促进数学深度体验的认识与思考

[摘 要] 我国新一轮课程改革非常强调体验学习的重要性，要求加强过程性、体验性目标，引导学生主动参与、亲身实践. 体验本身是具有层次性的，立足于高层次思维能力培养的教学需要深度的体验. 结合数学学科特点，数学深度体验可以从体验的主体、体验的过程、体验的结果三个维度进行认识，促进数学深度体验的基本模式包含了情境、活动、反思、应用四个阶段，围绕这一教学过程，要从目标定位、情境创设、问题解决、反思提升、效果评价等五个方面思考促进数学深度体验的教学策略.

[关键词] 数学；深度体验；教学过程；教学策略

数学学习的本质是学生在教师的指导下能动地建构认知结构，发展个性品质，形成数学核心素养的过程. 这一过程，是学生利用多种方式把新知识与各种因素建立关联来创建的，是学生以其已有的知识和经验为基础，基于个人对经验的操作、交流，通过反省内化来建构的，是学生在充分的自主活动中，以其高水平的智力参与，通过个人的深度体验来实现的. 因而，教学过程既是一种特殊的认识过程，也是一种交流过程，还是一种体验过程. 教学过程应该充分关注学生的体验能力. 为此，新课程改革也特别强调探求新知的经历和获得新知的体验，要“在思考、探索和交流的过程中获得对数学较为全面的体验和理解”.[1] 本文就“数学深度体验”的含义及其教学做了一些初步探讨.

数学深度体验的含义

1. 体验

“体验”，英文译作“experience”，现代汉语词典解释为：通过实践来认识周围的事物；亲身经历.[2] 在西方哲学史上，“体验”一词最早出现于黑格尔的一封信中，而德国哲学家Wilhelm Dilthey的论述则具有代表性. 他认为，体验是人的生存方式，这具有本体论意义. 而在认识论中，体验则被认为是一种认识方式，即是主体把自身当作客体，通过心理体验或者实践体验，获得关于客体的信息.

作为一个心理学概念，瓦西留克认为体验是指人在“应付有威胁性情境时的一种特殊的内部活动、内部工作”.[3] 其组成要素包含感受、理解、联想、情感、领悟等. 马斯洛认为人在自我实现的创造性过程中，产生出了一种所谓的“高峰体验”，这种体验既有情感，也包含了认知的成分. 因此，从心理学上讲，“体验是在对事物的真切感受和深刻理解的基础上，对事物产生情感并生成意义的活动”.[4]

从教育学角度看，李英在综合有关研究的基础上提出：“体验，既是一种活动，也是活动的结果. 作为一种活动，即主体亲历某件事并获得相应的认识和情感；作为活动的结果，即主体从其亲历中获得的认识和情感.”[5] 因而，体验的要素是经历、情感、认识，体验的方式有心理体验和实践体验.

2. 深度体验

从上述认识可以看出，体验是具有层次的. 从体验的主体来看，有的学生在其自身需求的内在驱动下，自主地、主动地、创造性地亲历体验性活动，并在活动中能够不断地获得积极而深刻的情绪和认识体验，这样的体验才是深度的. 有的学生则是在环境需求的外在驱动下，消极地、被动地、接受性地参与活动，这样的体验不可能是深度的.

从体验的过程看，深度体验是学习者主动地建构内部心理表征的过程，既包含对新信息的意义的建构，又包含对原有经验的改造和重组. 在这一过程中，学习者能有效地控制自己的思维活动和学习过程，能主动地对自身各种认知活动进行计划、监控和调节，体现出较高的元认知水平. 因而，深度体验的过程体现出明显的建构性特征与反思性特征.

从体验的结果来看，深度体验因学习者积极主动、深层次构建和反思而获得的情感具有生成性、关联性和迁移性，因而有助于在新的情境中做出决策和解决问题. 按照斯皮罗的观点，学习分为初级学习和高级学习. 初级学习涉及结构良好领域，学习者“知道”并能原样提取，但无法建立起事实和概念、认知和环境等的关联，显见这样的體验不是深度的；高级学习涉及结构不良领域，它不仅强调学习者积极主动的学习状态、知识整合和意义连接的学习内容，还强调学生高阶思维和复杂问题解决能力的提升，这样的认知就是深度体验获得的.

