数形结合在高中数学解题中的应用初探

吕玉梅

【摘要】数形结合是解决数学问题的一种有效方法.通过图形的帮助，学生会把复杂问题简单化，抽象问题具体化，顺利地找到数量关系，进而快速地解决问题.教师要引导学生学会利用数形结合的思想来分析问题，为问题寻找解决思路和方法.本文主要探究了数形结合在高中数学解题过程中的应用，促进学生将数和形结合起来，提高解题能力.

【关键词】高中数学；数形结合；解题能力

高中数学课程标准指出：“掌握必要的数学基础知识和基本技能，理解基本的数学概念、数学结论的本质，体会其中所蕴含的数学思想方法，以及它们在后续学习中的作用.”基于此，教师引导学生掌握数学解题方法，培养学生的数学思维能力，使学生可以通过对恰当方法的选择和使用灵活地解决问题，实现学生对数学知识的灵活掌握和综合素质的提高.

一、数形结合思想方法的本质和内涵

数形结合思想就是通过利用数和形之间的关系来分析数学问题和知识点，进而解决数学问题的一种思想方法.通过学生对数和形之间的关系进行分析和判断，学生会清楚地认识到数和形在一定情况下是相互转化的，它们之间存在着一定的等量关系，可以方便理解知识和解决问题，在高中数学中的数主要是指数、代数式、方程、函数、数量关系等，形主要是几何图形和函数图像.通过将它们结合起来，学生会更轻松地解决问题，提高能力.

二、高中数学课堂教学中渗透数形结合思想方法的意义

通过对于数形结合思想方法的学习，学生会将复杂的数学问题简单化，更加直观地看到数学知识，促进学生对数学知识的理解和掌握.学生在观察中会明确数形之间的关系，更好地进行逻辑分析和推理判断，进而快速地解决问题.学生在思考中会明确数形之间的内在联系，进行发散思维，有助于培养自己的思维能力.

三、高中数学解题过程中数形结合思想方法的应用

（一）利用数形结合来解决“圆”的相关知识

圆的相关知识在高中数学中是非常重要的，教师引导学生采用数形结合的方法会促进学生理解知识，分析问题，直观地看到知识间的联系.例如，在解决圆中求“交点”的问题时，教师就可以鼓励学生采用数形结合的方法来分析、思考、解决问题.例如，已知曲线xy=1与圆M：x2+y2-4x-4y+3=0相交于A，B两点，则AB的中垂线方程为什么？通过对问题的分析，学生会想到：曲线xy=1是反比例函数，其图像关于直线y=x对称，而圆M的圆心（2，2）在直线y=x上，故AB的中垂线方程为y=x.面对这种情况时就可以考虑用数形结合思想来解答，通过“以形助数，以数解形”，使复杂问题简单化、抽象问题具体化，往往能起到化繁为简、化难为易的作用，使一些看似复杂的问题通过作图得以轻松解决.

（二）利用数形结合来解决“平面区域”问题

在高中数学中，不等式组中的参数影响平面区域的形状.如果在二元一次不等式组的某个不等式中含有参数，那么这个不等式表示的区域的分界线就是几条不同的直线；如果求解的目标函数中含有参数，则要求根据这个目标函数的特点确定参数变化时目标函数与平面区域的关系，然后在运动中寻找使问题成立的条件.例如，在平面直角坐标系xOy中，若不等式组y≥0，y≤2x，y≤k（x-1）-1 表示一个三角形区域，则实数k的取值范围是多少？为了使学生可以快速地对题目中已经给出来的数量关系进行分析和判断，最好的解题方法就是采用数形结合来解决问题.这样可以使学生清楚地看到题目给出来的数量关系，通过阅读试题学生会看到题目给出来的区域边界两“静”一“动”，可以先画出区域，之后结合图形进行分析和判断.在解决问题时，学生通过对图形的观察会明确确定二元一次不等式表示的平面区域时，可以采用“直线定界，特殊点定域”的方法来分析.直线定界，若不等式不含等号，就可以把直线画成虚线；若不等式含有等号，把直线画成实线.特殊点定域，就是在分析直线Ax+By+C=0的某一侧取一个特殊点（x0，y0）作为测试点代入不等式检验，若满足不等式，则表示的就是包括该点的这一侧，否则就表示直线的另一侧.通過对图形的观察和分析，学生会更好地解决问题，达到事半功倍的效果.

在这种问题中，教师首先要明确学生的难点所在，实质上学生不会化简主要是不会找分界点，不知曲线是半圆，主要是没仔细分析解析式特征，在该式中，x，y的次数一样，而高中阶段除了直线、圆、椭圆、双曲线，其他都不具有这种特征，而直线不可能，所以肯定要平方，一平方解析式特征就明朗了，问题也就迎刃而解了.

总之，在高中数学教学中，教师要关注学生的课堂主人翁的地位，在课堂学习和解题过程中，多引导学生动手，多鼓励学生操作，实现学生在动手中掌握问题、解决问题、提高能力.通过图形的帮助，学生会将抽象的知识转化为具体的图形，方便理解，使数与形之间相辅相成，更好地解决问题，达到能力的提高和素质的提升.学生掌握了解题方法会更好地分析问题和解决问题，促进学生的可持续发展.

【参考文献】

[1]张海芳.新课改下高中数学“高效课堂”的构建[J].中国科教创新导刊，2011（21）：178.

[2]邵婧.浅谈构建高中数学高效课堂的有效策略[J].新课程（教育学术），2011（3）：41.