同一多元函数条件极值问题的三种求解方法

马林

【摘要】本文针对同一常见多元函数条件极值的实际问题，建立模型，应用基本不等式法、等式约束极值的代入法、拉格朗日乘数法进行求解，一题多解、层层递进激发学生学习兴趣.

【关键词】条件极值；基本不等式；等式约束；拉格朗日乘数法

多元函数极值是高等数学中十分重要的知识点，分为无条件极值和条件极值两大类，条件极值问题因其考虑约束条件，通常会复杂一些，有时候条件极值问题可以通过代入法转化为无条件极值问题，文献[1]中讨论了多元函数条件极值的四种求解方法，文献[2]借助于多元函数极值的应用解决了生活实际问题.本文将对同一常见多元函数条件极值的实际问题，应用基本不等式、等式约束极值的代入法和拉格朗日乘数法进行求解，帮助学生多层次多角度地分析问题和解决问题.

实际问题[3] 某工厂要用铁板做成一个体积为2 m3的有盖长方体水箱，问长、宽、高各取怎样的尺寸时，才能使用料最省？

首先依据题意，建立模型，设长、宽、高分别为x米、y米、z米，那么xyz=2，此水箱所用材料的面积

S=2（xy+yz+xz）（x>0，y>0，z>0）.

下面将分别用三种方法来求出S的最小值，即用料最省的值.

一、基本不等式法

由基本不等式，当a>0，b>0时，a+b2≥ab，当且仅当a=b时等号成立，即算数平均数大于几何平均数，它可以推广到3个至n个的一般情形，即当x1，x2，…，xn>0时，

x1+x2+…+xnn≥nx1x2…xn.

当且仅当x1=x2=…=xn时等号成立.

由此，上述实际问题中，x>0，y>0，z>0，则

S=2（xy+yz+xz）≥2·33xy·yz·xz=63（xyz）2=634.

当且仅当xy=yz=xz即x=y=z=32米时，S达到最小634 m2，即水箱所用的材料最省.

同时，在使用基本不等式法时，也可以选择另外一种途径，在S中先代入等式约束条件z=2xy，则

S=2xy+2x+2y≥2·33xy·2x·2y=634.

当且仅当xy=2x=2y即x=y=z=32米时，S达到最小，材料最省.

基本不等式法可推广到多元函数，在更高维度亦适用，鉴于其灵活多变性，使得它在计算量上比后面两种方法少许多，它精妙地简化运算，但使用的前提限制条件颇多，适用面窄，在其他实际问题中，基本不等式法可以反过来应用，计算目标函数最大值.

二、等式约束极值的代入法

在面积函数S中将等式约束条件代入，

S=2xy+2x+2y（x>0，y>0）.

可见材料面积S是x和y的二元函数，按题意，我们要计算出S的最小值，只需解方程组

Sx=2y-2x2=0，Sy=2x-2y2=0，

得到唯一驻点x=y=32.由题意知水箱所用材料面积的最小值一定存在，函数S又只有唯一驻点，因此该驻点即为所求最小值点，从而当x=y=z=32米时，水箱所用的材料最省.

三、拉格朗日乘数法

根据题意知：

约束条件xyz-2=0，

目标函数S=2（xy+yz+xz），

从而建立拉格朗日函数

L（x，y，z，λ）=2（xy+yz+xz）+λ（xyz-2），

得方程組Lx=2（y+z）+λyz=0，Ly=2（x+z）+λxz=0，Lz=2（y+x）+λxy=0，

两两相除化简得y+zx+z=yx，x+zy+x=zy，

进而解得x=y=z.

将其代入约束条件中，得唯一可能的极值点x=y=z=32，由问题本身意义知，该极值点即为最小值点，此时水箱用料最省.

拉格朗日乘数法思路清晰，是求解一般多元函数条件极值问题的经典方法，因其需计算多元方程组，任务繁重，而使其灵巧性比基本不等式略逊一筹.

四、小 结

本文对多元函数条件极值中同一实际问题建立模型，分析讨论了三种解题方法，基本不等式法灵活多变，适用面较窄，等式约束极值的代入法和拉格朗日乘数法是求解一般条件极值问题的经典方法.本文一题多解，由浅入深、层层递进，可以培养学生的发散和创新思维，帮助学生更有效地理解和掌握多元函数极值这一重要知识点，让其感受数学知识在解题时的层次提升，从而激发学生浓厚的学习兴趣.

【参考文献】

[1]曹宏举，等.多元函数条件极值的四种求解方法[J].高等数学研究，2017（2）：21-23.

[2]赵泽福.多元函数极值的应用分析[J].长春工业大学学报，2016（1）：98-101.

[3]吴赣昌.高等数学（下册）：第4版[M].北京：中国人民大学出版社，2011.