他山之石可以攻玉

杨晓侠

[摘 要] 数学课程标准中指出：“数学教学不仅要教给学生数学知识，而且还要揭示获取知识的思维过程. ”也就是说在数学教学中，除了要使学生掌握基础知识和基本技能之外，同时还要注重培养学生的思维能力，一切为学生的思维发展服务，夯实每一个教学环节. 驾驭教材，拓展思维；精心设问，激发思维；捕捉信息，发展思维；双向评价，升华思维.

[关键词] 拓展思维；捕捉信息；精心设问；双向评价

任教于一所普通中学，“老师教的内容学生不理解”“学生的反应老师不理解”的状况时时发生，让笔者很是困惑，这显然不能仅仅归咎于学生的基础薄弱. 最近一次的南京市数学教研活动，有一节让笔者记忆犹新的交流课——《数列》，执教者的精心设计，让课堂展现的是知识的生成过程，强调的是学生的积极参与，关注的是学生的思维发展，让笔者有种“他山之石，可以攻玉”的感觉.

案例片段

片段一：《数列》

问题情境：①传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上研究数学问题，他们用小石子表示数的三角数；②“一尺之锤，日取其半，万世不竭”；③某剧场有30排座位，第一排有20个座位，从第二排起，后一排都比前一排多2个座位，那么各排的座位数依次是多少？④简谐振动中记录最高点和最低点的位移：第一次为1，第二次为-1，第三次为1，第四次为-1，在整个过程中的位移依次为多少？⑤王同学的四次考试成绩：98，117，125，129. 从五个实际问题入手让学生用数学语言来表示.

数学建构：第一次设问：以上这些问题有什么共同的特点？（引入新知——数列的概念）概念理解这一环节中，第二次设问：①数列定义中的关键词有哪些？你能不能再举出一些数列的例子？②你是如何理解数列定义中的一定次序的？③针对分析你有什么发现？（得到数列的本质——是一个函数）接下来让学生通过分组合作，自主探究以上五个数列的函数性质.

【案例分析】 该片段最大的亮点是，对教材进行的二次加工与整合，没有按部就班，而是给学生的思维发展搭建了平台，学生的思维真的像一句歌词所唱的“如果你愿意一层一层一层地剥开我的心”那样，一层一层地剥开数列的“心”，水到渠成地让学生理解了数列的本质.

亮点一：有效的信息捕捉. 通过设问“你是如何理解数列定义中的一定次序的？”捕捉到了“一一对应”的有效信息，怎么对应的？启发学生借用表1.

用表格很容易让学生直观地感受到“一一对应”，顺理成章地联系到了函数，为后面的学习做了很好的铺垫.

亮点二：深入的过程展示. 通过对学生思维的逐步启迪，得到数列的概念后，教师并没有急于让学生接触基本题——①求数列的项，②通项公式的猜想，而是把数列是一个特殊的函数作为激发学生思维的又一个切入点，给予了学生很大的自主探索的时空. 通过学生间的合作、交流与探究，使学生明白数列的特殊性，但又具有函数该有的性质，为整章的学习做了引航.

亮点三：精心的问题设计. 你是如何理解数列定义中的一定次序的？函数有几个量？研究函数一般都研究哪些……老师设计的每一个问题，可谓不大不小，不深不浅，让每一个层次的学生都能够“跳一跳够得到”，但要“摘到桃”，必须积极思考，使学生达到情绪高涨、智力振奋的状态，激发学生的思维.

纸上得来终觉浅，绝知此事要躬行，为此笔者做了以下“有为”的尝试.

片段二：《余弦定理》

情境引入：从“在△ABC中，已知CA=1，CB=2，∠ACB=60°，求”这个小练习入手（上学期南京市高一期末考试19题的第1问），引导学生通过类比实现了由特殊到一般的推导，面对“在△ABC中，已知CA=b，CB=a，∠ACB=C，求”时学生几乎能没有障碍地写出2=（-）2=2-2·+2，进而得出c2=a2+b2-2abcosC. 接下来随意抽点了两位同学，他们很轻松地就推出a2=b2+c2-2bccosA，b2=a2+c2-2accosB. 可见，学生对于余弦定理的得出是水到渠成的.

数学建构：笔者没有急于让学生运用公式，而是首先设问：“观察这三个式子，它们有什么特点？你能用语言表述出来吗？”问题一抛出，学生的话匣子打开了，学生首先想到了公式的变形，類似于a2-b2=c2-2bccosA，笔者很是耐心地回应：“等价变形非常不错，变形的用意在哪里呢？”“好记呗，对称呗！”顺应了学生们的想法，最终敲定了“最美的”记法：cosA=，cosB=，cosC=. 笔者继续问道：“难道变形只为了感受对称美吗？”学生A：“为了求角，对，知道三边求角. ”学生B补充：“知道两边及其夹角，求第三边. ”与此同时，笔者也看到了骄傲和满足的表情洋溢在很多学生的脸上，这足以说明学生A及学生B想到的，其他很多学生也都想到了. 这样一来本节课的基本题型有了，余弦定理的功能找到了. 笔者并不满足地继续追问：“还有其他发现吗？”学生C小声地说：“我想到了∠A=90°，a2=b2+c2，就是勾股定理. ”这引来好多学生的哄笑，“这个信息太有价值了！”笔者义正词严地评价到，学生的哄笑戛然而止，笔者再次追问：“还可以怎样呢？”“∠A>90°，a2+b2-c2<0；∠B>90°，a2+c2-b2<0；∠C>90°，a2+b2-c2<0.” 学生几乎异口同声地得到这个结论. “太好了，能同时成立吗？”……随着对话的进行余弦定理的本质——锐角、钝角三角形的判断条件生成了，例3也就迎刃而解了.