3. 数学深度体验

作为活动的过程，数学体验是指学生以其数学学习需要和已有认知、情感结构为基础，通过情感、认知、行为等的参与，获得对数学对象的情感与生成意义的活动. 作为活动的结果，数学体验是指学生通过数学活动，将数学基础知识、基本技能、基本思想和基本活动经验内化到自己的数学知识结构中，并获得相应的数学情感体验.

基于对深度体验的认识，具体到数学学习中，数学深度体验在学习动机上强调情境、问题或任务给予学生内驱力的激发，在焦点意识上关注问题解决的核心知识和方法，在知识结构上强调新旧知识的关联、知识和问题的关联、知识和环境的关联，在思维层次上更加凸显思维的批判性、深刻性和独创性，从而能较好地把所学知识迁移应用到新的问题情境中. 因而，在数学学习实践中，出现“听得懂，不会做”“会而不对，对而不全”，从某种意义上讲，是因学习者在数学学习中体验深刻性不够的必然.

促进数学深度体验的教学过程

学习是情意过程和认知过程的统一. 促进学生数学深度体验，需要以“体验”为价值取向的数学教学，需要教师“在数学教学中积极创设问题情境，激发学生情感，组织和引导学生开展丰富的数学活动，让学生亲自去感知、领悟数学知识，体验数学学习的整个过程，从而获得对数学知识的深刻认识和丰富的情感体验”.[6] 因而，如何基于“情境”和“问题”展开教学活动就成为有效促进数学深度体验的关键. 结合情境认知与学习（Situated Cognition and Learning）和基于问题学习（Problem Based Learning）理论，提出如下基本模式构架（图1）.

按照这一基本构架，教师在一节课中，首先根据教学内容，基于学生实际，围绕教学目标设定一个具有真实性和批判性的，以问题解决为核心的学习情境系统，并以“问题”或“任务”的表达方式对深度体验进行引导定向. 学生在问题或任务的驱动下自主探究或小组合作，经过思考、讨论和交流，得到问题的解决或任务的完成. 然后师生共同对活动过程进行反思，归纳、提升活动中的体验与感悟，获得新的知识方法、情感态度等深度体验，最后再运用反馈到具体问题，在运用中顺应、同化自己的认知结构而达到内化发展的目的.

这样的过程具有问题性、情境性、探究性、循环性和开放性等特点. 每一环节都为后一环节提供了更为广阔的体验空间，而后一环节又将体验推向了更深刻的阶段. 同时，在不同的教学需要下，可以产生不同的具体教学形式. 例如，在翻转课堂条件下，就可以将情境（问题与任务）与活动前置，课堂上直接进行展示交流，然后师生共同反思提升，获得情感与认知的深度体验，再将其在新的问题情境中加以应用，即如下的基本流程.

例如，在《方程的根与函数的零点》[7]的教学中，我们利用实际问题“将72分米长的铁丝截成12段，焊接成长方体框架，要求长为宽的2倍，体积是100立方分米，能办到吗？”创设情境，引导学生聚焦学习任务：探究方程f（x）=0在（a，b）上有解的条件.

然后学生通过自主探索、小组合作讨论、全班展示交流等活动解决探究问题. 同时，教师在学案上用四个问题组成的问题串为学生搭建脚手架，以问题的层层深入，助推学生探究活动的深入进展.

接着，反思任务解决过程，归纳得出数学知识即一个概念（函数的零点）、一种关系（函数的零点、方程的根、函数图像交点的横坐标）和一个定理（零点存在性定理）；通过对任务解决过程深层次地挖掘，体会蕴含其中的数学思想方法（函数与方程的思想、数形结合的思想、特殊到一般的思想）.

