谈谈”多解”与培养学生求异思维

吴根锋

【摘要】 本文通过对平面几何中一道例题的二十八种不同的证明方法，阐述在教学过程中利用一题多解的方法来培养学生的思维能力。

【关键词】 “求异思维” “添加辅助线” “多解”

【中图分类号】 G633.6 【文献标识码】 A 【文章編号】 1992-7711（2018）02-092-03

0

一题多解就是从结论开始，寻求多种解题方法。求异思维是一种不依常规，寻求变异，从多方面寻找解题方法的思维形式。培养学生的求异思维的目的在于开拓学生的思路，它能使学生的思维具有独创性、灵活性、严密性和广阔性。怎样才能培养学生的思维能力呢？本文从几个方面谈谈利用一题多解来培养学生的求异思维。下面就一道平面几何题。运用学过的基础知识，启发学生从多角度、多侧面、多学科、多途径的思考中作出三十种不同的证明方法。从而达到培养学生思维能力的目的。

一、点拔导向，学会分析

在教学中，只满足让学生“知其然”是远不够的，还必须使学生“知其所以然”。要从学生实际出发，由易到难，循序渐进地教会学生分析问题和解决问题的基本方法。以下面一道几何为例给予说明。

例题：在△ABC中，AE为∠BAC的角平分线，D为BC的中点，过D作平行于AE的直线交CA于F，交AB于G.如图（1）所示，求证：CF=BG

这是一道题典型的基础题。证明两线段相等，从思路上可以联想到的是：两三角形全等、等腰三角形、等腰梯形、平行四边形、等积、轴对称图形、比例线段、三角函数、圆的半径等问题。现我们先从学生最容易联想到的三角形全等开始；

思路（一）：添加辅助线使两三角形全等，得线段相等。

方法1、过点C、B分别向FD作垂线，垂足分别交FD于P、H两点。如图（2）所示，先证△BHD≌△CPD得BH=CP，后证△BHG≌△CPF得BG=CF.

方法2、过点B作直线BH，使BH//CF交FD的延长于H.

如图（3）所示，可证得△BHD≌△CFD，所以FC=BH，由已知条件可证△BHG为等腰三角形，可得BG=BH.从而得出BG=FC.

方法3、过点C作直线CH，使CH//AB交FD的延长于H.如图（4）所示，可得△BDG≌△CDH，所以HC=BG，又由已知条件可证△CHF为等腰三角形，可得CF=CH.从而得出BG=FC

二、激发求异思维，一题多解

学生掌握了分析问题的方法之后，教师要利用典型的例题进行一题多解，从而激发学生求异动机，有意识地安排一些多变的练习，增强思维起点和思维过程的灵活性。如本例题中，学生用添加辅助线使两三角形全等，得线段相等，学了几种证法后，教师启发学生能否用创设辅助线使三角形为等腰三角形或其他添加辅助线的方法，从而得线段相等？

思路（二）：创设辅助线使三角形为等腰三角形，得线段相等。

方法4、过点C作直线CH，使CH//DF交BA的延长于H.

如图（5）所示，由已知条件可证△AHC和△AFG都为等腰三角形，得AG=AF，AH=AC，所以CF=GH，因DG是△BHC的中位线，所以BG=GH，从而得出BG=FC.

方法5、过点B作直线BH，使BH//FD交CF的延长于H.

如图（6）所示，由已知条件可证△AHB和△AFG都为等腰三角形，得AG=AF，AHAB，所以HF=BG，由已知可证DF是△BHC的中位线，所以HF=CF.从而得出BG=FC

方法6、用尺规作图法作，以B为顶点，BG长为半径作弧，使弧与FD的延长线相交于H，连接BH，则△BGH为等腰三角形，如图（7）所示，得BG=BH，由已知条件可证得△BGH≌△CFD，得BH=CF，所以BG=CF.

方法7、用尺规作图法作，以C为顶点，CF长为半径作弧，使弧与FD的延长线相交于H，连接CH，则△CFH为等腰三角形，如图（8）所示，得CF=CH，由已知条件可证得△BGD≌△CHD，得BG=CH，所以BG=CF.

思路（三）：创设辅助线使四边形为平行四边形得线段相等。

方法8、过点D作直线DH交BG于K，使DH//CF，过点F作直线FH，使FH//CB，连接HB，如图（9）所示。则四边形DHFC和四边形BHFD都为平行四边形，得CF=HD，由已知条件得△BKH和△GKD都为等腰三角形，得KG=KD，KH=KB，所以HD=BG，从而得出BG=FC.

