（2+1）-维5阶KdV方程的相互作用解

孟 勇

（宁波大学，浙江 宁波 315211)

1 引言

世界的本质是非线性，线性只是在某些条件下的近似。世界之所以色彩斑斓和变幻万千，究其原因是事物之间存在着非线性的联系。孤立子作为非线性科学的主要分支之一，对它的研究伴随着整个非线性科学的发展，这也使得孤立子方程的求解成为重中之重的问题。在众多学者的努力下，反散射方法[1]、李群与非经典李群法[2－3]、达布变换[4－5]、函数展开法[6-9]等一系列求解方法应运而生。

在孤立子领域中，Lump解[10-13]越来越受到研究者的关注。作为一种有理函数解，Lump解在空间的各个方向都是局域的。在文献[14]中，通过Hirota双线性方法[15-17]探究了Lump解与双曲函数解之间的相互作用，对形成的新型怪波做出了科学的解释，并且命名为共振怪波。作为补充与发展，本文以（2+1）-维5阶KdV方程为例先探究了单孤子与呼吸子的相互作用解，发现了呼吸子被单孤子吞噬的现象，然后探究了Lump型孤子与单孤子之间的相互作用，揭示在相互作用过程中所表现出来的碰撞、反弹、吸收、分裂等粒子性特征以及背后所反映的物理学规律。除此之外，还对Lump型孤子进行了动力学分析，求出了它运动轨迹、有效面积、有效动量等等动力学特征量。

2 单孤子与呼吸子的相互作用解

对于（2+1）-维 5阶 KdV 方程

此方程类似于Caudrey-Dodd-Gibbon-Kotera-Sawada（CDGKS）方程[18]，被广泛的用于描述等离子体波、毛细管重力波等弱色散现象。

首先对方程进行变换[19]

得到（2+1）-维5阶KdV方程的双线性形式：

式中 D 是双线性算子，f=f（x，y，t）.

2.1 单孤子解

假设

然后将式（4）代入式（3），整理简化为ε的幂次多项式后，令εi次幂前的系数为0。

对于 ε1，有

然后再假设

将式（6）代入式（5）得到

与此同时，在式（4）中选取 n=1，并令 ε =eη，得到

将式（8）代入式（2）后，得到（2+1）-维 5 阶 KdV 方程单孤子解。

2.2 呼吸子解

设f的表达式为

然后将式（10）代入式（3）后，整理化简为 exp（px+qy+ωt），sin（kx+ly+vt），cos（kx+ly+vt）的幂次多项式，并且令 exp（px+qy+ωt），sin（kx+ly+vt），cos（kx+ly+vt）的各次幂前的系数为 0，得到一组代数方程组，解得

然后将式（11）代入式（10）得

再利用式（2）就得到（2+1）-维5阶KdV方程的呼吸子解（具体表达式过长，故不在此给出）。

在式（11）中取参数

然后画出不同时刻的呼吸子的3D结构图（图1）。

图1 呼吸子解3D结构图

2.3 单孤子与呼吸子之间的相互作用

对于线性方程，解可以叠加，从而产生新类型的解。而KdV方程是非线性方程，其解不能直接进行线性叠加，所以要研究单孤子解与呼吸子解的相互作用，只能在双线性形式下才可以进行解的叠加。下面将单孤子解与呼吸子解进行组合叠加，设f的表达式为

然后将式（14）代入式（3），按照解呼吸子解类似的步骤得到其中的一组解为

再将式（15）代入式（14）得到

最后将式（16）代入式（2），得到单孤子与呼吸子的相互作用解。然后在式（16）式中设置参数

然后画出不同时刻相互作用解的3D图像（图2）

图2 单孤子与呼吸子的相互作用解的3D图像

从图2中可以看到呼吸子被单孤子的吞噬现象。

针对上述的现象可以进行如下的解释：

首先在式（16）中设

因此式（16）可以重写为

从式（21）可以看出，当取 k>p 时，代表单孤子的 1+exp（θ3）在 θ3<0 的区域里，导致 exp（θ3）0的区域里，exp（θ3）的增长速度将大于代表呼吸子中的 exp（θ1），同时注意到 cosθ2的变化范围只能在±1 之间，所以只要 b1，b2，b3参数选取合适，对于该问题可以不考虑cosθ2的影响。于是在θ3→∞时，整体就表现出1+exp（θ3）所代表的单孤子的特征。因此才有上述呼吸子被单孤子吞噬的现象的发生。

3 相互作用解中的粒子性质

3.1 Lump孤子解

设f的表达式为

式中f0为常数，。为一个关于常矢量的四维矢量

并标注

再将式（22）～（24）代入式（3），然后整理化简为 x，y，t幂次多项式，并且令 x，y，t的各次幂前的系数为0，得到一组代数方程组，解得

然后将式（25）代入式（22）得到

这里有两个限制条件

最后利用式（2）得到（2+1）-维5阶KdV方程的Lump解

选择参数

得到

画出t=0时刻的图像（图3）。

图3 Lump孤子

从图3可以看出Lump型孤子是由一个高耸的波峰和两个浅浅的波谷组成。

在式（28）中分别对x，y求偏导数并且让偏导数为0，得到3个驻点的坐标，即

通过计算可得，在驻点（x1，y1）处的 Hessian矩阵和 uxx为

而在驻点（x2，y2）、（x3，y3）处 Hessian 矩阵和 uxx为

因此u在（x1，y1）处取极大值也是最大值，即波峰高度为

而 u 在（x2，y2）、（x3，y3）处取极小值也是最小值，即波谷深度为

然后在式 （31）～（36）中，（xi，yi）（i=1，2，3） 对时间 t求导以及把坐标表达式联立消去时间 t得到Lump孤子的运动速度及波峰和波谷的运动轨迹方程

