介电弹性体驱动单元的动态特性分析

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(海军工程大学 振动与噪声研究所，船舶振动噪声重点实验室，湖北 武汉 430033)

1 引 言

介电弹性体(DE)是指在外加电场载荷激励下能够产生较大变形的电活性聚合物(EAP)材料，是一种具有巨大发展潜力的新型智能材料。介电弹性体驱动单元是构成介电弹性体驱动器的基本元件，由柔性电极—材料薄膜—柔性电极组成典型的“三明治”式结构，当在两个电极之间施加高电压时，其产生的Maxwell应力将使其间的介电弹性体膜变薄，面积增大；撤去电压，介电弹性体膜则恢复到原来的形状。同传统的驱动器相比，介电弹性体驱动器(DEA)具有变形大、响应速度快、机电转换效率高、质量轻、低噪声等独特优势[1-2]，近年来在仿生机器人设计、结构振动与噪声控制等领域受到国内外学者和研究机构的广泛关注。

目前，国内外的相关研究主要针对介电弹性体材料的准静态变形特性，有关介电弹性体驱动单元在特定频率范围内动态特性的研究则比较有限，主要集中在驱动单元的动态建模仿真和基础试验测试等方面。Dubois[3]等人采用瑞利-里兹方法建立了基于有机硅的介电弹性体材料驱动模型，通过控制电压使系统的共振频率降低了77%；Suo[4-5]等人先后对预拉伸的球形和圆形介电弹性体薄膜进行了建模仿真，重点研究了系统的非线性振动和共振现象；Goulbourne[6]等人在准静态模型分析的基础上，通过试验研究了变化电压和机械载荷条件下介电弹性体驱动单元的动态响应；Xu[7]等人利用欧拉-拉格朗日方程推导了介电弹性体驱动单元的动力学模型，分析了系统的动态响应及阻尼因素的影响。本文以介电弹性体驱动器的基本驱动单元为研究对象，重点考虑材料非线性、介电常数变化和惯性效应等因素的影响，从热力学能量转化的角度得到了基于Ogden应变能函数的介电弹性体驱动单元的二阶常微分运动方程并对其进行了数值分析，得到了系统在恒定和简谐电场强度情况下的动态响应。

2 介电弹性体驱动单元的运动方程

根据连续介质力学理论，假设施加电压前介电弹性体驱动单元的尺寸为2L×2L×2H，材料坐标(X,Y,Z)表示驱动单元上任意点的位置，空间坐标(x,y,z)表示空间中任意点的位置，两坐标原点在驱动单元的中心点处重合，且模型的三个中间主平面X=0，Y=0，Z=0不产生法向位移，见图1(a)。

图1 介电弹性体驱动单元的简化模型及其坐标Fig.1 Simplified model and coordinate of DE actuating unit

(1)

根据热力学能量理论，介电弹性体驱动单元亥姆霍兹自由能的变化等于系统的电场能变化和惯性力做功之和，即：

VδF=φδQ+δK

(2)

式中：F为单位体积的亥姆霍兹自由能，V=HL2为材料的体积，整个系统亥姆霍兹自由能的变化可以表示为VδF；φδQ为系统电势变化所做的功，其中φ和Q分别为电势和电荷量；δK为系统中惯性力所做的功。

对于存在机电耦合的介电弹性体驱动单元，其亥姆霍兹自由能由弹性能和静电能两部分组成[8]。本文采用一阶Ogden应变能函数来计算驱动单元的弹性能，则系统单位体积的亥姆霍兹自由能为：

(3)

研究表明，介电弹性体材料的介电常数ε会随着预拉伸率、激励频率、电极材料以及环境温度的变化而变化。本文采用文献[9]推导的公式来考虑材料介电常数变化产生的影响，即：

(4)

因此，系统亥姆霍兹自由能的变化可表示为：

(5)

介电弹性体驱动单元的电荷量可表示为：

(6)

则系统电势变化所做的功为：

(7)

系统中惯性力所做的功为：

(8)

将式(1)代入(8)可得：

(9)

联立式(2)、(4)、(5)、(7)、(8)和(9)可得：

(10)