最后，学生反馈应用到旧情境“判断方程3x3-18x2+50=0在区间（0，6）是否有解”，并尝试解决新问题“求函数f（x）=lnx+2x-6的零点个数”. 课后我们对学生答题情况进行了分析，有82.54%的学生具有了用函数的观念解决问题的意识，表明本堂课中学生的深度体验教学目标有较高的达成度.

在这一教学过程中，学生在情境中感受，在活动中经历，在反思中提炼，在应用中内化，对方程的根与函数的零点学习内容有着非常深刻的体验，其师生双方的具体行为如图3所示：

促进数学深度体验的教学策略

从上述分析知道，“在情境中感受，在活动中经历，在反思中提炼，在应用中内化”是学生获得数学深度体验的基本过程. 围绕着这一基本过程，构建促进学生深度体验的教学策略，对于学生获得数学深度体验至关重要.

1. 目标定位：培养高层次思维能力

布卢姆将认知领域教育目标分为知识、领会、运用、分析、综合、评价6个类别，情感领域教育目标分为接受、反应、评估、组织和性格化5个类别. 这样的教育目标具有连续性、累积性. 深度体验是以高层次思维为核心特征的，是发生在较高认知水平层次上的心智活动，因而在设计教学目标时，不能仅仅停留在“事实性知识”“经历”“接受”等层面，而应该是将体验性目标和结果性目标整合，追求体验的深刻、知识的建构、意义的生成和能力的发展.

例如，在《函数的单调性》新课教学中，由于我们认识到，函数单调性的学习，有利于高一学生体验从素材中抽象数学概念的方法，体会数形结合的数学思想和由特殊到一般的思维方法，其学习方法、过程和模式，必然会迁移到相近概念和性质的学习，包含如何从具体材料中感知数学结论，如何从感知中分化本质属性，并由此抽象出数学概念等，因而从活动的过程与活动的结果两方面确定如下教学目标：

（1）能从形与数两方面理解函数单调性的概念，初步掌握函数单调性的证明方法（知识和领会层次）；

（2）经历从具体到抽象，从特殊到一般，从感性到理性的认识函数单调性的过程；通过对函数单调性概念的探究，培养自己观察、归纳、抽象的能力和语言表达能力（反应和组织层次）；

（3）通过对函数单调性的证明，提高自己代数推理论证能力（分析、综合与评价层次）.

2. 情境营造：激发认知冲突

学习是“平衡→不平衡→新的平衡”的认知发展过程. 在这一过程中，“认知冲突”成了促使学生实现主动学习，获得深度体验的契机和动力. 当个体已有认知结构能同化新信息时，其在心理上处于暂时的平衡状态；而当个体不能用已有认知来解释一个新问题或发现新知识与头脑中已有知识相悖时，就会产生“认知冲突”. 因此，情境引起需要，需要激发动机，动机引发活动，唯有能激发认知冲突的情境，方能促进学生的深度体验.

例如，在《余弦定理》第一课时教学中，教师播放课件：在Rt△ACB中，保持两直角边AC，BC的长度不变，将AC绕点C旋转，发现现象：

根据三角形知识，若已知两边夹角则第三边应唯一确定，而现在是不确定关系，所以提出关系式：c2=a2+b2+k. 接下来学生自主活动找k与a，b，C的具体关系.

这一情境的创设是从数学内部逻辑结构入手，顺理成章地提出与学生已有认知相冲突的数学活动任务，能较好地激发数学活动动机，刺激学生进行数学活动，成为学生获得深度体验的必要条件.

3. 问题解决：经历充分数学化过程

基于上述对数学深度体验含义及教学基本过程的认识，让学生学会数学的思考与研究各种现象，形成数学的概念，运算的法则，构造数学模型，经历充分数学化过程，是问题解决的关键. 包含运用已有的认知经验，独立进行问题解决：问题解决途径的选择、问题解决方案的制定、问题解决进程的调控、问题解决达成度的认定等，以及通过展示、交流、讨论、质疑等活动，围绕同一问题解决相互沟通、借鉴与合作. 这当中教师要注意留给学生充足的活动时间，营造安全的心理氛围，提供公平的参与机会、搭建适当的脚手架，同时注意以新因素为生长点，运用评价、追问、拓展等手段，将学生活动和学生思维导向深入，促成学生的深度体验.

