就“子集”教学谈学生主体作用的充分发挥

高敏

[摘 要] 教师的主导作用和一切努力都是为了更好地确定学生的主体地位和更充分地发挥学生的主体作用，课堂上，教师所有的讲、说、读、写、画都是为了充分调动学生钻研、探索、争论和问题解决的积极性和实效性. “子集”本身的内容比较单薄，经过教者的巧妙调配，却可以达到扩容和增效的效果.

[关键词] 子集概念；数学课堂；数学思维；教学活动

近两年来，关于“中学数学课堂到底能否交给学生”的讨论，引起了广泛的关注，笔者对此议题进行了反复深思，认为“教师完全包办课堂”和“将课堂完全交给学生”这两种极端行为都不对. 并在教学实践中进一步探索，认为：教师的主导作用和一切努力都是为了更好地确定学生的主体地位和更充分地发挥学生的主体作用，课堂上，教师所有的讲、说、读、写、画都是为了充分调动学生钻研、探索、争论和问题解决的积极性和实效性. 然而，也必须承认，教学案或导学案的创编，教学流程的预设，课堂氛围的营造，问题情境的创设，教学程序实施过程中的调控，对课堂上出现状况时的应对处置，对学生进行提示、启发、诱导、点拨和唤醒，都离不开教师的主导作用.

为了详细解读上述理念，笔者特以“子集概念”的教学为例，展示此理念在课堂上的具体贯彻.

概念出台

师：今天我们来研究——

生：子集.

师：书上写得明白，你们当然知道啦！但下面要求大家尽量不看书，要通过自己的努力来达成此节课的目标. 那么，什么叫“子集”呢？

生：从一个集合（能否叫“母集”？）中取出一部分元素构成新的集合，就得到“母集”的子集.

师：哈哈，看似有点道理，但这是想当然，决不能代替严谨精确的数学语言. 先看一个实例. 设集合B={大爷，大娘，哥哥，嫂嫂，小娃}，集合A={哥哥，嫂嫂，小娃}，那么集合A是集合B的什么？

生：集合A是集合B的子集.

师：这样就可以给出子集的定义了.

生（在教师的协助下完善）：对于集合A与集合B，如果集合A中的元素都是集合B中的元素，那么集合A就叫集合B的子集，記为A？哿B或B？勐A，读为“集合A包含于集合B”或“集合B包含集合A”.

研磨定义

师：对于数学内容，一般都用三种语言（自然语言、符号语言和图形语言）来表示，所以得图1. 不过，这个图形有个弊端，就是它会使我们误以为子集A似乎比集合B“小”，前面的事例也给我们这个感觉，认为集合A是“小家庭”，集合B是“大家庭”，其实集合根本就没有大小之说！现在，我们将一个集合的全部元素都取出，如集合C={a，b，c}，集合D={a，b，c}，大家看看集合C能否叫集合D的子集？

生1：从感觉上看，好像集合C不应该是集合D的子集，但严格按照定义来判断，集合C中的元素都是集合D中的元素，所以集合C是集合D的子集.

生2：集合D也是集合C的子集！（奇特的结论使学生兴奋异常）

生3：一个集合与其本身互为子集，所以有A？哿A，还有A？勐A. （教室里响起一片叫好声）

生4：反过来，若有A？哿B，且B？勐A，则A=B. （教室里又一阵叫好声）

师：现在有个难办的问题，就是如何处理空集与集合的关系，大家认为应该怎么办？

（经过七嘴八舌的讨论，有学生认为撇开这个“讨厌”的空集算了）

师：空集是数学中的一个重要角色，哪能撇开哩！告诉大家吧，数学中有个规定，即空集是任何集合的子集，即？哿A. 还有一个棘手的问题，如集合E={a，b，c，d}，集合F={a，b，c，d}，集合G={a，b，c}，则集合F和集合G都是集合E的子集，可是如何区分它们呢？

生5：集合G是集合E的真子集，集合F是集合E的……（一时无语）

师：总不能叫“假”子集吧？（学生大笑）没有“假”子集这个概念. 真子集有个记号，如果集合G是集合E的真子集，则记为G？芴E（读作“G真包含于E”）. 那么，请大家给出真子集的定义.

