分离参数法与分类讨论法在求参数范围问题中的运用

徐浩

一、问题提出

通过高考数学试题研究不难发现，求不等式恒成立（有解）中参数取值范围（最值）问题是重点和难点内容之一，并且经常在压轴题中出现.此类问题涉及知识面广，考题灵活，一直是考生的棘手问题.

分离参数法与分类讨论法是解决此类问题常用的方法.分离参数法是通过分离参数，用函数观点讨论主变量的变化情况，由此可以确定参数的变化范围.分类讨论法即分类讨论思想，是指在解决比较复杂的问题时，可将问题所涉及的对象划分为若干互不重叠的部分，然后分别求解或论证，最后综合各类结果完成整个问题的解决.

分离参数法是求参数范围（最值）问题比较快捷的方法，它直观、明了，可以避免分类讨论的麻烦，给做题带来极大的方便，从而更受学生的“喜爱”.很多学生一遇到求参数问题就采用分离参数法，分类讨论法常常被冷落一边.是不是所有的求参数问题都可以采用分离参数法？分类讨论是不是比较困难呢？答案显然是否定的.下文将结合具体题目谈谈两种方法的运用.

二、问题探讨

对于求一次、二次不等式中含参数取值范围的较为简单的问题，在这里不再赘述，下面结合解答题的例子谈谈两种方法的使用.

例 已知函数f（x）=2x+3lnx-x-2，g（x）=x2-4bx-14.若对任意x1∈（0，e]，都存在x2∈[0，2]，使得f（x1）≥g（x2）成立，求实数b的取值范围.

思路探究 实质是求f（x1）min≥g（x2）min恒成立问题，其中x1∈（0，e]，x2∈[0，2].

解题过程呈现 （方法一：分离参数法）

f′（x）=-2x2+3x-1=-x2+3x-2x2=-x2-3x+2x2（0

由f′（x）=0得x=1和x=2，

当0

当10；

∴f（x）在（0，1]和[2，e]上单调递减，在[1，2]上递增.

又f（1）=-1，f（e）=2e-e+1，

且f（e）-f（1）=-（e-1）2-3e>0，

∴x1∈（0，e]，f（x）min=f（1）=-1.

∵对任意x1∈（0，e]，都存在x2∈[0，2]，使得f（x1）≥g（x2），

∴只需当x∈[0，2]时，g（x）min≤-1，即x2-4bx-14≤-14bx≥x2+34在x∈[0，2]恒成立.

① 当x=0时，不等式不成立；

② 当0

∵x+34x≥3，当且仅当x=34x（0

∴4b≥3，即b≥34，故b取值范围为34，+∞.

（方法二：分类讨论法）

由存在x∈[0，2]使得g（x）≤-1（求f（x）min同上）恒成立.

∵g（x）的对称轴方程为x=2b，

∴① 当2b<0即b<0时，g（x）min=g（0）=-14>-1，不合題意，舍去.

② 当2b∈[0，2]即0≤b≤1时，g（x）min=g（2b）=-4b2-14≤-134≤b≤1；

③ 当2b>2即b>1时，g（x）min=g（2）=154-8b≤-1b≥1932，所以b>1.

综上所述，b取值范围为34，+∞.

评注 x∈[0，2]，g（x）min≤-1恒成立，求b的取值范围，采用分离参数法明显优于分类讨论法.

三、问题结论

1.对于含参数的不等式中，若分参后，主元式子（不含参的式子）不复杂，较为容易地求出对应最值，最好选择用分离参数法，因为分离参数比分类讨论要直接，避免分类讨论的麻烦.2.对于分参后，主元式子需要经过一定构造计算等问题，既可以用分离参数法，也可以用分类讨论，因为两种方法都需要经过一系列的转化计算.3.对于很难分离出参数的或分参后，主元式子十分复杂、求不出最值，出现端点值无意义、“00”型（高中知识无法解决）等，只能用分类讨论法，因为根本就分不出参数或分参后无法求出相应的最值.4.分离参数不是分离常数，在运用分离参数法解决参数取值问题时，可以分离出含有参数的式子，为求主元式子最值“减负”；在运用分类讨论解决参数取值问题时，需要注意分类的对象是确定的，标准是统一的，不遗漏、不重复，科学地划分，分清主次，不越级讨论.

分离参数法有时也不能避免讨论，但是至少你需要研究的不含参的函数是不变的，所以一般具有很大的优越性.分类讨论法可以解决分离参数法不易解决的问题，但分类讨论法一般涵盖知识点较多，具有明显的逻辑特点，需要一定的分析能力和分类技巧，最重要的一条是“不漏不重”.总之，解题如同教学，“有法”但无“定法”，贵在“得法”.