对一道高考题的探究

曾卓杨

在做2012江苏卷第19题时，让我倍感压力，这道题不管是运算还是解题的思路与方法，对我们考生都提出了很高的要求，但在对这道题的解剖过程中，随着层层递进，步步深入，发觉这道题设计巧妙，意犹未尽，值得去挖掘与探讨。

2012江苏卷第19题：如图1，在平面直角坐标系xOy中，椭圆x2a2+y2b2=1（a>b>0）的左、右焦点分别为F1（-c，0），F2（c，0），已知点（1，e）和（e，32）都在椭圆上，其中e为椭圆的离心率.

（1）求椭圆的方程；

（2）设A，B是椭圆上位于x轴上方的两点，且直线AF1与直线BF2平行，AF2与BF1交于点P，

（i）若AF1-BF2=62，求直线

AF1的斜率；

（ii）求证：PF1 + PF2是定值.

解：（1）椭圆的方程为x22+y2=1.

（2）由（1）得F1（-10），F2（10），又∵AF1∥BF2，

∴设AF1、BF2的方程分别为my=x+1和my=x-1，设A（x1y1），B（x2y2） y1>0，y2>0.

∴x122+y12=1my1=x1+1消去x1得（m2+2）y12-2my1-1=0解得y1=m+2m2+2m2+2

∴AF1=（x1+1）2+（y1-0）2=（my1）2+y12

=m2+1·m+2m2+2m2+2=2（m2+1）+mm2+1m2+2.①

同理，BF2=2（m2+1）-mm2+1m2+2.②

（i）由①②得，AF1-BF2=2mm2+1m2+2，即2mm2+1m2+2=62，解得m2=2.

注意到m>0，∴m=2，∴直線AF1的斜率为1m=22.

（ii）证明：∵AF1∥BF2，∴PBPF1=BF2AF1，即PBPF1+1=BF2AF1+1

PB+PF1PF1=BF2+AF1AF1.

∴PF1=AF1AF1+BF2BF1，由点B在椭圆上知，BF1+BF2=22，

∴PF1=AF1AF1+BF2（22-BF2），

同理，PF2=BF2AF1+BF2（22-AF1）

∴PF1+PF2=AF1AF1+BF2（22-BF2）+BF2AF1+BF2（22-AF1）=22-2AF1·BF2AF1+BF2，

由①②得，AF1+BF2=22（m2+1）m2+2，AF1·BF2=m2+1m2+2，

∴PF1+PF2=22-22=322.∴PF1+PF2是定值.

求解直线与椭圆位置关系问题的基本策略是运用消元思想与方程思想，将问题转化为一元二次方程问题.对该题第（2）问及其解答做进一步探讨，能从看似平常的解答中得到一些妙处横生的结论：

（i）以运动的观点来看问题，当满足条件的A，B是椭圆上两动点时，设 AF1-BF2=d（d>0），由第（2）（i）的解答可知d=2mm2+1m2+2=2m4+m2m4+4m2+4m>0，易得m4+m2m4+4m2+4∈（0，1），故当d∈（0，2）时，方程d=2mm2+1m2+2有解，直线AF1的斜率存在，因为d=62 ∈（0，2），所以相应可求直线AF1的斜率，进一步探讨，当AF1-BF2=0时，满足条件的直线AF1存在，但它的斜率不存在，当AF1-BF2<0时，AF1-BF2=d（d<0），由对称性可知， d∈（-2，0）时，直线AF1的斜率存在且为负值，而|d|≥2时，不存在这样的直线AF1与直线BF2，这就说明d的变化相应会引起m的变化，而对m∈R，由①②得 1AF1+1BF2=m2+22（m2+1）+mm2+1+m2+22（m2+1）-mm2+1=（m2+2）·22（m2+1）2（m2+1）2-m2（m2+1）=22（m2+2）m2+2=22.

也就是说，对任意m∈R， 1AF1+1BF2=22恒成立，由此就可以得到该问的另一种求解方法：

由AF1-BF2=62，1AF1+1BF2=22，解得BF2=3-322，

由椭圆焦半径公式有BF2=2-22xB，则2-22xB=3-322，解得xB=3+12，

代入椭圆x22+y2=1，因为B点位于x轴上方，所以yB=2-32，

则kAF1=kBF2=yBxB-1=2-33-1=12（4-23）3-1=12（3-1）23-1=22，

所以直线AF1的斜率为22.

不难看出，在这个问题中，1AF1+1BF2为定值是不会随A、B两点位置改变而变化的，它似乎隐含着一个一般性的结论，做进一步探讨，就会得到一个新的问题：

在椭圆x2a2+y2b2=1（a>b>0）中，F1（-c，0），F2（c，0）分别为椭圆的左、右焦点，设A，B是椭圆上位于x轴上方的两点，且直线AF1与直线BF2平行，求证：1AF1+1BF2为定值.

为了避免直线与椭圆位置关系的繁琐运算，根据两直线平行，同旁内角互补的关系，借助余弦定理就可轻松求得这个定值：

在ΔAF1F2中，设AF1=d1，∠AF1F2=θ，则AF2=2a-d1，

由余弦定理可得cosθ=4c2+d12-（2a-d1）24cd1=ad1-b2cd1

因为直线AF1与直线BF2平行，所以∠BF2F1=π-θ，

在ΔBF1F2中，设BF2=d2，同理可得cos（π-θ）=ad2-b2cd2=-cosθ，

所以ad1-b2cd1+ad2-b2cd2=0即1d1+1d2=2ab2为定值.

在数学题中，一个量的变化，往往会引起其它相关量的变化，但在诸多变化中，也常藏匿着稳定不变的量，如果能够深入分析题目的条件，找到由条件到结论之间某些不变的性质，从不变量与不变的性质入手，就可以帮助我们寻得合理的解题途径。

（ii） 根据以往的解题经验，可以猜想P点的轨迹应该是个椭圆，由答案可知，PF1+PF2=22-2AF1·BF2AF1+BF2=22-21AF1+1BF2，借助第（i）问的结论，因为1AF1+1BF2=22，所以PF1 + PF2=22-22=322，故P点的轨迹是以F1（-1，0），F2（1，0）为焦点，长轴长为322的椭圆.该问中的A、B两点非定点，那么它似乎也隐含着一个一般性的结论，做进一步探讨，又会得到一个新的问题：

在椭圆x2a2+y2b2=1（a>b>0）中，它的左、右焦点分别为F1（-c，0），F2（c，0），设A与B是椭圆上位于x轴上方的两点， 且直线AF1与直线BF2平行，试判断直线AF2与BF1的交点是否在同一个椭圆上，为什么？

结合答案与第（i）问探究出的结论，因为PF1=AF1AF1+BF2BF1，

由点B在椭圆上知，BF1+BF2=2a，

∴PF1=AF1AF1+BF2（2a-BF2）.同理，PF2=BF2AF1+BF2（2a-AF1）.

∴ PF1+PF2=AF1AF1+BF2（2a-BF2）+BF2AF1+BF2（2a-AF1）

=2a-2AF1·BF2AF1+BF2=2a- 21AF1+1BF2，

又1AF1+1BF2=2ab2，所以PF1+PF2=2a-b2a=a2+c2a，又因为a2+c2a>2c，

所以根据椭圆的定义，P的轨迹是以F1，F2为左、右焦点，长轴长为a2+c2a的椭圆，所以直线AF2与BF1的交点在同一个椭圆上.

探究与拓展往往能够帮助我们发现数学中一些美妙的结论，这些结论的来龙去脉、推广及应用，对提高我们的解题速度与能力，培养我们的探索与创新精神是大有裨益的。