4. 反思提升：突出元认知能力培养

从深度体验学习过程看，并不是经历了数学活动，学生就能获得深度的体验. 如果不能对活动的过程和活动的结果进行反思，就无法形成高层次思维能力. 在教学过程中，教师要在知识获得的同时，向学生渗透元认知策略，如计划、监控、调节等策略，让学生清晰地阐述他们的所学，反思自己的学习过程和所做决定，对自身和他人的思維过程进行批判性地审视，不断地改进自己的认知过程. “通过反思性学习，学习者所获得的知识将不仅更具有迁移性，也更能发展自己的元认知能力. ”[8]

5. 效果评价：在类情境中再创造

即使学生经历了充分的数学化与再创造过程，并对过程与结果有较为充分的元认知体验，但是这种认知和情感还是和具体的情境任务相联系的符号性表征. 当我们将深度体验的教学目标定位在促进学生高层次思维能力的发展时，对学习效果的评价就需要提供一个具有一定重复性、多样化的数学活动情境，让学生体验解决真实问题的过程，理解复杂的学习任务. 这样的评价是学习过程的有机组成部分，实时地镶嵌于过程之中，使得学生的深度体验循环往复，在反省、内化和应用中与个体已有的认知图式建立较为稳固的关联.

例如，在前述《方程的根与函数的零点》教学中，在学生生成了与方程的根和函数的零点相关知识后，教师布置了如下三个层面的目标达成检测：

（1）判断方程3x3-18x2+50=0在区间（0，6）是否有解. 这是照应情境创设中的实际问题.

（2）求函数f（x）=lnx+2x-6的零点个数. 这是取自教材的原題，旨在引导学生深层次挖掘这道题所蕴含的知识，归纳出“零点唯一性”的条件. 同时从两图像交点看方程根的个数，推广零点存在性定理，促进学生深刻体验方程与函数的关联.

（3）已知a∈R，讨论关于x的方程x2-6x+8=a的实数解的个数. 这是更深层次的应用，目的是检测学生是否具备用函数的观点解决问题的意识.

结语

2016年9月13日，中国学生发展核心素养研究成果发布会在北京师范大学举行，会上公布了中国学生发展核心素养总体框架及基本内涵，掀起了以培养核心素养为核心的更深层次的课程改革. 数学学科的六大核心素养在于三个维度：用数学的眼光观察世界、用数学的思维分析世界、用数学的语言表达世界. 这需要我们基于对数学和数学学习本质的认识，调动一切方式方法，促进学生深度体验，才能培养学生适应终身发展和社会发展需要的必备品格和关键能力.

参考文献：

[1] 中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（试验）[M]. 北京：人民教育出版社，2003：118.

[2] 中国社会科学院语言研究所词典编辑室.现代汉语词典（2002年增补本）[Z]. 北京：商务印书馆，2002：1241.

[3] 瓦西留克著，徐明译. 体验心理学[M]. 北京：中国人民大学出版社，1989：9-10.

[4] 陈佑清. 体验及生成[J]. 教育研究与实验，2002，（2）：7.

[5] 李英. 体验：一种教育学的话语[J].教育理论与实践，2001，（12）：21.

[6] 张红. 数学体验教育初探[D]. 湖南：湖南师范大学，2004：28.

[7] 周宏燕，谢发超. 基于缄默知识的核心问题教学设计——“方程的根与函数的零点”教学实践与反思[J]. 中小学数学（高中版），2013，（4）：27.

[8] 杨玉琴，倪娟. 促进“深度学习”的教学设计[J]. 化学教育，2016，（17）：7.