生6：如果集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一个元素不属于A，则集合A叫集合B的真子集.

师：数学学好了，说话就是严谨，滴水不漏啊！现在大家有什么联想？

生7：记号“？芴”好像“≤”，记号“？哿”好像“<”.

师：这叫类比联想，数学中运用得很多. 再如，由a

生8：a

师：这种性质叫作——

生8：传递性.

师：类比联想使我们获得举一反三、触类旁通之效，在其他学科和生活中也常用到. 没有想到吧，我们研究子集，竟获得如此丰硕的成果. 此时我不禁有点感慨，想用有趣的语言来表达，即有“真”却无“假”——

生9：有“子”没有“妈”. （学生忍俊不禁）

师：再续两句更好.

生10（经过思索）：类比来联想，战果无限大.

思维训练

师：有关子集的知识虽不是很复杂，但必须认准其精髓，才能解决有关问题，且可避免犯错，这对我们思维的各种品质是一个严峻的考验. （已略去部分浅显的问题）

问题3：设集合A={xx>a}，B={xx>5}.

（1）若A？哿B，则a的取值范围是____；

（2）若A？芴B，则a的取值范围是___；

（3）若A与B之间没有互相包含的关系，则a的取值范围是________.

对于（1），学生不难得到a≥5，但（2）却引起了很大的争论.

生1：答案也是a≥5.

生2：不对，若a=5，则A=B，A？芴B不成立.

学生几乎一时语塞，课堂气氛限于沉闷.

师（画出图2）：请对照这个图形来考虑，发挥数形结合思想方法的作用.（学生来了精神）

生3：a=5肯定不对. 我想，表示集合A的图2中的阴影框必须在5右边一点，所以任意取一个大于5的数即可，如a≥5.1，a≥5.01…

生3（经过一番讨论后）：a≥t（t为大于5的任意实数）.

生4：不对！这样就漏掉区间（5，t）内的值了，答案就应该是a>5. （掌声响起）

师：缜密、严谨体现的是数学的一种美.

对于（3），学生经过一番思考、辨析，借助图2，认为无论a为何值，都不能满足题设条件，所以a的取值集合只能是空集，也就是说，根本不存在这样的集合A.

问题4：设集合M={xx2-x-6=0}，P={xmx=6}，若P？哿M，求实数m的取值集合.

生5：解得M={-2，3}，下面分两种情况进行讨论. 若P={-2}，则m=-3；若P={3}，则m=2.

生6：集合P也可以是空集呀！

生5（补充）：若P为空集，则m=0. 所以m的取值集合为{-3，2，0}.

师：知错能改就是好同志！题小蕴含大，不仅重温了方程及分类讨论思想，且提醒我们注意，谨防犯错.

问题5：解答下列各题.

（1）集合{a}的子集有________，共有________个；

（2）集合{a，b}的子集有________，共有________个；

（3）集合{a，b，c}的子集有_______，共有________个.

吸取了教训，在解决这些问题时，学生都没有丢掉空集.

师：长记性了吧，这样就不会在同一块石头上绊倒两次了！请问集合{a，b，c，d}有几个子集？

子集比较多，若欲全部写出，学生感到为难.

师：我问的是有几个子集.

学生从前面的解答中积累了经验，所以不难知道{a，b，c，d}有24=16个子集.

师：那么集合{a1，a2，a3，…，an}有多少个子集？

生7：有2n个子集.

师：完全正确！但這仅仅是猜想，若要严谨地讲清道理，要等以后. 这里运用的是从特殊到一般的策略，它与先猜想后论证一样，都是数学研究的一种重要方法. 这节课的收获怎么样？

生（齐）：收获太大了！

师：给你们印象最深刻的是什么？

生8：除了子集的有关概念外，我印象最深刻的是，有“真”却无“假”，有“子”没有“妈”，类比来联想，战果无限大！（满场欢呼大笑）

启示、感悟

此节课（以下简称“子集”）后，笔者心情久久难以平静，真的是感慨良多、思绪万千.

