近三年高考全国课标卷概率统计题的考查特点与备考建议

胡树平

【摘要】概率统计作为高考考查的重要知识点，已经被时代赋予了新的含义，特别是近几年全国课标卷中出现了好多亮点和经典试题.概率统计题有效地考查考生的运算求解能力、数据处理能力及应用意识.为了迎接2018年全国新课标高考的到来，帮助广大备考师生加强、加深对概率统计题的复习研究，笔者结合自己平时的教学研究，通过对2015—2017年这三年全国各省（市、区）高考理科统计与概率试题的统计分析，总结出概率统计试题的考查特点并对今后的复习备考提出相应的意见与建议.

【关键词】高考；概率统计；考查特点；备考

一、概率统计题的考查特点分析

（一）“统计”背景下的“概率”问题

这类问题一般将统计与概率相结合，既考查频率分布直方图或茎叶图，又考查统计情境下的概率问题，如概率、分布列与期望的计算.

1.以频率分布直方图为背景来考查概率知识

如，2016年全国课标卷1理科19题：某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元.在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图.

以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数.

（Ⅰ）求X的分布列；

（Ⅱ）若要求P（X≤n）≥0.5，确定n的最小值；

（Ⅲ）以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在n=19与n=20之中选其一，应选用哪个？

点评 本题以频率分布直方图为背景，主要考查离散型随机变量的概率分布列，随机变量的取值只要一一列举即可.第二问已知概率的范围反求n的最小值，考查逆向思维.第三问为决策问题，考查数学期望的计算.

2.以表格为背景来考查概率知识

此类问题经常以表格的形式出现，着重考查学生从表格获取信息、处理数据的能力，全国课标卷多次出现表格.

如，2016年全国课标卷2理科19题：某险种的基本保费为a（单位：元），继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人的本年度的保费与其上年度的出险次数的关联如下：

（Ⅰ）求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率；

（Ⅱ）若一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出60%的概率；

（Ⅲ）求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值.

点评 本题以表格为背景，考查条件概率、分布列、数学期望等知识.

3.以茎叶图为背景考查概率知识

2015年全国课标卷2理科19题考查茎叶图、互斥事件和独立事件，根据茎叶的密集程度比较平均值大小，如果密集主干部位在高位，那么平均值大；方差看它们数字偏离程度，偏离越大则方差大.读懂所求概率事件包含的含义，利用分类讨论思想将事件分解为几个互斥的情况来求概率.

点评：本题考查茎叶图、互斥事件和独立事件，根据茎叶的密集程度比较平均值大小，如果密集主干部位在高位，那么平均值大；方差看它们数字偏离程度，偏离越大则方差大.读懂所求概率事件包含的含义，利用分类讨论思想将事件分解为几个互斥的情况来求概率.

（二）纯粹的统计学问题

如，2016年全国课标卷3文、理科18题：下图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的折线图.

点评 （Ⅰ）由散点图及所给函数图像即可选出适合作为拟合的函数；（Ⅱ）令w=x，先建立y关于w的线性回归方程，即可得出y关于x的回归方程；（Ⅲ）（ⅰ）利用y关于x的回归方程先求出年销售量y的预报值，再根据年利率z与x，y的关系为z=0.2y-x即可得出年利润z的预报值；（ⅱ）根据（Ⅱ）的结果知年利润z的预报值，列出关于x的方程，利用二次函数求最值的方法即可求出年利润取最大值时的年宣传费用.另外，本题源于教材，解答非线性拟合问题，先作出散点图，再根据散点图选择合适的函数模型，设出回归方程，利用换元法将非线性回归方程化为线性回归方程.

小结：与函数相结合的概率统计题综合性强、难度大，2012年、2013年连续两年都出了与函数相结合的概率统计题.2014—2016年三年全国新课标卷仅考一题，然而2017年全国课标3卷19题又考查了与函数相结合的概率統计题.

二、概率统计题高考备考建议

（一）重视“边缘化”知识

近年来全国新课标卷的概率统计题以考查统计为主，常涉及一些容易忽视的“边缘化”知识.利用频率分布直方图估计中位数、众数和平均值、线性回归方程、独立性检验、正态分布，这些我们并不是很重视的知识在高考中都有考查.统计学公式比较复杂，有些原理理解起来比较困难，因此，建议统计学知识要反复复习.

（二）加强知识的深度理解

结合近几年全国新课标卷的概率统计题命题特点，在这一块内容的复习中要注意对统计知识的再挖掘.要深入理解统计学原理，领悟统计学思想，不能停留在记住结论、公式的表层上，要弄清结论反映的原理是什么、公式又是如何推导的.

（三）加强概率模型的区分与训练

尽管近年来概率统计题以考统计为主，但是概率知识也不可忽视.超几何分布、二项分布的区别与联系，值得重视.概率题的突破可以从概率模型入手，分模型训练.

（四）培养考生数据处理及运算能力

着重培养学生从“图表”中读取信息的能力及处理信息的能力（特别是处理数据）.另外，要加强对学生运算能力的培养，有不少考生就是因为运算不强导致计算错误而影响解题的进度，使得解答陷入困境.

（五）注重回归教材，加强往届试题研究

教材是教学之本，最后的复习过程中一定要加强对教材习题、重点例题的探究，注重对教材的挖掘和利用，很多高考题都源于教材.另外，要加强对往年高考题的研究，从中发现命题的特点，找出命题规律，进行有效复习.

总之，全国课标卷的概率统计题考查特点鲜明，可能放在第2道或第3道大题的位置，而且“统计”的味道很浓，涉及样本平均数、样本方差、考查线性回归、正态分布、独立性检验等.在“统计”的背景下考查“概率”，也常常与函数相结合，总是在知识的交汇处命题.因此，要深度挖掘教材知识、加强研究高考试题，切实提高学生分析问题、解决问题的能力，以不变应万变.

【参考文献】

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