学习物理须重视数学

郭雪鹏

摘 要：2017年全国卷I中物理选择题的压轴题考查了动态平衡问题，运用数学知识求解张力可快速解决。学习物理需要重视数学工具的应用，应正确地处理物理和数学的关系。在教学中不应故意回避数学，忽视数学技巧，应善于把数学用于物理，应用数学手段解决物理问题。

关键词：动态分析；平衡条件；数理结合

中图分类号：G633.7 文献标识码：A 文章编号：1003-6148（2018）2-0040-2

1 真题呈现

2017年全国卷I第21题如下：

如图1所示，柔软轻绳ON的一端O固定，其中间某点M拴一重物，用手拉住绳的另一端N。初始时，OM竖直且MN被拉直，OM与MN之间的夹角为α（α>）。现将重物向右上方缓慢拉起，并保持夹角α不变。在OM由竖直被拉到水平的过程中（ ）

A.MN上的张力逐渐增大

B.MN上的张力先增大后减小

C.OM上的张力逐渐增大

D.OM上的张力先增大后减小

本题考查物体的动态平衡及相关知识点。动态平衡问题学生经常用到，这类题目最常见的类型是三力问题：一个力的大小和方向均不变，一个力的方向不变，另一个力的大小方向均变化。常用的解法是根据平行四边形法则画出力的动态平衡矢量图，分析力的变化。此题的特点是一个力的大小和方向不变，而另两个力的大小和方向均变化，与以往不同，难度大大增加，是物理选择题的压轴题。

虽然该题仍可用力的平行四边形法则来判断力的大小变化情况，参考答案采用的也正是这种方法[1]，但在考场上，并不是所有学生都能正确地采用此法判断出正确答案。画图形判断要求作图准确，需要画出细绳OM转到不同位置时力的平行四边形，作图的位置必须合适才能从图中看出绳中张力的变化情况，这些都对学生的画图能力提出了很高的要求。实际上，该题利用平衡条件定量求解张力表达式，利用数学表达式判断张力变化情况更简洁、高效，对考生来说是一种更好的解决方法。

2 数理求解绳的张力表达式

如图 2所示，设重物缓慢转动到某位置，OM连线与竖直方向夹角为θ，OM上的张力为T1，MN上的张力为T2，重物质量为m，地球表面重力加速度为g。重物缓慢移动，任意时刻均处于平衡状态。由力的平衡条件，沿水平方向

T1sinθ=T2sin（α-θ）（1）

沿竖直方向

T1cosθ+T2cos（α-θ）=mg（2）

由（1）和（2）式消去T1，得

因此

将T2表达式代入（1）式得

考虑0<θ≤π/2，因此T2逐渐增大。α为钝角，则（α-θ）从钝角逐渐减小到锐角，由正弦函数图像，T1先增大后减小，A、D选项正确。

3 重视数学知识在物理中的应用

回看上述用数理方法求解绳张力的表达式，相对于采用作图法求解有其优点。用数理方法求解需要受力分析，列平衡方程，利用三角函数变换、函数图形等知识解决。其中的三角函数变换看似困難，学生实则在数学课程中早已熟悉，应用熟练。这种解法是学生最熟悉的解法，采用此种解法学生能很快判断出答案。而且求解得到的张力表达式能够获得更多的信息，绳中张力随角度的变化遵循正弦规律，这些都是定性分析达不到的。

在平时的教学中，由于学科的原因，对于此种动态分析题，常采用作图法。在文献[2]中有一道题目和今年的高考题惊人地相似，读者可自行查阅。由于是物理课程，教师和学生常常忽略了数学知识的应用，认为物理课程不应太强调数学技巧。笔者恰恰持相反观点，学生在数学课程中学到的很多数学知识都没有得到应用，在物理课程中应当适当地将学生学到的数学知识加以应用，解决物理问题，运用数学知识解决物理问题也是高考考查的能力之一。例如，2017年全国卷I第25题物理压轴题利用数学中的不等式知识，虽然学生能根据物理知识列出表达式，但如果最终没有求解出答案，将丧失很多分数，这就凸显出灵活运用数学知识的重要性。

学好物理，数学工具是非常重要的，不但要掌握数学，而且也要善于把数学工具用于物理。从物理学的发展史看，物理与数学是分不开的。牛顿在发展力学的过程中，深感当时已有的数学知识已无法满足力学的需要而创造了微积分，而微积分的发展又极大地推动了力学以及物理学其他领域的发展。又如数学中的场论与电磁场理论，偏微分方程、矩阵代数与量子力学都有密切的联系。群论是数学的一个分支，但在物理学研究的各个层次，包括基本粒子、原子核、原子、分子、固体和天体物理都有着广泛的应用[3]。可以说，在某种情况下，如果找不到一种适应近代物理所需的近代数学，近代物理就很难发展。

4 总 结

综上，对于这道高考题，采用数理求解张力表达式判断答案对于学生来说可能是一个更熟悉、更准确的解法。在教学中，不应忽视数学知识在解决物理问题中的重要作用，应适当地强调这种作用，引导学生利用学过的数学知识去解决物理问题，提高学生运用数学知识解决问题的能力。要真的学好物理，就不应害怕数学，不要故意回避数学。每个学生应根据自己的情况，从实际出发正确处理好学习物理和使用数学的关系。

参考文献：

[1]杜志建.金考卷特快专递第1期——2017年全国各省市高考试题汇编[M]. 乌鲁木齐：新疆青少年出版社，2017.

[2]沈晨.更高更妙的物理：冲刺全国高中物理竞赛第4版[M].杭州：浙江大学出版社，2012：4.

[3]全国中学生物理竞赛委员会常委会.全国中学生物理竞赛1～20届试题解析 力学分册[M].北京：清华大学出版社，2005：169.

（栏目编辑 陈 洁）