1. 角色定位

教师和学生，前者是主导，后者是主体，这两个角色究竟如何定位？前文虽已有论述，但在“子集”后，笔者有了更坚定的认识，那就是绝对不能将课堂完全交给学生，但又要充分发挥学生的主体作用，两者应该做到且可以做到密切配合、相得益彰. 我们经常想，一位刚走上工作岗位的年轻数学教师，至少须经过五六年的历练，才能达到比较成熟、能基本胜任和驾驭中学数学课堂的程度，而刚升入高中的学生（极个别“神童”除外），可算是稚气未脱尽的少年，知识面狭窄，生活阅历浅，学习经验缺，认知能力弱，他们能担当起组织、驾驭和主宰课堂的重任吗？即使他们在课前花费大量时间去“备课”（这得加重学生的多少负担？若各科都采取这种做法，学生岂不要累趴下！），能讲出高质量的课来吗？但另一方面，又绝对不能以这个道理为借口，否认学生的主体地位，而让教师“独裁”包办.

就“子集”来说，子集的定义、空集与集合的关系、真子集的定义等，如果学生没有预习的话，他们怎么也不会完善地讲出来，但又不能由教师包办，所以我们采取让学生讲，再由教师进行辅助的方式，以使课堂逐步趋于完善.

在习题的研讨解答中，学生活动的份额当然要重得多，但也不能完全排斥教师的作用. 学生能解答的，教师可完全放手；学生感到困难的，教师应适当提示、启发；学生犯错时，教师必须指出，或激励其他学生指出. 值得回味的是，对于问题3第（2）小题的讨论，虽费点时间和精力，但收效显著. 当然，这样的研讨在一节课中不能太多，否则影响教学目标的达成.

2. 扩容增效

一节数学课的时间和容量都是有限的，但经过教者的巧妙调配，却达到了扩容和增效的效果. “子集”本身的内容比较单薄，那么就可以考虑从几方面来扩容：一，三种语言的应用；二，从知识结构来看，“子集”联系到方程和不等式，且自然流畅；三，从数学思维来看，努力优化数学思维的缜密性、广阔性、敏捷性、创造性和批判性，这都是每节数学课必不可少的；四，从数学思想来看，运用了数形结合、分类讨论、等价转化等思想，且尽可能地让学生主动参与；五，从数学美来看，有机地涉及数学的统一美、简洁美、奇异美等；六，从数学策略来看，涉及从特殊到一般、先猜想后论证和类比联想等重要的数学策略；七，集合{a1，a2，a3，…，an}有2n个子集的道理，唤起了学生的求知欲，为今后的教学设下伏笔；八，与生活实际（如家庭）相联系. 这样就大大丰富了数学教学和学生活动的内容，使得学生的活力在更大的范围内得到彰显和发挥. 当然，这项系统工程不是一节课能承担得了的，必须天天讲，课课谈，节节论.

3. 宽松愉悦

这也是本节课的一大特色. 学生在数学课上应该没有任何心理压力和思想负担，轻松愉快地上阵，宽松和谐地研讨，这样才能最大限度地激发出他们潜藏的智慧和知识贮存，才能更有效地投入当前的数学科研探索活动. 在“子集”课中，教师运用诙谐幽默的语言，使课堂上笑声、掌声不断，甚至学生发出来自内心的欢呼声，这标志着，其有效地得到了学生的心理呼应，学生乐此不疲也就成了现实. 有子集，却没有“母集”；有真子集，却没有“假子集”；家庭有大小，集合却无大小；任何集合都是本身的子集；空集竟是任何集合的子集，却是任何非空集合的真子集，种种奇特的数学现象激起的是学生的兴趣.

再如，“数学学好了，说话就是严谨，滴水不漏啊”“好啊！看来大家都经受住了考验”“知错能改就是好同志”“长记性了吧，这样就不会在同一块石头上绊倒两次了”等语言对于课堂良好气氛的营造、学生愉悦心理的形成都大有裨益.

最后说一点，随着学生的成长趋于成熟，在高二、高三阶段，我们可以顺其自然地加大对学生的要求，将课堂更多的时间交给学生，让他们在自由自在的空间徜徉、驰骋.