空间3-DOF柔性并联微动平台运动学分析

徐洪业，李杨民，李祥春

（1.天津理工大学 机械工程学院 天津市先进机电系统与智能控制重点实验室，天津 300384；2. 香港理工大学 工程学院 工业与系统工程学系，香港 999077）

0 引言

Hunt[1]提出了3-RPS并联机构，可实现两个转动和一个平动，直到现在都在被广泛研究和应用。微操作机器人技术是由微定位技术与机器人技术结合而产生的，其相关技术还可以带动机器人技术、精密加工、微电子、光纤对接、纤维医学等技术的发展[2]。同时，并联机构具有定位准确、刚度高和较高的承载能力远超过了串联机构[3]。相比较于传统的铰链，柔性铰链属于可逆的支撑结构，作为一种体积小无摩擦损失、无间隙运动平稳的高灵敏度传动机构，具有体积小无摩擦损失、无间隙、无润滑、易于加工制造、运动平稳和分辨率高等优点，已广泛应用于航空工业、自动化工业、生物医药等领域[4]。由于压电陶瓷具有响应快、输入力大、分辨率高，无机械损耗、无污染、无磁场等优点，微动平台通常选用压电陶瓷作为驱动器。但由于压电陶瓷的输出范围小，一般只有几微米至几十微米，所以需要微位移放大机构来实现对压电陶瓷输出位移的放大与传递。目前，通常采用的微位移放大机构主要有两种：差式放大机构和桥式放大机构[5,6]。本文基于3-RPS并联机构设计了一种柔性并联微操作平台，采用桥式微位移放大机构作为并联微动平台的移动副P。利用闭环矢量法和解析法对微动平台进行运动学分析，并对微动平台进行了运动逆解仿真。

图1 微动平台模型

1 微动平台运动模型的建立

微动平台的三维模型和原理图如图1所示，图1(a)为微动平台的三维模型，图1(b)为原理图。微动平台三个支链为120°对称分布，定平台和动平台分别为等边三角形。坐标系的建立如图1(b)所示，设定平台的外接圆半径为R，动平台的外接圆的半径为r；在定平台上建立定坐标系O-xyz，x轴与A1A2平行，y轴的负方向过A3点；在动平台上建立动坐标系O′-x′y′z′，x′轴与B1B2平行，y′轴的负方向过B3点。

则旋转矩阵[7]为：

公式中：α，β，γ为绕定坐标系O-xyz的x，y，z轴旋转的旋转角度，s-sin，c-cos，由于微动平台的位移很小，所以转动角度也很小，所以sinα≈α，sinβ≈β，sinγ≈γ；cosα=cosβ=cosγ≈1 ，则公式(1)可化简为：

1.1 运动学位置逆解

由图1(b)可知，定平台中，各基底Ai在定坐标系O-xyz中的坐标可表示为[xAi，yAi，zAi]T。

在动平台中，各点Bi在动坐标系O′-x′y′z′中的坐标可表示为则：

在定坐标系O-xyz中，支链底端A1，A2，A3到对应各球面副的矢量为：

其中：p1，p2，p3为各球副到定平台的距离，则各杆件的长度为pi/cos10°（i=1,2,3）。根据闭环矢量法[8,9]，如图2所示，R为旋转矩阵，bi是动坐标系原点O′到各球面副的向量，C为定坐标系到动坐标系的向量，ai为定坐标系原点O至各转动副的向量，Li为各支链的长度，ni为各支链的方向向量。则：

图2 矢量关系图

对支链1：

展开得：

对支链2：

展开得：

对支链3：

1.1 运动学位置逆解

由图1(b)可知，定平台中，各基底Ai在定坐标系O-xyz中的坐标可表示为[xAi，yAi，zAi]T。

在动平台中，各点Bi在动坐标系O′-x′y′z′中的坐标可表示为则：

在定坐标系O-xyz中，支链底端A1，A2，A3到对应各球面副的矢量为：

其中：p1，p2，p3为各球副到定平台的距离，则各杆件的长度为pi/cos10°（i=1,2,3）。根据闭环矢量法[8,9]，如图2所示，R为旋转矩阵，bi是动坐标系原点O′到各球面副的向量，C为定坐标系到动坐标系的向量，ai为定坐标系原点O至各转动副的向量，Li为各支链的长度，ni为各支链的方向向量。则：

