浅析高中非空真子集与真子集的关系

李延洲

摘要：步入高中以來，我们最先接触到的数学知识就是集合知识，集合是高中数学中的一个比较重要的概念，也是一个比较基础性的概念，它和课本后面的许多内容息息相关，因此将集合作为高中数学的入门知识。我们在数学学习中遇到的各种对象都可以抽象看作集合中的元素或集合本身，通过学习集合的相关知识，能够把以往学过的其他数学概念关联到一起，形成一个结构明了的网状知识体系。我们在学习集合过程中对非空真子集与真子集的关系产生了浓厚的兴趣，通过查阅相关资料以及对高中数学课本的熟练掌握，我们对非空真子集与真子集的相关概念及它们之间的关系进行了探究，从而加深对集合相关知识的了解，为高中数学的学习奠定扎实的基础。

关键词：高中生；集合；非空真子集；真子集

集合是高中数学中接触最早也是最为重要的一部分，总的来说，集合相关知识学起来相对简单一点，对于我们来说，集合这部分知识虽然简单但也要熟练的掌握，这样才能为后续的其他数学内容的学习做铺垫。集合知识不仅能够锻炼我们严谨的数学思维，还能够提高我们分析问题解决问题的能力。同时，集合知识还能够帮助我们对学过的数学概念进行归纳总结，将一些琐碎的知识点联系起来，加深我们对知识点的记忆，在解题方面给我们带来了很大的帮助。在解题过程中，我们要将集合知识与其他知识融汇贯通，做到举一反三。由于集合知识概念繁多，且各个概念之间关系错综复杂，所以对于我们这些初学者来说会有一些不适应的感觉，我们希望对集合知识中非空真子集与真子集之间关系的研究能够为我们的学习带来一些帮助。

一、非空真子集与真子集的概念

以我们高中讲义内容为例，有M和N两个集合，若集合N中涵盖集合M中任意一个元素，那么集合M就属于集合N，也就称之为集合N的子集。在这样的前提下，如果存在元素χ∈N，且χM，那么这里所说的集合M就是集合N的真子集。这就是我们要说的真子集的定义，而通过学习我们知道，空集是任何集合的子集，那么非空真子集也就是非空集的真子集。在这章内容的学习中，我有过一些疑问，既然空集已经是任何集合的子集了，那空集是不是也就是任何集合的真子集呢？通过深入学习我了解到，一个集合的真子集不包括这个集合本身，这就间接说明空集是任何集合的真子集。接下来我用一个例子进行说明，集合{a，b，c，d}的子集包括空集，由于空集中不包含任何元素，所以空集和集合{a，b，c，d}本身不同，所以空集称得上是{a，b，c，d}的真子集。再举一个详细一点的例子：集合M={a，b}，集合N={b，c}，集合X=空集，集合Y={a，b，c，d，e，f}，我们可以直接得到M和N是Y的真子集，而且M和N都有元素存在，也就是说M和N都是Y的非空真子集，集合Y的真子集虽然包括集合X，但是集合X是空集这一事实并不能改变，所以集合X只是集合Y的真子集而不是非空真子集。虽然非空真子集与真子集的概念不容易区分，但只要认真梳理还是有迹可循的。

二、非空真子集与真子集之间的关系

在掌握了非空真子集与真子集各自的概念之后，我开始对两者之间存在的关系进行探究，我发现，一个集合的非空真子集也就是这个集合真子集的非空子集，这说明真子集和非空真子集之间存在着密切联系。确切的说，真子集之中包含着非空真子集，在解题过程中，我们往往需要将题中已知条件和课本上的概念相结合，从而摸索出解题思路，这就意味着这些包含与被包含的关系需要我们理清。在非空真子集与真子集之间，有一个不容忽视的概念即空集，我记得在上课过程中，老师讲了这样一道有关空集的问题，已知集合A={a|a2+（q+2）a+1=0，q∈R}，集合B={a|a>0}，若集合A与集合B的交集为空集，求实数q的取值范围。解题时，老师告诉我们要把交集为空集当做切入点，如果两个集合相交为空集，那么可能有三种情形，其一是集合A本身就是一个空集，这种情况下a就是一个不存在的数，也就是说a2+（q+2）a+1=0无解，那么此时就可以求出q的取值范围；其二是集合A中只包含一个元素的情况，也就是方程a2+（q+2）a+1=0有且只有一个解的情况；其三是集合A 中有两个小于等于0的元素，通过对三种情况得出的q的范围进行综合，我们得出实数q的取值范围是q>-4。通过这道题我们可以看出，空集在解题过程中有可能起到决定性作用，而非空真子集和真子集虽然只是集合知识中的两个小概念，但是其重要性也不容忽视，所以我们要熟练掌握每一个概念。

结语：

高中数学一直是我们高中学习中的大问题，在进入高中以后，由于课程的增多以及难度的增大，使我们在各科的学习过程中都存在力不从心的感觉。在数学的学习过程中，我紧紧跟随老师的步伐，逐渐从高中数学中体会出不一样的乐趣，通过课上的学习以及课后查阅资料，我对非空真子集和真子集的关系进行了探讨，希望能够更加牢固的掌握集合知识，从而为今后的数学学习打下基础。

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