基于比例危险退化建模的产品可靠性评估方法

蔡忠义, 陈云翔, 李 超, 李姗姗

(空军工程大学装备管理与安全工程学院，西安 710051)

0 引言

随着状态监控(Condition Monitoring,CM)技术的发展，通过监测产品的关键性能参数随时间的退化数据，外推出产品的健康状态和可靠性信息逐渐受到研究人员的重视。对于产品性能退化数据的研究，主要是解决如何对收集到的产品随时间变化的性能退化数据进行统计建模，外推出产品寿命或剩余寿命的分布函数，即退化建模。按照产品关键性能参数的多少，退化建模分为一元退化建模和多元退化建模。其中，一元退化模型可分为参数模型和非参数模型[1]。

参数模型还可细分为退化轨迹模型、退化量分布模型、累积损伤模型、随机过程模型等。参数模型需要预先假定产品的寿命分布类型，采用统计分析方法来拟合出分布参数，但这种模型需要大量性能退化数据以达到估计精度要求。非参数模型有比例危险模型、比例优势模型等，不需要预先假定产品的寿命分布模型，模型适用性更广[2]。

比例危险模型最早由COX提出并应用于寿命数据分析，其优势是估计不需要依赖于所选的寿命分布[3]，采用非参数统计方法获取产品的可靠度，具有较好的模型适用性，可用于研究额定应力和加速应力下退化数据的评估问题，但该模型的难点在于如何合理选定基准失效率函数。

EGHBALI扩展了COX的比例危险模型，提出一种融合加速退化因子的比例危险退化模型并用于处理ADT数据[4]。基于ADT数据的比例危险退化模型，以应力随时间的变化为协变量，建立了基于比例危险的加速退化模型，适用于处理分布规律未知的退化失效问题[5-6]。文献[7-8]将比例危险模型推广应用于非加速条件下性能退化数据的可靠性评估。文献[7]以退化量为协变量，假定基准失效率为λ0(t)=abtb-1，实际是默认产品寿命服从Weibull分布，使得该方法的应用有一定局限性;文献[8]采用多项式拟合各监测时刻的失效率函数，选定中间监测时刻上的失效率函数作为基准失效率;文献[9]采用分布差异度模型来确定每个监测时间点上的最优分布类型;文献[10]改进了比例失效率模型，实现了产品历史退化数据和当前监测数据的有效融合。

因此，本文引入比例危险模型作为非参数型退化模型，将监测时刻视为类加速因子并作为协变量，建立比例危险退化模型。

1 比例危险模型

已知协变量x下产品寿命T的可靠度函数为RT(t|x)，其密度函数为fT(t|x)，则给定x下的寿命T的失效率函数表示为

(1)

若失效率函数具有如下性质：当x1≠x2时，λ(t|x1)/λ(t|x2)与t无关，则认为寿命T与协变量x的关系适用于比例危险模型[11]，可表示为

λ(t|x)=λ0(t)·g(x)

(2)

式中：λ0(t)可以理解为g(x)=1的基准失效率函数。当g(x)用参数形式表示时，即g(x)=exp(xβ)，则式(2)也称为COX模型。

2 比例危险退化建模

2.1 模型假设

1) 产品的关键性能参数仅有一个，产品性能退化量X(t)是单调增函数，当退化量达到退化失效阈值l时，则判定产品退化失效。

2) 对M个受试产品都进行N次监测，共得到N×M个退化数据。

3) 监测时刻ti上的性能退化数据xij(i=1,2,…,N;j=1,2,…,M)服从同一个分布类型。

2.2 退化量分布与寿命分布之间的关系

已知产品的性能退化量为X(t)=h(t,θ)(θ为未知参数)，则产品达到退化失效阈值l的寿命T(l)=h-1(l,θ)。记寿命变量T(l)的累积分布函数为FT(t|l)，性能退化量X(t)在t时刻的累计分布函数为FX(x|t)且X(t)是t的增函数，可知

(3)

则有RT(t|xi)=FX(xi|t)。

2.3 比例失效率退化模型

引入比例危险模型来描述产品寿命与退化量的失效率(即退化失效率)之间的关系。设各监测时刻ti(i=1,2,…,N)构成给定的单因素协变量t，在协变量t下产品性能退化量的可靠度函数为R(x|t)，概率密度函数为f(x|t)，则产品退化失效率函数λ(x|t)可表示为

(4)

式中：λ0(x)为选定的基准时刻t0上退化失效率函数;g(t)为与协变量t有关的函数。

可将监测时刻看作类加速因子，建立比例失效率退化模型为

λ(x|t)=λ0(x)·g(t)=λ0(x)·exp[p(t)]

(5)

式中：p(t)为类加速模型。

由式(5)可得产品退化量的可靠度函数为

(6)