方法9、过点F作直线FH使FH//BC，过点B作直线BH，使BH//DF，连接DH，交BG于K，如图（9）所示。与方法8同理可得BG=FC.

方法10、过点D作直线DH交FC于K，使DH//AB，过点G作直线GH，使GH//CB，连接CH，如图（10）所示，可证四边形BDHG和四边形GHCD都为平行四边形，得BG=HD由已知条件可证△KHC和△KFD都为等腰三角形得KF=KD，KH=KC，所以，HD=FC，从而得出BG=FC.

方法11、过点G作直线GH使GH//BC，过点C作直线CH，使CH//DF，连接DH，交FC于K，如图（10），与方法10同理可得BG=FC.

方法12：过点C作直线CP，使PC//DF交BA的延长线于P，过点G作直线GQ，使GQ//CF交PC的延长线于Q，如图（11），可证四边形GQCF为平行四边形，得FC=GQ，由已知可证DG为△BPC底边CP的中位线，可得BG=GP=GQ，得出BG=FC.

方法13：过点B作直线BP，使BP//DF交CF的延长线于P，过点F作直线FQ，使FQ//AB交BP于Q，如图（12）则四边形GFQB为平行四边形，得BG=QF，由已知可证DF为△CBP底边BP的中位线，可得CF=FP=FQ，得出BG=FC.

方法14：过点B作直线BP，使BP//DF交CF的延长线于P，过点G作直线GQ，使GQ//CP交BP于Q，如图（13）则四边形GFPQ为平行四边形，得PF=GQ，由已知可证DF为△CBP底边BP的中位线，可得CF=FP=BG，得出BG=FC.

方法15、过点C作直线CP，使CP//DF交BA的延长线于Q，过点F作直线FP，使FP//GQ交CQ的延長线于P，如图（14）则四边形GQPF为平行四边形，得PF=GQ，由已知可证CF=FP，DG为△BCQ底边CQ的中位线，可得BG=GQ=PF，得出BG=FC.

思路（四）：创设辅助线使线段为三角形一边为底边上的中位线，得线段相等。

方法16：延长BG到H使GH=BG，连接CH。如图（15）所示，可得DG为△BCH底边CH的中位线，得CH∥GD.由已知条件可证△AHC和△AFG都为等腰三角形，得AG=AF，AH=AC，所以CF=GH.从而得出BG=FC.

方法17：延长CF到H使FH=CF，连接BH.

如图（16）所示，可得FD为△CBH底边BH的中位线，得BH∥FD.由已知条件可△AHB和△AFG都为等腰三角形，得AG=AF，AH=AB，所以HF=BG.

从而得出BG=FC.

三、转换角度，培养求异思维的灵活性

通过对上例题的多种不同的证明方法，大大地调动起学生的求异思维动机，这时教师要不失时机地转换角度，培养求异思维的创造性。一些数学问题，尤其是证明题，学生思考时老往一个方向，从而浪费时间和精力，如果学生能转换思维角度，从另一个侧面分析，就会使一些问题迎刃而解。

思路（五）：添加辅助线，使两三角形面积相等高相等，得底边也相等。

方法18：连接AD，GE，FE，如图（17）所示，由已知条件

可证S△ABD=S△ADC=S△BGE=S△CFE，且△BGE和△CFE的底边BG和CF上的高相等。所以等高等积的两个三角形也等底。从而得出BG=FC。思路（六）：添加辅助线，利用数形关系，用等量代换求线段相等。

方法19、过点D作直线DH，使DH//AB交FC于H.如图（18）所示，可得DH为△CAB的底边AB上的中位线，所以2HD=AB，设AH=m，AF=n，由已知条件可证△DHF为等腰三角形，可得HF=DH。从而得出AB=BG+AG=2DH，即BG=2DH-AG=2m+n，又因为FC=AF+

AH+HC=2m+n，所以得出GB=FC.

方法20、过点D作直线DH，使DH//FC交AB于H.如图（19）所示，可得DH为△BCA的底边AC上的中位线，所以2HD=AC，设GH=m，AF=n，由已知条件可证△DHG为等腰三角形，可得HG=DH。从而得出AB=BG+AG=2（m+n），即BG=2AH-AG=2m+n，又因为

FC=AF+AC=2m+n，所以得出GB=FC思路（七）：添加辅助线，利用解直角三角形，得两边相等。

方法21、过点C、B分别向FD作垂线，垂足分别交FD于N、M两点。如图（20）所示，在Rt△GMB中，sin（∠BGM）=BM/BG，在Rt△FNC中，sin（∠NFC）=CN/CF，由已知可证，∠BGM=∠NFC，BM=CN，从而得CF=BG.