图2 矢量关系图

对支链1：

展开得：

对支链2：

展开得：

对支链3：

展开得：

在给出动平台沿Z轴方向的行程z和绕x和y轴的转动角度α和β后，结合上述方程可求出三个移动副的行程。此解即为运动学的逆解。

1.2 运动学正解推导

根据位置封闭的方法[10,11]求解。假设转动副R的轴线u1，u2，u3与定坐标系Y轴的夹角分别为1=30°，2=330°，3=90°，Ai在定坐标系中的坐标为[xAi，yAi，zAi]T，各杆与定平台的夹角分别为λi（i=1,2,3）。假设球铰中心Bi与动平台解除约束作用，则Bi绕其轴线ui以Ai为圆心，以伸长后的杆长Li'=Li+∆Li为半径旋转。由解析几何可推导出动平台各球铰中心Bi（i=1,2,3）在定坐标系中的表达式：

设动平台的边长为b，则：

将式(14)带入式(15)得：

Ai～Ei为并联机构已知的几何参数及输入变量的代数式，通过化简可求得λi(i=1,2,3)，即可求得球铰Bi在定坐标系的坐标。

由三角形的形心定理动平台O'在O-xyz中的坐标：

平移变换矩阵T（xB，yB，zB)可表示为：

则动平台上各点Bi在定坐标系O-xyz中的其次表达式为：

其中，xO'，yO'，zO'分别表示动坐标系O′-x′y′z′中心点O′在动坐标系中的位置矢量。

将式(17)代入式(20)～式(22)中，即可获得相应动坐标系3个坐标轴方向的旋转角α，β，γ。

2 雅可比矩阵

将式(6)对时间求导得：

将式(23)左乘式(24)得到：

根据混合向量积的运算法则化简式(25)：

式中：Jinv为3×3矩阵；

Jinv为3×3矩阵。

所以并联矩阵的速度映射矩阵为：

式中：

3 运动学仿真

利用ADAMS软件能够建立和测试虚拟样机，实现在计算机上仿真分析复杂机械系统的运动学和动力学性能[12,13]。将在SolidWorks中建好的三维模型导入ADAMS软件中，对微动平台进行运动学仿真，对运动学逆解进行求解。三个驱动杆上施加运动：∆L1=4.6296×10-4×cos(0.04×pi×time)，∆L2=4.6296×10-4)×cos(0.04×pi×time+10)，∆L3=4.6296×10-4×cos(0.04×pi×time)-10时，位移随时间的变化曲线如图3所示。当三个驱动杆杆长成周期性变化时，输出位移也成周期性变化，位移曲线充分说明了微动平台只有Z向一个位移。

图3 位移-时间变化曲线

当三个驱动杆杆长成周期性变化时，动平台的线速度变化曲线和角速度变化曲线如图4和图5所示。当输入为余弦函数时，动平台输出的线速度和角速度也成正/余弦函数规律变化，说明并联微动平台可应用于对速度变化规律要求高的场合。说明了该微动平台的运动可靠性。

4 结论

本文设计了一种空间3-DOF柔性并联微操作平台，该微动平台可实现绕X轴和Y轴的转动以及沿Z轴方向的移动。应用闭环矢量法和解析法对并联机构的运动正解和逆解进行了推导，并用ADAMS软件对微动平台进行了运动学逆解的仿真，说明了该平台运动规律的可靠性。同时，也对该微动平台动力学的研究打下了基础。

图4 速度-时间变化曲线

图5 角速度-时间变化曲线

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