偏导数在经济领域的几个应用

吕希元

【摘要】本文探讨了偏导数求解最大经济利润。需求函数关于价格的偏弹性，及构造拉格朗日函数解决经济函数问题。

【关键词】偏导数 偏弹性 最值

【中图分类号】G64 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2018）04-0112-01

一、由偏导数求解经济利润

已知z=f（x， y）在点（x0， y0）的某领域内连续，存在二阶连续偏导数，且：f 'x（x0， y0）=f 'y（x0， y0）=0，记：A=f "xx（x0， y0），B=f "xy（x0， y0），C=f "yy（x0， y0）；当B2-AC<0时，（1）A>0时，f（x0， y0）为极小值，（2）A<0时，f（x0， y0）为极大值。

例1：某厂家生产的一种产品同时在两个市场销售，售价分别为p1，p2；销售量分别为q1，q2；需求函数分别为：

q1=24-0.2p1，q2=10-0.05p2

总成本函数为C=35+40（q1+q2），试问厂家如何确定两个市场的售价，能使获得的总利润最大？最大总利润是多少？

解：总收入函数为：

R=p1q1+p2q2=24p1-0.2p12+10p2-0.05p22

总利润函数为：

L=R-C=p1q1+p2q2-[35+40·（q1+q2）]=32p1-0.2p12+12p2-0.05p22-1395

得方程组：

=32？鄄0.4p1=12？鄄0.1p2

解得唯一驻点：p1=80，p2=120

由L"=-0.4=A<0，L"=0=B<0，L"=-0.1=C<0

故B2-AC=-0.04<0；

从而，为总利润函数的极大值点，亦即最大值点，为：L（80， 120）=605。

即当p1=80，p2=120时，厂家获得最大总利润为605单位。

二、利用偏导数求解偏弹性

设有甲、乙两种商品，他们的价格分别为p1和p2，需求量分别为Q1和Q2，记需求函数分别为：

Q1=Q1（p1， p2），Q2=Q2（p1， p2）

则：e11==，e12==；

e21==，e22==

其中：e11为Q1对p1的直接价格偏弹性，e12为Q1对p2的交叉价格偏弹性，e21为Q2对p1的交叉价格偏弹性，e22为Q2对p2的直接价格偏弹性。

例2：若某种商品的需求量Q1是该商品价格p1，另一相關商品价格p2，以及消费者收入y的函数：

Q1=-p1·p2·y

求需求的直接价格偏弹性e11，交叉价格偏弹性e12，以及需求的收入偏弹性e1y。

解：两边取自然对数：

lnQ1=-ln10-lnp1-lnp2+lny

从而得：

e11==-，e12==-，e1y==

三、借助拉格朗日乘数法求最值

已知z=f（x， y）为目标函数，条件极值为φ（x， y）=0，先构造辅助函数：F（x， y， λ）=f（x， y）+λφ（x， y）

再求偏导解方程组：

F'x=f 'x+λφ'x=0F'y=f 'y+λφ'y=0F'λ=φ（x， y）=0

例3.若z=f（x， y）的全微分dz=2x·dx-2y·dy并且f（1， 1）=2，求z=f（x， y）在椭圆域D=（x， y）|x2+y2≤1上的最大值和最小值。

解：由dz=2x·dx-2y·dy得：z=f（x， y）=x2-y2+C，又由f（1， 1）=2，得：C=2，故f（x， y）=x2-y2+2；

令：=2x=0=-2y=0，解得驻点（1， 1）。

再用拉格朗日乘数法构造：

F（x， y， λ）=x2-y2+2+λx2+-1

得：F'x=2x+2λx=0F'y=-2y+y=0F'λ=x2+-1=0

解得：驻点（0，2），（0，-2），（1，0），（-1，0）；又f（0，2）=-2，f（0，-2）=-2，f（1，0）=3，f（-1，0）=3，再由f（0，0）=2，故f（x， y）在D的最大值为3，最小值为-2。

参考文献：

[1]同济大学数学系.高等数学（第六版）[M] .北京：高等教育出版社，2007.

[2]王建福.高等数学（上，下册合订本）同步辅导及习题全解[M] .徐州：中国矿业大学出版社.2006.

[3]刘玉琏，傅沛仁.数学分析（下）[M] .北京：高等院校出版社，1992.