高中数学教学中直观想象素养培养策略研究

张濡川

【摘要】随着课程改革的不断推进以及“核心素养体系”概念的提出，如何在实际教学中培养学生的核心素养也成为目前热议的问题.本文主要针对高中数学六大核心素养中的直观想象素养进行深入研究.在实际的数学结论教学活动中，重视学生直观想象素养的培养，有利于学生理解和掌握概念、定理、公式等数学结论，有利于提高学生的数形结合能力，同时也有利于培养学生空间想象能力以及对图形感知力.

【关键词】直观想象素养；高中结论教学；培养策略

所谓“直观想象”是指借助幾何直观和空间想象感知事物的形态变化，利用图形理解和解决数学问题的过程.近几年来，有关高中生直观想象素养培养方面的研究有很多，但很少有人在数学结论教学方面做深入的研究，本文则着重研究在实际的数学结论教学活动中，如何培养学生的直观想象素养.通过对文献的梳理以及实际教学经验的总结，主要概括为以下几点.

一、要联系生活实际，重视几何模型的制作与应用

在人教版高中数学教材中，立体几何初步这部分的内容与几何模型的制作与应用有着密切联系.这部分课程内容主要安排在必修2和选修2-1.[1]教师在讲解立体几何初步这部分内容时，可以先引导学生对现实实物进行观察，然后在制作的过程中思考一些重要问题，比如，要制作的这个几何模型由几个面组成？每个面都是什么形状？这些面能否在一张纸上剪裁出来？等等，一连串的基于几何直观分析的思考过程.通过模型的制作，学生可以发现空间几何体的一些本质特征，同时可以感知点、线、面之间的位置以及长度关系，这将为学生之后学习空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系及相关的判定定理、性质打下一定的基础.同时几何模型的应用也不容忽视.

例1 已知1张平面可以把空间分为2部分，2张平面最多可以把空间分为4部分，由空间直角坐标系可知，3张平面最多可以把空间分为8部分，那么4张平面最多可以把空间分为多少部分呢？

分析 教师可以先让学生通过画图来分析，在二维空间中3条直线将平面最多分为几部分时直线要满足的条件（如图1所示），得出“任意两条直线相交；三条直线不共点”.即可以得出当3条直线围成一个三角形时，这3条直线就可以将平面分成最多部分，共7个部分.围成的三角形的内部是1个平面，与三角形共1线、1点的三个部分是三个平面.接下来引导学生分析在三维空间中4个平面将空间分成最多部分时需满足的条件.类比之前的推理可以得出，任意的两个平面都相交，并且任意三个平面都不共线，并且交线不平行时可将空间分成最多部分，即分析空间中四面体的四个面分隔空间的情况.

二、要结合几何直观图形加强对数学结论几何意义的理解

近几年来，在教材的处理上越来越重视概念、公式以及定理的数与形的双重特征.[2]但由于某些因素，教材中并没有深入地分析其几何意义.教师在讲解时如果不进一步介绍，容易导致学生过度的重视语言和符号表示，难以体会到知识的本质.在解一些复杂的数学问题时，学生知道自己的解题方法比借助几何直观与想象复杂，但仍然坚持用原有的解题方法.原因就在于学生对一些数学结论的几何意义以及数学结论间的几何关系理解不够透彻，难以找到解题方法的突破点.这就要求教师在教学过程中注重几何意义的讲解，运用直观图形来帮助学生加深对数学结论的理解.

例2 向量a、向量b的数量积a·b=|a||b|cosθ，几何意义为a的长度与b在a方向上的投影|b|cosθ的乘积，即图2中|OA|与|OB′|的乘积.

把数量积通过图形直观的展示出来，这样数量积的几何意义就十分清晰了.将代数式的抽象性与具有几何意义的直观图形紧密结合起来，有助于学生对数量积概念的理解.[3]

三、要注重对数学结论直观背景的分析

教师在数学结论及其证明的教学中，不仅要对给出的背景材料进行分析，而且应尽可能地画出相关的几何直观图形，并根据图形阐述清楚证明的思路，引导学生领会证明方法的几何思想，进而对结论进行证明.如果课堂中没有设置这样的直观背景上的分析过程，大部分学生恐怕只能尽量跟着教师去理解每一步的形式化推导，无法去了解整个证明的直观思路，一旦让他们自己进行推导证明，就又不会了.其次，在数学教学过程中，教师要让学生用自然语言表达对数学结论的直观感受，引导学生使用自然语言对数学结论的发现和形成过程进行表述，对数学结论形成正确的理解与认识.[4]

例3 在学习等差数列的前n项和时，较为普遍的引入方法则是结合高斯求解1+2+3+…+n=12n（n+1）的过程化证明方法.此时可以利用教材在数列概念中涉及的三角形数，结合数形理论的直观化背景素材，让学生感受公式的具体直观化证明.

图3

这时，根据图3所示，教师可以在三角形数旁边补上一个倒立的三角形数，然后引导学生进行谈论分析，阐述直观求解1+2+3+…+n=12n（n+1）的思路.

【参考文献】

[1]武洁，刘宇航，高智中等.试论几何直观在数学中的应用[J].科技信息，2010（8）：498-499.

[2]刘晓玫.对“几何直观”及其培养的认识与分析[J].中国数学教育，2012（1）：23-25.

[3]黄阿拈.例谈在高中教学中培养学生的几何直观能力[J].数学教育与研究，2015（24）：62.

[4]苑建广.对几何直观教学的思考[J].中国数学教育，2014（5）：35-41.