在小学数学教学中培养学生概括能力

■ 武汉市黄陂区前川街第五小学 董文学

抽象与概括是隶属于思维过程和科学方法两个维度的内容，抽象是从众多的事物中抽取出共同的、本质性的特征，而舍弃个别的、非本质的特征；概括是把从具有相同属性的某些事物中抽取出来的本质属性推广到具有这些属性的一切事物，从而形成关于这类事物的普遍概念。数学是抽象概括性很强的科学，在小学阶段，学好数学这门学科，对学生抽象概括能力的培养，初步逻辑思维能力的形成，以及数学素养的提升，意义重大。因此，教师要注重在日常每一节课的教学中有意识地去培养和训练学生的抽象概括能力。

一、强化学习材料的丰富性，提升抽象概括能力培养的针对性

数学中的概念及结论，往往是对大量具体而生动的对象进行抽象概括而来的，它代表了这些对象的本质特征。抽象与概括的过程，就是将丰富而具体的材料进行去粗取精、去伪存真、由此及彼、由表及里的加工与制作，从而实现感性认识上升到理性认识的过程。由于小学生的思维特点是从具体形象思维为主逐渐往抽象逻辑思维为主的方向发展的，对于他们来说，对数学概念及结论的抽象概括，更需要基于充分而具体的学习材料来展开。

在课堂教学中，教师要适应小学生思维发展的年龄特点，就要为学生提供全面而充分的学习材料，或引导学生搜集足够的学习资源，让他们从外表各不相同的许多数学材料中找出共同点，从而顺利地抽象和概括出事物的本质属性。

【案例】二年级上册“角的初步认识”的教学

师：在日常生活中，经常会看到角。（出示剪刀、吸管、水管实物图）请同学们仔细观察，剪刀、吸管、水管上有角吗？你能指一指吗?

师：下面老师把同学们从这些图形中看到的角找出来。（课件呈现实物上出现的角，之后留下角的图形，而让实物消失）

师：大家观察一下，这些角有什么共同点？

本案例中，师生从三种典型实物中抽象出三个角的图形，又从代表锐角、钝角、直角三个角的图形中抽象概括出角的特征：角有一个顶点、两条边。

在小学教材中，提供的学习材料往往比较典型。这种典型的材料虽然有利于学生进行抽象概括，但也容易让学生误把这些典型材料的非本质属性抽象成本质属性。所以教师在向学生提供各类学习材料时，还应有针对性地设计变式材料，以防止学生抽象概括时走进误区。如上例“角的初步认识”中，教师还可呈现角的开口朝上、朝下、朝左等多种情况。再如，有的学生对“相互垂直”的概念往往习惯于理解为水平和竖直。究其原因，就在于在知识的形成过程中，教师仅提供了互相垂直的标准式，即：，没有为学生提供变式，如：使学生未能在“两条直线相互交成直角”这一本质意义上对“相互垂直”进行抽象概括。

需要提醒的是，教师提供的变式性材料，要有利于充分展现事物的非本质属性而保留事物的本质属性，要能让学生在事物的各种表现形式和事物所在的不同情境中认清事物的本质属性。当然，为突出学生对事物本质属性的认识，教师可用反例来加深学生的印象，如在教学分数的初步认识时，可运用“随意分”的反例加深学生对“平均分”的理解。

二、强化观察比较环节的引导，提升抽象概括能力培训的有效性

教师提供的学习材料或引导学生搜集的学习资源毕竟是“不会说话”的客体，教师必须引导主体（即学生）进行有意识的观察和比较，才能找出材料中的相同点、不同点，从而把一般特征、本质属性与个别特征、非本质属性区别开来，把一般特征、本质属性剥离出来进行抽象，再加以联系分析，推广到相同、相似事物中进行概括，最终形成概念与规律，形成数学结论。因此，对感知材料的认真观察、细致比较是进行抽象与概括的前提和基础。据此，教师在组织学习材料时，就要有意识地让这些材料形成一个有序的结构，在方便学生进行观察和比较的同时，也能更有效地培养学生的抽象概括能力。

【案例】五年级上册分数基本性质的教学

（一）创设情境，引发猜想

教师讲故事：山上有一群猴子，他们都爱吃猴王做的饼。一天，猴王做了三张同样大的饼。猴王把第一张饼平均切成了两块，给了猴甲一块。猴乙看见了，眼馋地说：“猴王，猴王，我要两块。”猴王笑眯眯地说：“别急，别急，给你两块。”只见猴王把第二张饼平均分成了四块，给了猴乙两块。猴丙更贪心：“我要六块，我要六块。”猴王想了想，把第三张饼拿出来，平均切成了十二块，果真给了猴丙六块。

