《二次函数》概念课的教学设计

李俊平 于晓青

关键词：核心素养；概念教学；二次函数教学设计

中图分类号：G633.62 文献标识码：B 文章编号：1009-010X（2018）05-0062-03

一、案例背景

概念教学在数学课程中占有核心地位。李邦河院士在《数的概念的发展》一文中指出“数学根本上是玩概念的，不是玩技巧，技巧不足道也。”章建跃博士进一步指出，玩概念包含两个方面：①定义概念（理清数学对象的要素，明确本质）；②利用概念研究数学规律，就是研究各种各样的关系。

然而据笔者观察，平时的公开课大家都不愿意选择概念教学内容，觉得玩不好会上成一节平淡无奇的课——由于内容抽象学生听得没劲，甚至旁听教师也觉得索然无味，授课教师也觉得尴尬——而概念教学又有如此重要，为了解决这个备课矛盾笔者对概念课的教学进行了深入的研究。本文选取课例内容针对九年级下册第30章第一节第一课时章前概念课《二次函数》，是笔者近期用河北教育出版社的教材，与河北某地程度较好的学生共同完成的一节公开示范课，旨在通过展示概念课教学流程为广大数学教师群体在落实核心素养课堂方面提供一点研究素材。

二、基于落实核心素养的课程目标分析

（一）学情分析

九年级学生已具备知识铺垫和较高的观察、归纳、空间想象等能力。二次函数是冀教版九年级下第三十章的内容，是学生在已经学习了一次函数、反比例函数的基础上，需要进一步学习的又一类重要函数。二次函数是函数家族的重要成员，是中学生对函数认知体系的重要延伸。本节课作为二次函数内容教学的起始课，必须为学生今后学习二次函数的概念、性质、表达、应用奠定扎实基础。

（二）教學目标

1.掌握新旧知识间的关系，掌握二次函数表达式，会确定二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项；2.探索和分析两个变量之间建立函数关系的过程，学会用数形结合的数学语言描述变量关系； 3.体会类比思想、函数模型、从特殊到一般的归纳思想。

本课教学重点在于帮助学生对二次函数形成认知，难点是学生对二次函数模型——“抛物线”的理解。

（三）学法设计

由于本课重点在于让学生建立新的概念体系，课堂时间安排必须以学生观察和思考为主。为了充分落实学生在课堂实践占据主体地位的理念，笔者认为本课教学过程应该注重学生独立猜想、类比验证等思维训练，在课堂上通过进行观察、辨析、归纳获得新知。

（四）具体教学过程

环节一 导学

从学生熟悉的基础知识——圆的半径与周长、面积关系引入二次函数：

“说出这个变化过程中，改变半径r，圆有什么改变？”

1：周长与半径关系：y=2π·r；

2：面积与半径关系：S=π·r2.

环节二 实际建模，归纳概念

为了便于类比，给出的是学生容易上手的问题，引发学生基于方程模型建立二次函数概念。

1.某企业今年第一季度的产值为80万元，预计产值的季平均增长率为x.

设第二个季度的产值为z万元，z=______

设第三季度的产值为y万元，y=______

2.某水果店销售一种水果的成本价是5元/千克。在销售中发现，当这种水果的价格定为7元/千克，每天可以卖出160千克。在此基础上，这种水果的单价每提高1元/千克，该水果店每天就会少卖出20千克。设这种水果的单价提高了x元/千克。

（1）每天实际销售的水果量z用表示，那么用含x的代数式来表示z=______；（2）若该水果店每天销售这种水果所获得的利润用y表示，那么用含x的代数式来表示y=______。

3.如图，正四边形有2条对角线，正五边形有5条对角线，正六边形有9条对线，如果正多边形的边数用x表示，设从一个顶点出发可做z条对角线，那么用含x的代数式来表示z，z=______；这个正多边形共有y条对角线，那么用含x的代数式来表示，y=______。

……

上面问题完成后让学生先分组交流然后展示，订正答案。

通过师生共同探讨，得到了以下八个关系式：

引导学生观察化简后的关系式：

z=2πr y=πr2

z=80x+80 y=80x2+160+80

z=x-3 y=- x2- x

y=-20x+160 y=-20x2+120x+320

思考归纳：

（1）y，z都是x的函数吗？它们的表达式有什么相同和不同？

（2）你能写出它们的一般形式吗？

学生很容易得出第（1）组是一次函数，一般式是z=kx+b（k≠0）形式.

