我们数学上最重要的化归思想.经过刚才一段探究学习，请大家重新来思考第③④小题.（几分钟后）

师：现在会做的请举手（课堂反馈：约85%）.

生6：x2-4x+4=0，（x-2）2=0，x=2.

师：注意方程的解的正确写法，因为（x-2）2=（x-2）（x-2），所以x-2=0或x-2=0，所以应写成x1=x2=2.

生7：x2-5x+6=0，（x-2）（x-3）=0，所以x-2=0或x-3=0，所以x1=2或x2=3.

师：请大家思考：解方程x2-x=6.

生8：x2-x=6，x（x-1）=6.所以x1=3，x2=-2.

师：对这位同学的解法有什么想法吗？

生9：由x（x-1）=6为什么就可以解出x1=3，x2=-2.

生8：我是凑出来，因为2×3=6，所以只能x=3，x-1=2，

同理（-2）×（-3）=6，所以只能x=-2，x-1=-3.

生10：x2-x-6=0，（x-3）（x+2）=0，所以x1=3，x2=-2.

师：这位同学还是凑出来的吗？

众生：不是了.

师：凑与不凑关键在哪里？

生9：右边必须是零.

师：真好！请大家注意因式分解法化归到的重要模型是A·B=0.

生：我们已经认识到方程求解的基本思路——多元化一元，高次化低次.

师：对，其实我们解决数学问题的一个核心：未知化已知.笛卡尔在《思维的法则》中设计了一种能解决各种问题的“万能方法”的模型：（1）把任何问题化为数学问题；（2）把任何数学问题化为一个代数问题；（3）把任何一个代数问题归结到去解一个方程问题.纵然我们大数学家的“万能方法”不可能是万能的，有偏颇之嫌.但不可讳言，透射出的方程思想确实非同凡响，这节课我们触摸了方程体系的整体魅力，领悟了一种解决问题的思想：化归思想.

本案例中教师有针对性的挑选，保证学生的开放与教师的预设有机统一，而且做到收放自如.4个方程从结构上看是从特殊到一般，从学生的认知起点出发，层层推进，步步说理，环环相扣.探究的过程中让学生辨析与探讨.给学生方法上的指引，思想上的感悟，学生明晰了数学运算背后的算理，就明确了解题方向，可能采取自觉的行动，必将有益于学生运算能力的提升，素养的熏陶.