均匀湍流诱发的侧斜螺旋桨的随机振动特性研究

王 力, 谌 勇, 郭云松, 华宏星(1.上海交通大学 机械与动力工程学院 振动冲击噪声研究所，上海 200240；2.中国船舶重工集团公司第七〇四研究所，上海 200031)

随着我国潜艇制造技术的日益发展，潜艇螺旋桨的振动与声辐射成为阻碍其发展的重要因素之一。湍流会对螺旋桨产生脉动推力，脉动推力通过轴系会传递到潜艇，造成许多不良的影响，如：振动、疲劳、噪声等[1-2]。脉动推力一般包括窄频周期力分量和宽频力分量[3-4]。窄频周期力主要分布在螺旋桨的叶频及其倍频处[5]，这是由于在不均匀的来流作用下产生在螺旋桨面上的脉动压力造成的。宽频力一般分布在一倍叶频处[6]，主要是由于湍流和螺旋桨相互作用产生的涡旋引起的。螺旋桨进流中的湍流是由两部分叠加而成，一方面是来流作用在船体边界层形成的湍流，另一方面是由于来流本身包含的湍流部分。因此，湍流可能会包括一系列不同的积分尺度，从而产生宽频的力谱。

关于螺旋桨的研究，目前国内通常的研究方法是利用仿真软件进行流固耦合分析，主要关注其水动力特性。国外学者除了对水动力特性进行研究外，还类比空气动力学中的理论，通过相关分析法描述作用在螺旋桨上的非定常力谱，然后简单叠加得到其振动响应，但是直接叠加基于刚性桨假设，缺少对弹性因素的考虑[7]。从近几年的实船测试及诸多理论分析表明，实尺度的螺旋桨叶片弹性大，固有频率可低至数十赫兹，会落在宽频激励能量比较集中的区域，由此引起的轴承力放大作用不可忽视，因此弹性是影响振动响应的重要因素。但对于如何计算这种放大作用，目前主要是通过一些近似方法进行计算，其准确性有待提高。

本文是以一般的侧斜螺旋桨为例，首先通过相关分析法来计算湍流作用在螺旋桨上的非定常力谱，然后根据随机振动理论，计算得到螺旋桨在湍流中的弹性响应，并对可能影响响应的因素如弹性和阻尼进行了讨论分析。

1 理论方法

1.1 非定常力谱理论

i,j=1,2,3α,β=1,2,…

(1)

图1 湍流诱导的螺旋桨桨叶的脉动推力

Fig.1 Description of rotor coordinate system, and

blade section view at radius r

τ-τ2)dτ1dτ2dt=

(2)

对式(2)进行傅里叶变换，得到不同条带之间的互谱密度函数

(3)

各向同性湍流任意两点之间的速度相关函数不会随着空间位置的改变而改变。一般采取的方法是Jiang的理论，任意两点之间的速度相关函数Rij可以写成[9-11]

(4)

式中：Λ为积分尺度；ri为两点在i方向的距离分量；r为两点之间的距离；u表示脉动速度。

(5)

式中：φα表示脉动速度与进流速度方向的夹角。

(6)

(7)

当翼展与弦长比值较大时，水动力频率响应函数三维条件下与二维条件下差别较小[12-13]，因此本例可以通过二维不可压缩无黏的空气动力学理论推导。Sears在实验中采用的是零度攻角的直桨，推导出的水动力频率响应函数表达式如下

(8)

(9)

当湍流流经螺旋桨时，脉动速度并不一定垂直于桨表面。一个简单的修正方法是考虑脉动推力与桨面的夹角，因此：

Hp(ω)=H(ω)cosφ

(10)

式中：Hp为螺旋桨前进方向的二维响应函数；φ为进流方向与螺旋桨前进方向的夹角。

结合速度相关函数和水动力频率响应函数可以计算不同条带之间的互功率谱。

1.2 随机振动理论

分析系统的随机响应，将螺旋桨周围的水也纳入考虑范围，可以得到系统的平衡方程[14]

(11)

式中：u(ω)为结构的位移；p(ω)为流体的压力；Ms，Ks和Cs分别为结构的质量矩阵、刚度矩阵和阻尼矩阵。而Ff(ω)和Ps(ω)为作用在结构和流体上的外力。考虑到流体的激励压力为随机载荷，可知Ff(ω)为矩阵形式。Mf，Kf和Cf为和流体相关的系数矩阵。而矩阵Sfs则表示流体和固体之间的耦合项。