师：同学们，你们听完故事后，觉得哪只猴子分得的饼最多？

（二）动手操作，初步感知

学生把准备好的三张同样大小的圆片代替猴王做的饼，分别按照折、画、涂的步骤，表示出每只猴子所得的饼，并用分数表示涂色部分。如下图：

师：大家观察和比较一下，哪只猴子分得的饼最多？（同样多）可以看出这三个分数大小相等。

（三）比较归纳，揭示规律

（1）请同学们观察上面等式：从左往右看，分子是怎么变的？分母是怎样变的？你发现了什么？你们再从右往左看，又有什么规律？

（2）师：分数的分子、分母如果同时乘0或同时除以0，会是什么结果？

（3）师：你们能不能用一句话来概括这两个发现？

师生共同完善规律，教师总结，揭示这一规律就叫分数的基本性质。

上面的案例中，教师就是通过讲故事、画图形和提问题等多种方式引导学生观察数学现象的。因为只有在观察的基础上进行思考和分析，才能得出正确的答案，抽象概括出合乎逻辑的数学规律。

三、强化学生表述能力的训练，提升学生抽象概括语言的准确性

在课堂学习时，学生在对事物的本质属性进行抽取、推广以形成对某一事物普遍认识，或是用语言描述抽象概括出数学结论的过程中，容易出现一些偏差。确切地说，就是经概括形成的概念，由于学生认识水平的局限或语言描述能力的限制，未能准确覆盖住它所指向事物的所有个例而出现以偏概全的错误。这时，教师就要仔细倾听学生的表述，发现问题时，要及时采取措施进行引导，帮助学生学会科学、准确地进行概括。

在“圆的认识”一课中，为探索圆的直径与半径的关系，学生根据它们的定义，通过对圆片进行折一折、量一量或想一想的方式进行逻辑推理，抽象概括出直径与半径的关系并表述为：直径是半径的2倍，半径是直径的二分之一。这时，教师拿出大小相差甚远的两个圆片，指着其中的小圆，笑着质疑：它的直径是这个大圆半径的2倍吗？明显的差别让学生立马意识到刚才的表述有问题，最终更正为：在同圆或等圆中，直径是半径的2倍，半径是直径的二分之一。

再如，在上例教学“分数的基本性质”时，学生曾得出这样的初步结论：分数的分子、分母同时乘或除以一个相同的数，分数的大小不变。当时老师以提示性的问题引导学生思考：“如果分数的分子分母同时乘或除以0，会是什么结果？”让学生及时认识到结论的漏洞所在——乘或者除以一个相同的数时，不能乘或者除以0。这样的提示，也能让学生知道如何改正错误，如何用缜密的语言进行概括，得出科学的规律。

语言是思维的物质外壳。学生通过对多个具体对象的观察比较最终抽象概括出结论时，需要用语言进行表述。数学语言表述得是否准确，是否严密，将会影响到结论的准确性和概括的科学性。因此，教师要重视对学生表述能力的训练，要把学生语言能力的培养也作为数学教学的重要内容之一，认真对待。

四、强化能力层级发展的规律性，逐步提升学生抽象概括能力

小学生六年的学习是一个由易到难、循序渐进的过程。在数学教学中，教师引导学生进行抽象、概括时，一定要根据学生的年龄特点和当前思维水平，逐步提高目标要求，由浅入深，由低级到高级，有序提升，让学生抽象概括能力的培养过程体现出阶段性和层次性的规律。

我国现代心理学奠基人之一朱智贤认为，少年儿童的数学概括能力可依次分为直观概括、具体形象概括、形象抽象概括、初步的本质抽象概括、代数命题概括五个层级的水平，而小学生概括能力主要处于前面四个层级。

低年级学生对事物的认识具有直观性、形象性的特点。在教学中，教师应根据他们思维发展的年龄特性，先引导他们对事物进行一、二层级水平的初步抽象概括训练，即让他们根据事物的表征进行分析和比较，舍弃那些不同的个别属性，而把那些彼此相同的一般属性综合起来，形成某个具体概念。例如一年级小朋友认识自然数“1”时，教师可让学生观察主题图：1所学校、1面国旗、1位老师等；之后，可提供更多的图片，如1朵花、1只小鸭、1瓶矿泉水等；在学生观察完这些图片后，教师再提问：它们的数量都是几？你还能举出数量是“1”的具体事物吗？通过这样的逐步引导，学生就能从具体事物里抽象出自然数“1”了。

到了中年级、高年级，随着学生生活经验的增长、知识水平的提高和思维能力的提升，教师就需要及时地引导学生对事物进行较高层级的抽象概括，即可进行三、四级水平的抽象概括训练。教师可引导学生尽力去提取事物的本质属性，形成各种抽象概念或规律。例如：四年级数学上册教学“速度路程时间之间的关系”时，教师出示：（1）小车的速度是80千米/时，2小时可行多少千米？（2）李老师骑自行车速度是225米/分，10分钟可以行多少米？在学生完成这两道题的练习后，教师可让学生观察这两道题有什么共同特点。学生经过观察、比较、分析与综合后，抽象概括出其中的数量关系式：速度×时间＝路程。经过这样的抽象概括的不断训练，学生对行程问题中数量之间关系的认识就更为深入和清晰了。

学生数学抽象概括能力的培养是一个循序渐进的过程，需要教师在小学阶段进行有序而系统的训练。作为教师，一定要在数学课堂教学中备足学习资源，引导学生仔细观察数学现象，在认真比较、全面分析、科学总结数学概念和数学规律的过程中发展学生思维，提升学生能力。