基于函数背景，探寻合理转化

李净

函数的零点问题作为高考填空题的热点和难点，常常作为小题压轴出场.一方面，函数的零点问题涉及的知识点众多，与函数的图象与性质、零点存在定理、导数等知识都有着千丝万缕的联系，综合性很强；另一方面，此类问题的设置常常考查同学们转化化归、数形结合、分类讨论等数学思想方法，需要准确理解题意，选择恰当的方法解题.

那么如何选择恰当的解题方法？可以从分析问题的函数背景入手，探寻题目的隐含条件，通过灵活的条件转化，化归为更简单、更熟悉的问题，指向求解的目标.

解析 函数背景：两个基本初等函数的和? 由函数单调性的性质可得g（x）=1nx+x-1为增函数.

问题转化：函数有唯一零点? 方程f（x）=0有唯一解

解析 函数背景：分段函数? 分类讨论、数形结合，

含绝对值的函数? 利用变换法绘制函数的图象，

两个基本初等函数的和? 通过导数研究函数的单调性，生成图象.

问题转化：方程|f（x）+g（x）|=1的解? y=|f（x）+g（x）|与y=1的交點横坐标.

目标定位：方程的实根个数? 两函数图象的交点个数.

解析 函数背景：抽象函数、基本初等函数?结合图象研究性质.

函数的零点问题常常考查零点的个数、分布和数值等问题.解决这些问题主要有三大思路：解出来、画出来和证出来，分别对应于求普通方程和特殊的（可猜根）超越方程的解；画出函数的图象研究其交点；使用零点存在定理证明零点的存在性.通过上述5个问题的研究，我们可以发现，不同背景的函数关联着不同的知识，指向不同的研究方法.在解题时应当将零散的知识汇聚成“知识系”，将多样的方法组合成“方法链”，通过研究问题的函数背景联想相关知识，把问题进行合理地转化，数中思形，以形助数，进而化难为易，化繁为简，化陌生为熟悉，最终成功解题.endprint