把握结构特征，了解数学本性

沙国祥

结构，《现代汉语词典》释义为“各组成部分的搭配或排列”，指事物基本单元或部件之间的关系.无论是具象世界，宏观如太阳系，中观如建筑，微观如分子，还是抽象世界，如文章、诗词，均有各自的结构.数学也不例外，数学对象如代数式、数列、函数、图形等，同样也有相应的结构.结构，在很大程度上决定了事物的本性.本文以数列为例，谈谈如何抓住数学对象的结构特征，研究、了解其本性，由此可以把准很多很多高考题的命题立意，寻得解题思路.

命题往往采用逆向思维来立意，寻求刻画数学对象本性的充要条件.

以上我们探讨了等差数列的结构特征.那么，等比数列的结构有何特征？这些结构特征又怎样决定了它的本性？有关高考题是怎样以此立意的呢？

现在来看一个有趣的滴水问题：

往一个水池中滴水，第1s，1滴水；第2s，2滴水；第3s，4滴水；第4s，8滴水；……每秒滴水量为前一秒的2倍.若加满半池需要ns，問：加满整个水池还需要多长时间？

半池水，共有

1+2+2²+2³+…+2^n-1=2ⁿ-1（滴）.

再用1s，加水2ⁿ滴，已经超过了前ns所加水的总滴数，因此加满整个水池，还需要不到1s的时间就足够了！

简直不可思议！实际上，这个问题的结果生动地反映了等比数列的重要特性：

性质一 设各项均为正数的等比数列{a_n}的前n项和为S_n，当公比q≥2时，S_nn+1.

这表明，当公比大于或等于2时，等比数列的项增长极快，以至于所有前项的和S_n还抵不上紧接着的后一项a_n+1.这种指数增长的特性，是由等比数列前n项的和S_n的结构所决定的：

以此眼光来看一道高考题：

该题命题的立意基于：1.等差数列通项的一次函数特征（也即线性特征：一个等差数列的各项同时乘以或同时加上同一个数，所得新数列仍然是等差数列）；2.等比数列的前n项和与第n+1项之间存在线性关系（**）.

由于等差数列、等比数列具有各自的结构特征和本性，只有极个别特殊数列可兼有二者身份.

（ii）求n的所有可能值.

（2）求证：对于给定的正整数n（n≥4），存在一个各项及公差均不为零的等差数列b₁，b₂，…，b_n，其中任意三项（按原来的顺序）都不能组成等比数列.

本题第（1）题的立意，基于数列的一个简单性质：

性质二 如果一个数列既是等差数列又是等比数列，那么该数列必定是常数列.

从等差数列与等比数列的结构和变化特征，可以直觉地领悟这一点：除了常数列以外，等差数列是均匀变化的，而等比数列则是非均匀变化的，可以是滚雪球或指数式增长！

对于第（2）题，仍然要抓住等差数列通项的一次函数特征，并再次利用数列的基本特性，即性质二.