由于原方程是不对称的，因此利用变换p→iωq得到对称形式的方程

(12)

不考虑阻尼项，可以求解方程的每一阶模态

(13)

(14)

(15)

(16)

1.3 计算过程

如图2所示，整个计算过程分为非定常力谱的计算和随机振动的分析两部分。

图2 计算过程

首先根据螺旋桨的特征参数，计算螺旋桨的三维坐标，完成建模[16]。将建好的模型导入有限元分析软件后划分网格，网格要划分的整齐均匀。后进行模态分析，计算在一定频率范围内的系统模态振型，模态分析是随机振动的基础。

然后根据非定常力谱的计算理论，沿径向方向把叶片分成若干条带，计算出条带之间的自功率谱和互功率谱。根据模型网格划分的结果，把每一条带的功率谱映射到每一条带包含的点上，作为随机振动分析的输入。

最后将已经计算的叶面节点的输入自功率谱和互功率谱读入，作为系统的输入，根据随机振动进行求解，计算系统的弹性振动响应。

2 结果讨论

2.1 系统的振动模态

本文中使用的螺旋桨是NACA 16 系列的5471螺旋桨，螺旋桨直径为2.030 m，桨榖直径为0.507 m，转速是1.9 r/min。所在环境的湍流参数是：湍流流速4.56 m/s，湍流度约为3%，积分尺度约40 cm。

螺旋桨轴系系统的有限元模型如图3所示，本文主要考虑的是系统纵向振动，假设轴的刚性较大，把轴系的质量集中到一个点，约为7 800 kg，采用一个弹簧来模拟轴系纵向振动时由于基座以及船体变形引起的综合刚度，刚度为7.7×107N·m，弹簧末端固定。为了模拟螺旋桨的工作环境，建立一个圆柱形水体将螺旋桨浸没在其中，水体的直径是20 m，高度5 m。

图3 系统的有限元模型

其中模型选用的材料是钢材，密度是7 900 kg/m3，弹性模量210×109Pa。

如图4(a)所示，为了便于利用条带理论计算，螺旋桨的网格划分要求均匀，桨叶的半径方向划分为43份，沿弦长方向划分为17份，包括中间的圆柱体共计16 295个C3D10单元；水体划分为306 627个AC3D10单元。如图4(b)所示，根据非定常力谱理论计算的力谱加载到螺旋桨的桨面上。

(a)网格划分(b)脉动压力加载面

图4 有限元建模

Fig.4 The modeling of finite element method

采用Lanczos方法提取前61阶模态。对比没有附连水的系统的振动模态，其模态频率整体下降，说明周围的水会对系统产生影响。部分模态的固有频率分布和模态振型如图5。由于螺旋桨六叶片的对称性，在前三十阶振动模态里，相似的振动模态每6个为一组。第一阶模态是由于轴系的质量引起的整体的纵向振动，不同于其他模态，其中叶片的不对称性是由于建模和网格划分时产生的误差导致的。第二阶模态到第七阶模态是每片叶片的单点悬臂梁振动，是振动的主因。第八阶模态到第十三阶模态是叶片的两节点的弯曲振动，随着频率的增加，将出现更为复杂的弯曲-扭转耦合的振动模态。

(a)第一阶模态(9.77Hz)(b)第二阶模态(30.00Hz)(c)第八阶模态(148.13Hz)(d)第十九阶模态(321.57Hz)

图5 系统模态频率和振型

Fig.5 The natural frequencies and modal shapes of the system

2.2 系统的纵向振动力谱

计算系统的响应，首先直接将非定常力谱叠加可以得到刚性螺旋桨的振动响应，根据Jiang的相关法计算，在叶频19 Hz处有一个峰值出现，峰值的大小与湍流尺度有关，湍流尺度越小，峰值越小。而且由于螺旋桨的弯曲程度较小，因此产生的峰值也较小。

通过随机振动的分析可以得到弹性系统的振动响应，系统具有明显的滤波性，在高频处弹性系统的需响应明显小于刚性系统。其中fs表示轴系的固有振动频率，f1,f2,f3…表示螺旋桨的第一组、第二组、第三组等固有振动频率。在系统的固有频率处都有明显的放大作用，尤其是轴系固有频率fs的振动放大效应很明显。相比由于共振引起的峰值，由于螺旋桨的旋转导致的峰值较小，几乎可以忽略不计。两种方法计算得到的结果，如图6所示。

