多面体外接球半径的几种求法

2018-03-25庞建荣

新一代 2017年22期

关键词：解法

庞建荣

摘要：与多面体的外接球有关的计算问题在近年高考试题中屡见不鲜，本文就长方体、正方体及棱锥的外接球有关问题，给出了几种常见的解法。

关键词：多面体外接球；半径问题；解法

《普通高中数学课程标准》中对立体几何初步的学习提出了基本要求：“在立体几何初步部分，学生将先从对空间几何体的整体观察入手，认识空间图形；再以长方体为载体，直观认识和理解空间点、线、面的位置关系；┅ ┅。”由此可见，长方体模型是学习立体几何的基础，掌握长方体模型，对于学生理解立体几何的有关问题起着非常重要的作用。有关外接球的立体几何问题是近年各省高考试题的热点之一，这与学生的空间想象能力以及化归能力有关，本文通过近年来部分高考试题中外接球的问题谈几种解法。

一、直接法

（一）与长方体的外接球的有关问题

例1、一个长方体的各顶点均在同一球面上，且一个顶点上的三条棱长分别为1，2，3，则此球的表面积为_______。

解析：关键是求出球的半径，因为长方体内接于球，所以它的体对角线正好是球的直径。长方体体对角线长为■，故球的表面积为14π。

（二）与棱柱的外接球的有关问题

例2、一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为■，底面周长为3，则这个球的体积为_______。

解析：设正六棱柱的底面边长为x，高为h，则有6x=36×■x2h=■， ∴x=■h=■

∴正六棱柱的底面园的半径r=■，球心到底面的距离d=■

∴外接球的半径R=■=1， ∴V球=■

小结：以上题型是运用公式R2=r2+d2求球半径的，该公式是求球半径的常用公式。

二、构造法

（一）构造正方体

例3、若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长均为■，则其外接球的表面积是__________

解析：此题用一般解法，需要作出棱锥的高，然后再设出球心，利用直角三角形计算球的半径，而作为填空题，我们更想使用较为便捷的方法，所以三条侧棱两两垂直，使我们很快联想到长方体的一个角，马上构造长方体，且侧棱长均相等，所以可构造正方体模型，那么三棱锥的外接球的直径即为正方体的对角线长，故所求表面积是9π。

例4、四面体的所有棱长都为■，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（）

A.3π B.4π C.3■π D.6π

解析：一般解法，需设出球心，作出高线，构造直角三角形，再计算球的半径.在此，由于所有棱长都相等，我们联想只有正方体中有这么多相等的线段，所以构造一个正方体，再寻找棱长相等的四面体，由此可求得正方体的棱长为1，体对角线为■，从而外接球的直径也为■，所以此球的表面积便可求得，故选A.

（二）构造长方体

例5、已知点A、B、C、D在同一球面上，AB⊥平面BCD，BC⊥DC，若AB=6，AC=2■，AD=8，则B、C两点间的球面距离是_________

解析：首先通过联想可构造如下的长方体，于是AD为球的直径，O为球心，OB=OC=4为半径，要求B、C两点间的球面距离，只要求出∠BOC即可，在Rt△ABC中，求出BC=4，所以∠BOC=60°，故B、C两点间的球面距离是■π。

三、确定球心位置法

例6、在矩形ABCD中，AB=4，BC=3，沿AC将矩形ABCD折成一个直二面角B-AC-D，则四面体ABCD的外接球的体积为（）

A.■π B.■π

C.■π D.■π

解析：设矩形对角线的交点为0，则由矩形对角线互相平分，可知OA=OB=OC=OD，

∴点O到四面体的四个顶点A、B、C、D的距离相等，即点O为四面体的外接球的球心，如图4所示。