对于右边这组问题，学生需要经过辨析、类推的思维过程，得出：①它们都是含自变量的二次式；②一般式有三项，并按自变量的降幂排列；③各项系数用a、b、c来表示，a≠0是必不可少的条件。教师需要在学生结论中强调二次函数比一次函数多了一项，叫“二次项”，由此顺利得出“二次函数”概念：

一般地，如果两个变量x和y之间的函数关系可以表示成y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0），那么称y是x的二次函数。期中a叫二次项系数，b叫一次项系数，c叫常数项。

下面是概念的精致化过程。一般式特征强调几个需要注意的：

1.等号左边是变量y，右边是关于自变量x的整式；

2.a，b，c为常数，且a≠0；

3.等式的右边最高次数为 2，可以没有一次项和常数项，但不能没有二次项；

4.x的取值范围可以是任意实数。

进而组织学生活动以巩固概念：指导学生设计二次函数的例子并指出其二次项系数、一次项系数和常数项。对比二次函数与一次函数、反比例函数的不同，联想二次函数的图像，性质和应用。

环节三 表达与应用

请同学们填空并观察表格中数据的变化，引导学生发现二次函数的增减性，对称性和最值，使学生发现二次函数的图像一定不是直线，一定不是双曲线，描点得出图像——抛物线。

师：若该球运动的轨迹是抛物线，解析式就是这个y= x2+ x+ ，当x表示运动中的球到y轴的水平距离，y表示球到地面的距离，爱打篮球的看过来，看（7，3）这个点是否在图像上？满足这个二次函数的解析式，显然点在抛物线上，因此可以投中。

环节四 感悟总结 梳理分享

在本节课上，从哪些方面认识了二次函数，对二次函数的探究从哪里开始的？接下来我们学习了什么？根据你的经验，后面几课我们将会学习二次函数的哪些方面的知识？

作业：

1.课本27页A组第1、2、3题；

2.完成一起探究的第1题，P27的“做一做”；

3.请在同一坐标系中画出y=x2与y=-x2； y=2x2与y=-2x2的图像.

三、基于落实核心素养的概念课的教学思考

中学数学中的许多概念，特别是一些基本概念，与现实生活有密切联系。

理解掌握概念课的第一个阶段：感知概念，它是学生理解概念的必要阶段，每一个概念的形成都有它的背景，了解概念产生的来龙去脉是概念教学的要点之一。通过学生熟知的问题提炼两个变量的函数关系，让学生感知新的函数类型，教师要充分利用概念的现实背景，提出现实的问题，使学生身处现实问题情境中，，通过亲自体验来感知感念，这样通过老师的引导可以使学生在解决实际问题中学会思考并获得必备的数学素养。

理解概念的第二个阶段：它是学生对活动进行思考，经历思维的内化、类比、抽象成模型的过程。概念的形成过程是一个师生互动的过程，在这个过程中要渗透概念教学中常用的数学思想和方法，如，数形结合、类比、函数与方程、分类讨论等思想和方法，逐步让学生在思考问题时选择合理的思想和适宜的方法进行处理，对问题进行创造性解决。如在一次函数、反比例函数与二次函数的关系进行对比，厘清概念与概念之间的关系进行辨析，引导学生深入理解概念。一般数学的概念有如下特点： 高度的抽象性，抽象的反应一类事物的本质属性， 简明性，表现形式简明、准确，具体性与抽象性统一且具有较强的系统性。这个过程是突出数学思想和方法的教学，鼓励学生的创造性，使学生获得数学经验和数学素养的重要各环节。

理解概念的第三个阶段：通过师生之间、生生之间的交流与合作，在学生感觉、知觉和表象状态下，通过分析综合、抽象概括等思维活动，从个别到一般，从具体到抽象，逐步把握一类事物的本质，形成一个概念。这个过程实质上是一个学习过程，也是一种重要的思维活动。“学生在学习期间和老师和同学的交流程度一定程度上决定了这个学生的高度”。学生对老师的课堂内容应该从开始的模仿慢慢转化到随着问题进行思考，思考得多了自然会产生很多独立的见解。在課堂上就要让这些思维的火花闪现，让师生共同探讨，让学生进行讨论，只有思维的碰撞才能产生丰厚的成果。将概念教学最终纳入学生的认知链、形成知识体系是概念教学追求的最终目标。

【责任编辑 冯梦阳】