由式(3)、式(6)可得，当产品退化失效阈值为l时的可靠度函数为

(7)

lnk=p(t)=β1t+β2

(8)

式中：β1,β2为未知参数，可由数组[t,lnk]拟合求出。

3 退化量分布模型确定

对于各监测时刻上退化量分布类型的确定，一般是初步确定其备选分布类型，如正态分布、Weibull分布、对数正态分布、Gamma分布、逆Gamma分布等。采用分布假设检验方法，从这些备选分布中确定各监测时刻上退化数据的最优分布类型。

(9)

式中：Fn(x)为经验分布函数；F(x)为假设的累积分布函数。

(10)

确定各监测时刻上最优分布类型后，采用极大似然估计(MLE)方法求解出各分布参数估计值。同时，选取各监测时刻上较为普遍的分布类型为基准分布、相应的失效率函数即为基准失效率函数。

设监测时刻ti上退化失效率值相对于基准时刻t0上退化失效率值的比例系数为ki，其算式为

(11)

式中：λ(xij)为监测时刻ti上产品j的退化失效率值；λ0(xj)为基准时刻t0上产品j的退化失效率值。

4 实例分析

现有一批15个激光器进行额定应力退化试验。当激光器的工作电流增加至其额定电流的10%时，则认为该激光器失效。利用数据采集器，每间隔500 h监测一次激光器的工作电流，每个激光器监测8次。现将收集到的15个激光器的工作电流增量数据作为评估样本，如图1所示。

图1 15个激光器的工作电流增量数据Fig.1 Increase of operation current of 15 lasers

将本文提出的非参数型退化建模方法(利用分布假设检验方法来确定退化量分布类型)记为M1；文献[9]提出的非参数型退化建模方法(利用分布差异度来确定退化量分布类型)记为M2；将文献[8]提出的非参数型退化建模方法(默认基准分布类型为Weibull分布)记为M3。通过对比分析上述3种方法下的激光器可靠性评估结果，验证本文所建模型的正确性和优势。

1) 确定退化量分布模型。退化量的备选分布类型有：正态分布、对数正态分布、Weibull分布、Gamma分布、逆Gamma分布。根据各监测时刻上产品退化数据，由式(10)计算出各监测时刻的检验统计量AD值(见表1)。

表1 各监测时刻上检验统计量AD值

由表1可知，500 h上退化量最优分布类型为Gamma分布，1000 h,1500 h,2000 h,2500 h,3000 h上退化量最优分布类型为Weibull分布，3500 h上退化量最优分布类型为对数正态分布，4000 h上退化量最优分布类型为逆Gamma分布。同时采用MLE方法，即可得出各分布参数估计值。

2) 确定各监测时刻上退化量失效率。

由于1000 h,1500 h,2000 h,2500 h,3000 h上退化量的最优分布类型均为Weibull分布，将其作为基准分布类型。选取1000 h为基准时刻，求出基准时刻上Weibull分布参数m,η的估计值分别为3.412,5.871。则基准失效率函数λ0(x)表示为

(12)

将基准时刻上各激光器的退化量值代入式(12)，即可求出基准时刻上的退化失效率值。同理可求出其他监测时刻上所有激光器的退化失效率值，绘制出激光器的退化失效率曲线，如图2所示。

图2 各监测时刻上激光器退化失效率曲线Fig.2 Degradation failure rate of laser at each moment

由图2可见，各监测时刻上激光器的退化失效率曲线的斜率总体上呈现一定比例关系。随着监测时间增加，退化失效率曲线的斜率逐渐减小，说明上述退化失效率可以用比例危险模型进行描述。

3) 确定退化量失效率的比例系数。

由式(11)计算出各监测时刻上退化量失效率的比例系数ki(见表2)。

表2 各监测时刻上退化量失效率比例系数

4) 评估结果分析。

由式(7)求出激光器的可靠度函数为

另由M2,M3所得到的可靠度函数，一并绘制如图3所示的可靠度曲线。

图3 不同方法下可靠度曲线Fig.3 Reliability curves of different methods

由图3可见:在监测初期，M1所得的可靠度曲线略低于M2,M3所得的可靠度曲线；在监测后期，M1所得的可靠度曲线与M2所得的可靠度曲线基本重合,M3所得的可靠度曲线下降过快。说明本文所得到的可靠度评估精度较M2方法略优且略偏保守，符合工程上的做法。

5 结论

本文引入比例危险模型，建立非参数型退化模型，利用分布假设检验方法来确定退化量最优分布类型，得到了退化量的基准分布、基准失效率及其比例系数，外推出了产品的可靠度函数。实例分析表明，本文提出的可靠性方法较现有方法在评估精度、模型适用范围、前提假设上有一定的优势，具有一定的工程应用价值。

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