这节课“环环相扣”地衔接“创造”：余弦定理的推导→余弦定理的功能→余弦定理的本质. 一种“有为而至”的情愫油然而生.

案例反思

《数列》一课的“有为”设计让笔者受益匪浅，经过亦步亦趋地“有为”模仿，让笔者领悟到：学生的思维反应不是完全由学生的学习基础决定的，只要老师对待教学“有为”，基础薄弱的学生也能亲身“经历”数学知识产生、发展和变化的过程.

1. 驾驭教材，拓展思维

特级教师沈重予曾说过：“教材是执行课程标准与体现课改精神的载体，也是众多教育专家和一线教师智慧的结晶，粗线条的阅读肯定是不行的. 教材上每个章节的每一道例题都有一定的教学目标，不仅如此，例题中的每一个要求、问題，其背后都蕴涵着特定的意图.”可见教材是一种有效资源，但也绝不能照本宣科，因为教材只是一个静止的知识库，它的内容相对稳定，不可能及时地吸收当前的信息，与学生接受知识的动态相吻合. 我们要做的是理性地看待数学教材，创造性地使用教材，在充分了解和把握课程标准、学科特点、教学目标、教材编写意图的基础上，以教材为载体，灵活有效地组织教学. 同时，根据学生的身心发展实际及自己的教学经验对数学教材进行灵活、创造性地处理，拓展课堂教学空间，为拓展学生的思维发展搭建平台.

2. 精心设问，激发思维

著名教育学家陶行知先生提出：“发明千千万，起点在一问；智者问得巧，愚者问得笨.”美国著名数学家哈尔莫斯还曾说：“有了问题，思维才有方向. ”提问是一种课堂上经常使用的教学手段和形式，传递着师生间双向交流的信息，因此教师所设计的问题要努力做到：能引发学生探索的欲望，暴露学生的思考过程，促进学生的深入思考，为学生的思维发展做好铺垫. 教师所提问题更要符合高中生正由形象思维过渡到抽象思维的实际情况，既不能简单地让全体学生回答是或否，也不能让学生都抓耳挠腮、无从回答，要遵循维果茨基提出的“最近发展区”原则，即所提问题要具有一定的思考性和挑战性，使学生思维处于“心求通而未得，口欲言而不能”的不平衡状态. 只有通过积极探究，调动已学知识解决问题，才能“跳一跳，能够得着苹果”，从而达到激发学生思维的目的.

3. 捕捉信息，发展思维

叶澜教授曾说：“课堂应是向未知方向挺进的旅程，随时都有可能发现意外的通道和美丽的图景，而不是一切都必须遵循固定线路而没有激情的行程. ”课堂是师生知识共享、情感交流、心灵互通的过程，是一个丰富多彩的动态生成过程. 即使教师事先预设再充分，也难以预料教学过程中学生出现的各种反应. 对话是课堂教学的基本形式，学生的回答是教师必须及时关注的，但有时学生对问题不做直接的言语反应，而是通过表情、动作等传达出赞成、反对或喜欢、厌恶的信息，教师需要察言观色，不让信息流失. 这就要求教师驾驭智慧，根据自己对课堂各种信息的捕捉和把握，适时调整预设，给予一定的发展空间，使课堂动态生成资源得以利用. 现场捕捉，启迪智慧，使学生与学生、学生与教师的思维进行碰撞，定能够“吹尽狂沙始到金”，使教学的内容不断得以拓展和深化.

4. 双向评价，升华思维

《数学课程标准》指出：“评价要关注学生学习的结果，更要关注他们学习的过程……要关注他们在数学活动中所表现出来的情感与态度，更要帮助学生认识自我，建立自信. ”这充分说明了教师课堂评价的重要性. 笔者更从中读出了，评价不应只是简单地判断学生的对与错，而应适时、适当、适量驾驭自己的语言智慧，为学生把关定向、释疑解难，引领学生走出迷茫，促进学生更深入地思考. 感性评价和理性评价应水乳交融，贯穿于整个学习的始终，才能让学生既得到情感的满足，又得到思维的升华. 有人说：“教师的语言如钥匙，能打开学生心灵的窗户；如火炬，能照亮学生的未来；如种子，能深埋在学生的心里. ”著名教育家夸美纽斯曾说：“教师的嘴，就是一个源泉，从那里可以发出知识的溪流. ”可见，教师的语言能够诠释感性、理性评价的价值所在，我们所追求的就是感性的语言交流到理性的知识升华.

结语

学生学习的不只是“文本课程”，更是“体验课程”. 知识，在交流中增值；思维，在交流中碰撞；情感，在交流中融通. 适宜的教材整合，精心的课堂设问，实时的信息捕捉，有效的课堂评价……所遵循的宗旨只有一个，数学课堂展现的是过程，强调的是参与， 关注的是思维.