3 介电弹性体驱动单元的动态特性

为了研究介电弹性体驱动单元的动态响应，本文基于四阶-五阶Runge-Kutta算法(ode45)，采用Matlab软件求解运动方程(10)，数学简化模型以VHB4910材料

表1 VHB4910材料相关参数

3.1 恒定电场强度下驱动单元的动态响应

取H=0.5mm，L=5mm，对介电弹性体驱动单元施加不同的名义电场强度E0，分别为10kV/mm、15kV/mm、20kV/mm和22.13kV/mm，系统的动态响应见图2。

图2 不同场强下驱动单元的动态响应 (a) 振动； (b) 振幅-场强关系图Fig.2 Dynamic response of DE actuating unit under different electric fields (a) Vibration; (b) Relationship between amplitude and electric field

由图2可知，电场强度是影响介电弹性体驱动单元动态响应的重要因素，即增大场强，系统的振幅将随之增大、振动频率将随之减小。当场强达到临界值22.13kV/mm时，模型的振幅达到最大值49%，此时如果场强继续增大，系统将失稳。此外，由于存在材料粘弹性、机电耦合等因素的影响，系统振幅与场强的关系呈现明显的非线性特征，即随着场强的增大，系统振幅增大的速度将越来越快。

3.2 简谐变化场强下驱动单元的动态响应

当场强随时间发生变化时，介电弹性体驱动单元的动态响应则比较复杂。假设名义电场强度E0为：

(11)

式中：EA为电场强度的幅值，f为频率。

取介电弹性体驱动单元的尺寸H=0.5mm，L=5mm，当电场强度幅值EA分别为10kV/mm、14kV/mm和18kV/mm，频率f的变化范围为1Hz到1kHz时，系统振幅与频率的关系见图3。

图3 不同电场强度下驱动单元动态响应的幅频特性曲线Fig.3 Frequency-amplitude curve of actuating unit’s dynamic response under different electric fields

图4 EA=18kV/mm, f=386Hz时，驱动单元的动态响应Fig.4 Dynamic response of actuating unit under the electric field of 18kV/mm and frequency of 386Hz

由图3可知，在不同电场强度条件下，介电弹性体驱动单元幅频特性的整体变化趋势基本一致，即系统的振幅随着频率的增大达到峰值，然后随着频率继续增大而下降，最终趋于稳定。其中，当EA=18kV/mm，f=386Hz时，系统将发生共振，其频响特性曲线见图4，可见系统此时的振动十分剧烈。当EA分别为10kV/mm、14kV/mm和18kV/mm时，系统振幅的波峰对应的频率分别为440Hz，426Hz和386Hz，表明系统在该频率附近产生共振，且共振频率随电场强度的增大而减小。

3.3 几何尺寸对驱动单元动态响应的影响

对介电弹性体驱动单元模型施加22.13kv/mm的电场强度，取L=1mm，当材料厚度同平面尺寸的比值H/L分别取0.5，1和2时，系统的动态响应见图5。

图5 几何尺寸对驱动单元动态响应的影响Fig.5 Influence of geometry on the dynamic response of actuating unit

由图5可知，当电场强度恒定时，几何尺寸是影响介电弹性体驱动单元振动频率的重要因素，即系统的振动频率随H/L的增大而减小；当H/L取不同值时，系统动态响应的振幅保持不变。因此，介电弹性体驱动单元动态响应的振幅由电场强度决定，与材料厚度对平面尺寸的比值无关。

4 结 论

本文以介电弹性体驱动器(DEA)的基本驱动单

元为研究对象，从热力学能量转化的角度得到了基于Ogden应变能函数的介电弹性体驱动单元的二阶常微分运动方程，分析了系统在恒定和简谐电场强度情况下的动态响应及模型几何尺寸的影响。结果表明：在恒定场强下，随着电场强度幅值的增大，驱动单元的振幅将随之增大、振动频率将随之减小；在简谐场强下，随着电场强度频率的增大，驱动单元将发生共振，且共振频率将随之减小。此外，介电弹性体驱动单元动态响应的振幅由电场强度决定，与材料厚度对平面尺寸的比值无关。综上所述，本文的理论分析方法能够较好地模拟电压载荷下介电弹性体驱动单元的动态响应，可以为下一步新型介电弹性体驱动器的设计提供参考。

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