功能梯度材料Timoshenko型剪切梁的自由振动分析

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(1.中北大学 理学院，山西 太原 030051； 2.同济大学 航空航天与力学学院，上海 200092)

1 引 言

功能梯度材料作为一种材料设计的概念是日本材料学家新野正之(Mayuhi NINO)、平井敏雄(Toshio HIRA)和渡边龙三(Ryuzo WATANBE)等在1987年首先提出来的[1]，主要思想是在材料的制备过程中，连续地控制陶瓷和金属的体积含量分布，使宏观材料特性在空间位置上按特定梯度函数连续变化，材料内部不存在明显的性能分界面，以达到优化在高温使用环境下材料内部热应力分布及最大限度合理使用材料性能的目的。随着功能梯度材料的研究和开发，其结构已经广泛应用于航空航天、机械工程、核能工程、土木工程等诸多学科及工程领域。

梁、板、壳是功能梯度材料构成结构的几种常见形式，国内外许多学者已逐渐将其力学性能作为一个重要研究方向[2]。Zhong 和Yu[3]采用应力函数法获得了功能梯度悬臂梁弯曲问题解析解。Ding等[4]分析了不同边界条件下各向异性功能梯度梁弯曲问题的弹性解。Nie等[5]采用位移函数法获得了具有任意梯度材料特性的功能梯度梁的解析解。Li等[6]根据欧拉-伯努利梁与Timoshenko梁控制方程之间数学相似性和荷载等效性，推导了功能梯度材料Timoshenko梁弯曲问题的弹性解。Tang等[7]假设材料弹性常数和密度沿厚度方向呈指数梯度变化，研究了功能梯度Timoshenko梁自由振动问题。陈熹，薛春霞[8]分析了电压激励下四边简支压电层合板的振动问题。熊玲华等[9]利用摄动微分求积法研究复合材料层合板非线性振动。张国兵等[10]对热压烧结SiC/C功能梯度材料微观结构及热震性能进行了研究。吴晓和罗佑新[11]采用Timoshenko梁修正理论研究了功能梯度材料梁的动力响应问题。Adamek等[12]假设材料弹性常数和密度沿着厚度方向变化，获得了简支功能梯度材料梁动态响应的解析解。但关于弹性模量按照任意梯度函数分布的各向异性功能梯度Timoshenko型剪切梁自由振动的研究还未见报道。

本文推导出两端简支的功能梯度材料Timoshenko型剪切梁自由振动的特征方程，假设材料常数沿梁厚度方向呈同一函数梯度变化，求得梁自由振动的固有频率。给出算例，讨论了不同的梯度变化对材料结构动力特性的影响。

2 问题描述与基本方程

考虑如图1所示的功能梯度梁，边界条件为两端简支，截面长度为L，宽度为b，高度为h。

图1 功能梯度Timoshenko型剪切梁示意图Fig.1 Schematic of functionally graded Timoshenko shear beam

由Timoshenko梁理论[13]，其位移方程为：

(1)

式中：U、V、W分别是x轴、y轴和z轴方向的位移函数；φ(x)和ψ(x)分别是考虑横截面不垂直于轴线后，绕z轴和y轴所转动的角度；u、v、w分别是轴线上某一点的位移。

几何方程为：

(2)

这里近似地忽略应力分量σy、σz和τyz的影响，而只考虑σx、τzx和τxy，于是广义虎克定律可写成：

(3)

式中，aij为弹性材料的柔度系数。由于功能梯度材料的材料常数在梁厚度方向上连续变化，因此柔度系数是坐标y的连续函数，假设上述材料常数沿梁厚度方向按同一梯度函数变化：

(4)

将式(2)代入式(3)中，然后对等式两边在功能梯度梁横截面区域上进行曲面双重积分；分别在等式两边同时乘以y，然后再进行曲面双重积分，则得到下列方程：

(5)

(6)

(7)

(8)

由(5)～(7)式可以得到：

(9)

(10)

(11)

(12)

假定剪应力τxz和τxy的分布是关于y、z轴对称的，则由(8)、(9)式可得：

(13)

梁运动的基本方程：

(14)

(15)

将式(12)、(13)代入基本方程式(14)、(15)中，可得功能梯度材料Timoshenko型剪切梁弯曲微分方程组式(16)、(17)：

(16)

(17)

式中的系数c综合表示转动惯量效应。如果忽略转动惯量可取c=0，而考虑转动惯量则取c=1。

3 梁的自由振动

令：

v(x,t)=Y(ξ)eiwt

(18)

φ(x,t)=φ(ξ)eiwt

(19)

式中：ξ为梁的无量纲坐标，即

(20)

将式(18)、(19)代入式(16)、(17)中，在外荷载qy=0的情况下，并取c=1，消去eiwt，可以得到：

(21)

(22)

式中：

(23)

(24)

(25)

Y(ξ)=C1Ch(bαξ)+C2Sh(bαξ)+

C3Cos(bβξ)+C4Sin(bβξ)

(26)

(27)

式中，

(28)

Y(ξ)=C1Cos(bα′ξ)+C2Sin(bα′ξ)+

C3Cos(bβ′ξ)+C4Sin(bβ′ξ)

(29)

(30)

式中：

(31)

对于两端简支的边界条件：

当x=0,L时：

v=0

(32)

