基于目标规划的CT系统参数标定

沈诗羽 顾融智 何文

摘要：随着医疗与工业技术的发展，CT系统透射成像的应用也愈加广泛。该文通过引入Beer-Lambert衰减定律与投影公式，结合最小二乘法、目标规划与理想点法，建立了二维CT系统的参数标定模型。并代入投影值数据，对一二维CT系统的参数进行标定。

关键词： CT系统；最小二乘法；理想点法；目标规划；灵敏度分析

中图分类号：N34 文献标识码：A 文章编号：1009-3044（2018）03-0202-02

Abstract：With the development of medical and industrial technology， the application of CT system transmission imaging has been more and more extensive. Based on the introduction of Beer-Lambert attenuation law and projection formula， the parametric calibration model of two-dimensional CT system is established by combining the least square method， the target planning and the ideal point method. And generation of data into the projection values， the parameters of a two-dimensional CT system calibration.

Key words：CT system； least squares method； ideal point method； goal programming； sensitivity analysis

1 概述

CT系统可以在不破坏样品的情况下，利用样品对射线能量的吸收特性进行断层成像，获取样品结构信息，其标定参数可以在一定程度上减少系统安装误差带来的探测影响。本文运用一CT系统对标定模板的测量结果，建立模型对CT系统的参数标定方式提出了具体解决方法。

2 CT系统参数标定模型的建立

一种典型的二维CT系统与标定模板如图1所示，一组平行的X射线光束穿过模板，并垂直于探测器平面入射。512 个等距单元的探测器接收经过增益等处理后的射线能量，并通过180 次逆时针旋转，得到180 组接收信息。CT系统参数标定的实质，即是根据接收信息确定其旋转中心的位置、探测器的单元距离与180 次旋转采样的方向。

2.1 探测器单元距离模型的建立

当射线恰好通过圆心时，由于探测器单元间距离相等，其大小等于圆心到射线与的距离，从而，根据勾股定理可知两射线穿透厚度。

根据Beer-Lambert定律[1]，有：

将其对数变换，得到投影值与射线穿透厚度的比值等于样品的衰减系数，即：

由于为常量，当与圆心的距离趋于0时，其穿透厚度大致等于该圆形样品模板的直径，从而，得到穿透厚度关于样品模板直径的比值等式，为：

其中，为射线的投影值，为射线的穿透厚度。

根据数据分布规律，仅穿透圆形样品模板的射线数据中，投影值最大的射线即对应的情形。当存在一组数据，使得与差值最小时，该组数据的射线与圆心的距离最短，此时与的差值也最小。

由此，以投影值最大射线的左右相邻射线投影值差值最小为目标，得到目标函数为：

其中，为穿过且仅穿过圆形样品模板的数据组数，与分别为第组数据中，投影值最大射线的左右相邻射线的投影值。

根据勾股定理，有：

结合投影公式与大小，可以得到差值最小的与。由于恰好通过圆心的射线不一定存在，所以，通过求取与的平均值，即可消除此误差的影响。由此，得到探测器的单元距离，为：

其中，与、与分别为射线与的穿透厚度及距圆心的距离。

2.2 射线方向角模型的建立

以正方形托盘中心为原点，沿边长方向建立直角坐标系。当X射线为切线时，通过联立切线与模板方程，即可根据解的个数确定射线方程。

联立椭圆模板方程与切线方程，得到：

相切时该方程仅有一个解，根据韦达定理：

可建立与关于斜率的表达式。

同理，联立圆形木板方程与切线方程：

并由韦达定理可建立关于斜率的表达式。

控制条件或者，根据平行线原理，此时四条射线穿透区域都仅为一块模板，不发生重叠现象，易直接计算穿透厚度的大小。

180次旋转存在旋转角相等与不等两种情况，对应不同射线投影长度，即旋转角等间距时，不等间距时，为各X射线入射方向的斜率。

理论投影长度在数值上近似等于探测器实际所测长度，即探测器单元距离的整数倍，但存在一定的误差。所以我们令实际长度为：

运用最小二乘法，通过令投影长度的理论值与实际值差值最小，最小化计算误差，得到目标表达式

其中，为满足步骤二控制条件的数据组数。目标表达式满足时，射线与椭圆模板的切线吻合度最高，由此即可确定旋转角的大小。

2.3 旋转中心模型的建立

当射线近似穿过圆心时，穿透厚度与直径大致相等。所以，存在理想点满足：

由于介质分布均匀，所以该情况下为模板的理想衰减系数。

建立目标规划表达式，即：

确定最接近圆形的一射线所在的数据组。当最小时为第次探测时的第个探测器的接收值，则可根据探测器单元距离，确定其方向上的偏移量：

同理，根据理想点法，在射线水平入射时，建立目标表达式：

确定探测次数与接收探测器个数后，坐标的表达式为：

由此，结合旋转原理即可确定横纵坐标的大小。

3 模型求解

标定模板中，椭圆模板长轴80 mm，短轴15 mm，位于正方形托盘中心；圆形模板半径4 mm，距离椭圆圆心45 mm。代入CT系统的180 组探测器接收信息，运用MATLAB R2017a编写程序，通过循环搜索算法，得到该系统的各项参数，如表1所示。

由此，完成了CT系统各项参数的标定。

4 灵敏度分析

采用控制变量法，选取部分数据改变参数值，通过图像重构算法[2]重构图像。并与原始图像对比，验证模型稳定性。

根据结果可知，该系统的参数标定结果对于探测器单元距离敏感度高，其稳定性受单元距离的影响较大，受入射方向角影响较小。而图像质量对入射旋转角敏感度较高。可见单元距离长度决定了探测结果的精确性，而入射探测次数决定了图像的质量好坏。

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