选择参数与式（29）相同，代入式（41）～（46）得到

并画出Lump孤子的运动轨迹图像（图4）。

图4 Lump型孤子的不同时刻位置与运动轨迹图

同时注意到孤立子作为非线性系统中最重要的基本激发，在著名的FPU实验[20]中可以看成分布在有限范围内，携带能量的振动模式。于是类比于振子的共振曲线的半宽度概念[21]，定义Lump型孤子有效面积，为其波峰高度一半与波谷深度一半所对应面积之和。

将 t=0 代入式（30）中，得到

通过有效面积方程（54）～（55）计算出有效面积为

并画出有效面积图像（图5）。

图5 有效面积

同样还可以定义Lump型孤子的有效体积为波峰与波谷的有效面积所对应体积之和。

根据此定义可以计算出Lump型孤子的有效体积为

得到了有效体积之后，并假设Lump型孤子的密度为常数ρ，再利用式（49）式还可以算出Lump孤子的有效动能与有效动量的大小为

3.2 Lump孤子与单孤子的相互作用

在式（22）中将 Lump型孤子解形式写成更为常见的形式[14，19，22-25]

然后将Lump型孤子解与单孤子解进行叠加

将式（61）代入式（3），然后按照求单孤子解和Lump型孤子解类似的步骤解得两组解

最后将式（62）或（63）代入式（61），并利用式（2）得到Lump孤子与单孤子的相互作用解。

在式（62）中，选取参数

画出不同时刻Lump孤子与单孤子的相互作用解的图像（图6）。

图6 单孤子吸收条纹孤子后的反弹现象

从图6可以发现除了有如文献[14，22-25]中提到的Lump型孤子被条纹孤子吞噬现象之外，还发现单孤子在与Lump型孤子碰撞并吸收Lump形孤子后，单孤子向着原来运动方向的反方向倒退，就如同粒子与粒子碰撞后发生反弹的过程一样。

事实上，调整参数k1＝1.5，画出不同时刻的密度图（图7）。

图7 不同时刻密度图

从图7中可以看出当把k1变大，单孤子在吸收Lump型孤子后并没有发生之前的倒退现象，而是继续向原方向前进。这反映着单孤子动能变大，超过了Lump型孤子的动能，所以单孤子碰撞后还可以沿原方向继续前进。

在其它参数不变的情况下，再调节k1使之等于0.8，画出不同时刻的运动图像（图8）。

图8 Lump孤子追击条纹孤子

从上图中可以明显看出，缓慢向前运动的单孤子在吸收了从后面快速追上来的Lump孤子之后，运动速度明显变大了。

针对这一现象给出如下解释：两个不同速度的物体，同方向运动，当两者融合在一块，根据动量守恒定律，整体速度就会大于原来速度慢的物体，而小于原来速度快的物体。

再调整参数k1，使之等于-0.8和-0.6。并分别画出不同时刻图像（图9－10）。

图9 单孤子在运动过程中向前吐出Lump型孤子

图10 单孤子在运动过程中向后吐出Lump型孤子

从图 9和图 10可以看出条纹孤立子在运动过程中向前（k1＝-0.8）或向后（k1＝-0.6）吐出Lump型孤子，然后Lump孤子以更大的速度远离条纹孤子，而条纹孤子也继续向原方向前进。这相当于粒子在运动过程中分裂成大小不同的两部分并以不同的速度继续运动，这同样是物理学中重要的动量守恒定律（分动量变化，但变化前后总动量守恒）的体现。

4 结论

本文以（2+1）-维5阶KdV方程为例，首先采用Hirota双线性方法求出了方程的单孤子解呼吸子解以及Lump型孤子解，并且求出了Lump孤子的若干动力学特征量，尤其是有效面积和有效能量，这是以往文献所没有的。然后，通过单孤子解与呼吸子解叠加的方式探究两者的相互作用，发现了呼吸子被单孤子吞噬的现象。最后，再通过Lump型孤子解与单孤子解叠加探究其相互作用中所显示出来的粒子性特征（碰撞、反弹、分裂），这正说明孤立子作为一种准粒子，具有能量、动量等粒子特征量。在以往的文献中，只是简单的将Lump型孤子解和exp（k1x+k2y+k3t）简单相加，其中k1，k2，k3都是还没有确定的任意常数，结果也只是会出现Lump型孤子被条纹孤子吞噬现象。

值得指出，本文没有对Lump型孤子与单孤子解相互作用下所呈现出来的粒子性特征作仔细和全面的解释，希望在今后的研究中有这方面的探究。

致谢：由衷感谢王玉女士对本文的帮助与贡献。