思路（八）：添加辅助线，利用轴对称图形性质得线段相。

方法22、过点C作直线CH，使CH⊥DF，垂足K，过点F作直线FH，使FH//BG，连接BH，如图（21）所示，得出△HFC是关于FK为对称轴的轴对称图形，所以FC=FH，由已知条件可证四边形BGFH为平行四边形，得FH=BG，所以BG=FC.

方法23、过点B作直线BH，使BH⊥DF，垂足K，过点G作直线GH，使GH//CF，连接CH，如图（22）所示，得出△GBH是关于GK为对称轴的轴对称图形，所以BG=GH，由已知条件可证四边形GHCF为平行四边形，得GH=CF，所以BG=FC.

思路（九）：添加辅助线，利用圆的相关知识，得两边相等。

方法24、以G为园心，BG长为半径作圆，延长BG与圆相交于H点，连接HC，如图（23）所示。则有BG=GH，由已知条件可证DG为△BHC底边CH的中位线，△AHC和△AFG为等腰三角形，得FC=GH=BG，所以BG=FC.

方法25、以F为园心，CF长为半径作圆，延长CF与圆相交于H点，连接HB，如图（24）所示。

则有CF=FH，由已知条件可证DF为△BHC底边BH的中位线、△AHB和△AFG都为等腰三角形，可证得FH=CF=GB，所以BG=FC.

方法26、以B为园心，BG长为半径作圆，延长FD与圆相交于H点，

连接HB，如图（25）所示。则有BG=BH，由已知条件可证△BDH≌△CDF，得FC=HB，所以BG=FC.

方法27、以C为圆心，CF长为半径作圆，延长FD与圆相交于H点，连接CH，如图（26）所示。则有CF=CH，由已知条件可证△BDG≌△CDH，得CH=BG，所以BG=FC.

四、全方位，培养思维的广阔性

思维的广阔性是求异思维的又一特征，思维的狭窄性表现在只知其一，不知其二，稍有变化就不知所云。所以反复进行一题多解的训练就能使学生在训练中逐渐形成具有多角度全方位的思维方法与能力。如本例题已经练习了26种不同的添加辅助线的证明方法，当然还不止这些添加的方法。但这道题除了用添加辅助线证明外还有其他方法吗？这时教师就要启发学生全方位的分析这道题，使学生自己得出更多更好的证明方法。从而使学生的思维更具广阔性。

思路（十）：利用角平分线定理和平行线分线段成比例定理得两线段相等。

方法28、如图（27）所示，因为AE是∠BAC的角平分线，所以AC/CE=AB/BE，因为AE∥DF，可得BG/BD=AB/BE，AC/EC=

CF/CD，即AC/CE=BG/BD=CF/CD，所以BG/BD=CF/CD，因为CD=BD，得BG=FC.

方法29、如图（27）所示，因为AE是∠BAC的角平分线，AE∥DF，可得△AGF是等腰三角形，AF=AG，因为AE∥DF，得BG/BD=AG/DE，AC/EC=AF/DE=CF/CD，即BG/BD=CF/CD，因为CD=BD，所以得BG=FC.

方法30、如图（27）所示，在△GBD中，由正弦定理得BD/sin（∠BGD）=BG/sin（∠BDG），在△FDC中由正弦定理得CD/sin（∠F）=FC/sin（∠FDC）=FC/sin（180°-∠BDG）=FC/sin（∠BDG），由已知可得∠F=∠BGD，BD=CD.所以得BG/sin（∠BDG）=FC/sin（∠BDG），从而得CF=BG.

根据《数学新课程标准》规定：数学教学活动应激发学生兴趣；调动学生积极性；引发学生的数学思考；鼓励学生的创造性思维；注重培养学生良好的学习习惯；掌握有效的数学学习方法。以上通过对一道几何题的三十种不同的证明方法，从多侧面，多角度培养学生的解题思路，从而激发了学生的学习兴趣，达到启发学生思维的目的。在教学中灵活运用一题多解的教学方法，实质上就是培养学生的创新精神和实践能力，也是给学生提供更广泛的思维空间，让他们在多角度、多侧面、多学科、多途径的思考中，筛选出最佳的解法，找到最合理也是最科学的方法，从而达到培养学生良好的学习习惯；掌握有效的数学学习方法的目的。所以培养学生思维的最好方法是一题多解。

[ 参 考 文 献 ]

[1]人民教育出版社《数学》七、八、九年级全册.