当x=0,L时：

(33)

求得特征方程为：

Sin(bβ)=0

(34)

4 算例分析

功能梯度简支梁(l=1m，h=0.2m，b=1m)的自由振动，假定梯度变化函数为：

F(y)=eky/h

(35)

其中：k代表材料的梯度变化指数，在这里分别取k为-3、-1、0、1、3。在y=0处的材料常数为石墨/环氧(T)型材料的相应数据为[14]：

假定功能梯度材料的密度是常数。

图2给出了梁前五阶固有频率随梯度变化指数k的变化情况，从中可以看到，梁的各阶自振频率是关于k=0时对称的，即当k=±1,k=±3时，频率分别互相相等，则梯度函数按照指数形式变化时，可只考虑梯度指标k的绝对值的大小，所得到的梁的动力特性是相同的。横向比较各阶频率在不同k值时的变化趋势，随着k绝对值的增大，各阶频率有加速增高的现象出现，说明功能梯度梁的动力特性对高梯度变化指数更为敏感，在较高梯度变化指数分布下，梁有加速变“刚”的趋势。图3～图7为k=-1时梁的前五阶模态图，图中包含了梁振动时所有的广义位移分量。

图2 梁自振频率随梯度变化指数k的变化Fig.2 Variations in the natural frequencies of the beam with the gradient index k

图3 第一阶模态图Fig.3 First order mode of the beam

图4 第二阶模态图Fig.4 Second order mode of the beam

图5 第三阶模态图Fig.5 Third order mode of the beam

图6 第四阶模态图Fig.6 Fourth order mode of the beam

图7 第五阶模态图Fig.7 Fifth order mode of the beam

综上可看出，不同的梯度变化可大大改变功能梯度材料结构的动力特性，因此可根据不同的荷载及环境使用情况，精心设计功能梯度函数变化形式，从而最大限度、最合理地利用材料性能，体现了功能梯度材料相比均质材料的卓越性能优势。

5 结 论

本文基于一阶剪切理论，假设弹性模量沿梁厚度方向按同一函数分布，给出各向异性功能梯度Timoshenko型剪切梁的自由振动特征方程，得到了两端简支Timoshenko梁自由振动的固有频率，所得到的解对于任意梯度函数都成立。通过算例分析，给出弹性模量按指数函数梯度变化Timoshenko梁的自由振动频率和模态图，结果表明，材料的梯度指标对于梁的动力响应有很大的影响，对于实际工程应用具有一定的指导意义。

[ 1] M.Niino,T. Hirai, R. Watanabe. Functionally Gradient Materials as Thermal Barrier for space Plane[J]. Jpn. Soc. Comp. Mater., 1987, 2 (2): 257～264.

[ 2] 徐 华,李世荣. 一阶剪切理论下功能梯度梁与均匀梁静态解之间的相似关系[J].工程力学,2012,29(4):161～167.

[ 3] Z. Zhong, T. Yu. Analytical Solution of Cantilever Functionally Graded Beam[J]. Compos. Sci. Technol, 2007, 67: 481～488.

[ 4] H.-J. Ding, D.-J. Huang, W.-Q. Chen, Elastic Solution for Plane Anisotropic Functionally Graded Beams[J], Int. J. Solids Struct., 2007, 44: 176～196.

[ 5] Nie, G.J., Zhong, Z., Chen, S.P. Analytical Solution for a Functionally Graded Beam with Arbitrary Graded Material Properties[J]. Compos. Part B-Eng., 2013, 44:274～282.

[ 6] Shi-Rong Li, Da-Fu Cao, Ze-Qing Wan. Bending Solutions of FGM Timoshenko Beams from Those of the Homogenous Euler-Bernoulli Beams[J]. Applied Mathematical Modelling, 2013, 37: 7077～7085.

[ 7] A.-Y. Tang, J.-X. Wu, X.-F. Li, K.Y. Lee. Exact Frequency Equations of Free Vibration of Exponentially Non-uniform Functionally Graded Timoshenko Beams[J]. International Journal of Mechanical Sciences, 2014, 89: 1～11.

[ 8] 陈熹，薛春霞. 电压激励下四边简支压电层合板的振动分析[J]. 材料科学与工程学报, 2015, 33(5): 759～765.

[ 9] 熊玲华,彭建设,王璠.摄动微分求积法解复合材料层合板非线性振动[J]. 材料科学与工程学报, 2010, 28(6): 852～856.

[10] 张国兵,郭全贵,等.热压烧结Sic/C功能梯度材料微观结构及热震性能研究[J]. 材料科学与工程学报, 2007, 25(1): 9～13.

[11] 吴晓,罗佑新.用Timoshenko梁修正理论研究功能梯度材料梁的动力响应[J]. 振动与冲击, 2011, 30 (10): 245～248.

[12] V. Adamek, F. Vales. Analytical Solution for a Heterogeneous Timoshenko Beam Subjected to an Arbitrary Dynamic Transverse Load[J]. European Journal of Mechanics A/Solids, 2015, 49: 373～381.

[13] Timoshenko S. Gere J. Mechanics[M]. Nostrand: Reinhold Company, 1972.

[14] 沈观林. 复合材料力学[M]. 北京: 清华大学出版社, 1996.