图6 系统的弹性和刚性振动力谱

曲线中在低频处，系统每组振动频率处只有一个峰值；而随着频率的不断增加，峰值处出现了一些明显的次峰值。这是由于每组模态振动频率的范围变大导致的。系统的前40阶模态的振动频率分布如图7所示，由于系统的对称性，把每六个振型分为一组，每一组的第一个模态频率和最后一个模态频率之差记为Δn

Δn=f6n+6-f6n+1

(17)

如图可知Δn的值从几赫兹一直到几十赫兹不等，

图7 系统的模态振动频率

模态振型的不对称性越强，这将对随机振动分析产生较大影响，会导致响应曲线的峰值出现分裂。

31阶模态振型之后，振型的周期性逐渐消失，不再出现每6个相似振型连续出现的情况。导致高频处，响应曲线存在一些明显的较小的峰值。

图8是螺旋桨桨榖中心和螺旋桨桨叶边缘的随机振动响应。可以看出桨榖中心更容易受到轴系系统的影响，当频率为fs时会出现明显的振动峰值，而桨叶边缘不会。桨叶边缘主要是桨叶本身的振动响应，当频率为f1时，其振动峰值也大于桨榖中心。整体而言，桨叶边缘的振动响应也要大于桨榖中心处。

图8 系统叶尖处和桨榖中心处的振动响应

2.3 系统弹性的影响

首先考虑轴系弹性对于系统响应的影响。采取不同的材料制造螺旋桨的轴系时，轴系会有不同的固有振动频率，现在通过改变轴系材料的弹性模量来改变其固有振动频率，进而分析轴系弹性对于系统的影响。当轴系的固有振动频率分别为fs=10 Hz, 20 Hz, 40 Hz时，系统的推力谱响应如图9，弹簧的整体响应变大，由轴系固有频率激发的推力峰值变化不大。可见，当轴系弹性模量较大时，系统整体类似刚性螺旋桨，对振动响应的滤波性减弱，因此，在保证足够刚度支撑螺旋桨的同时，应降低轴系的刚度。这样可以明显降低除轴系固有频率处的振动响应，有利于潜艇整体的减振降噪。

图9 不同的轴系刚度下的系统振动力谱

考虑螺旋桨材料刚度对系统响应的影响。如图10，当改变螺旋桨的材料弹性模量，使其第一组振动模态的频率分别为30 Hz, 45 Hz, 60 Hz时，共振峰随之改变，同时由于系统的滤波作用，共振峰推移后会随之减小，可以降低20 dB左右；而由于轴系的固有频率导致的共振峰几乎没有变化。因此可以适当采取较为刚硬的材料来制造螺旋桨。

图10 不同的桨叶刚度下的系统振动力谱

2.4 系统阻尼的影响

考虑系统的阻尼对于系统振动响应的影响。如图11，以阻尼接近0(×10-6)的情况作为对比，此时系统的每一阶共振峰峰值都极大，符合共振理论。实际情况中阻尼大小有所不同，其中考虑当系统的阻尼分别为0.03,0.06,0.09时的振动响应。从计算结果可以看出系统的所有共振峰峰值随着阻尼的增大都有明显的降低，最多下降约10 dB；但阻尼对非共振峰附近的振动响应影响较小。因此，增加系统的阻尼是降低螺旋桨-轴系系统振动峰值的有效方法。

图11 不同阻尼下的系统振动力谱

3 结 论

本文以侧斜螺旋桨为例，运用相关分析法描述均匀湍流中螺旋桨面的输入非定常力谱，通过随机振动理论，计算出侧斜螺旋桨的随机振动响应。通过分析不同系统参数对弹性振动响应的影响，可以得到以下结论：

(1) 通过随机振动的方法可以合理的描述螺旋桨在均匀湍流中的振动响应。弹性螺旋桨系统具有明显的滤波性，在高频处，系统的响应会明显降低。螺旋桨本身的固有频率对相应频率处的响应有放大作用。

(2) 由于系统每组模态振动频率的范围不同，会导致系统高频的随机振动响应的振动峰值附近出现次峰值，频率越高，峰值分裂的现象越明显。

(3) 在螺旋桨-轴系系统中，轴系的弹性模量越小，固有频率越小，滤波作用越明显，引起的振动越小；螺旋桨的弹性模量越大，共振峰越小，引起的振动越小。

(4) 当增加系统的阻尼时，系统固有频率附近的振动响应均会不同程度的减小，有利于潜水艇的减振作用，是螺旋桨减振降噪的基础。

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