考虑流动性和组合再平衡风险的股票质押率优化模型

石玉山，刘海龙，胡友群

(1. 上海交通大学安泰经济与管理学院, 上海 200030; 2. 上银基金管理有限公司, 上海 200122)

1 引言

2015年第三季度，中国A股市场出现大幅调整，其中一个重要原因就是在去杠杆过程中，众多杠杆型投资者遭遇了强制平仓和保证金追加引发的恶性循环，继而导致证券公司、银行、信托等质权人的股票质押业务面临巨大风险。例如，截至2015年9月底，沪深两市共有300余次股票质押临近或跌破警戒线，这意味着许多质权人出借的大量本金难以足额收回。在此背景下，有效降低质权人风险，抑制市场恐慌情绪蔓延，从而避免类似极端事件，合理与灵活设定股票质押率显得尤为重要。

关于股票质押率的具体定价方法，目前理论界和实务界通常只是简单依据标的资产的波动率来进行定价。以国内证券公司为例，其在股票质押业务开展过程中，一般都是根据所谓的“五四三”标准来对不同个股的质押率进行设定，即波动率最小的主板股票质押率被设为50%，中小板为40%，而波动率最大的创业板股票质押率为30%。另外，欧洲清算所的股票质押率计算方法也以波动率作为核心参数，见下式：

其中，置信水平p=0.99，Zp为标准正态分布的p分位数；T为质押合约的期限长度；σ为质押标的日波动率。鉴于该模型在业界已被广泛使用，故其将作为本文所构建模型的比较基准，用于判断模型有效性。

虽然现有基于波动率预测的股票质押率定价方法易于操作，但事实上远未能考虑质押人遭遇现金流危机(即可能无法足额偿还质押款)后可能引发的一系列风险，如流动性风险，以及由杠杆和交叉持股联合作用而导致的“组合再平衡”风险。其中，流动性风险指的是一旦质押人无法按照质押合约规定及时且足额向质权人偿还借款，就将不得不卖出证券账户中的其他股票来补充现金流(用于追加保证金)，但由于市场流动性有限，质押人的卖出行为往往会产生市场冲击效应，使得这些股票的市场价格受到一定程度的压制。另外，关于“组合再平衡”风险，指的是在上述市场冲击效应作用下，由于质押人和杠杆型投资者之间一般存在交叉持股关系，这时杠杆型投资者的资产组合价值也会随之降低，以致杠杆型投资者必须根据其杠杆管理策略重新调整其资产组合，即卖出部分组合资产，然而这又可能进一步压低质押标的价格。至此不难想见，若股票质押率设置不合理，无法反应上述流动性风险和组合再平衡风险，质权人将面临较大的潜在本金损失风险，无法实现其股票质押业务的风险-收益平衡。

为了构建一个不仅考虑质押标的波动率风险，也能兼顾上述流动性风险及组合再平衡风险的股票质押率定价模型，本文对现有相关研究做了详细梳理，代表性理论成果如：

(1)关于股票质押率的定价方法，大致可分为两类。一类是在估计质押人的违约概率基础上确定质押率，在质押贷款业务中，质押人的违约概率越高，那么质押标的对应的质押率越低，合理设定质押率对质权人的信用风险缓释具有重要作用；另一类则是基于VaR方法估计在质押期内股票价格变化的最差情形，进而确定质押率以期覆盖股票的价格风险。

上述两种模型虽然都可用于确定股票质押率，但实务界目前使用最普遍的是VaR方法，其基本思想为：质权人通过参考一段时期的股票价格变动，在一定置信水平下估算质押期内股票的最大损失，进而再转化为质押率，如式(1)便是欧洲清算所根据VaR方法设定的回购质押率定价模型。

(2)关于流动性风险的刻画，目前尚无针对股票质押业务中该风险的具体评估方法，但在股票研究领域中，对流动性风险的相关研究成果已较为成熟，其中流动性风险度量指标已颇成体系。根据刘向丽等[9]梳理，流动性度量指标可分为单维指标和多维指标两类。比较而言，单维指标更常见，如Amihud[10]利用绝对股票收益对交易金额的比率来度量流动性风险；Corwin等[11]则基于日内最高价和最低价信息，利用买卖价差来衡量流动性风险。多维指标一般是若干单维指标的综合，如Engle等[12]提出的基于价格久期的流动性指标，便是深度与即时性相结合的多维指标。然而由于流动性维度间存在冲突，多维测度难以涵盖全部单维测度，目前多维流动性指标尚无统一标准。

值得一提的是，市场冲击效应作为流动性“深度”的测度之一，目前在理论界也是备受关注的领域，并被广泛应用于资产定价。具体而言，市场冲击效应即是指令流对预期股票价格变化所产生的影响。最早关于市场冲击效应的研究可追溯至著名的Kyle[13]的λ模型，之后大量学者在其基础上作了进一步的理论深化，如Obizhaeva[14]、Bershova等[15]和Kyle等[16]分别提出了线性形式、平方根形式以及立方根形式的市场冲击模型。在后文研究中，市场冲击模型将是重要的质押率定价工具，而关于该模型具体形式的选择，下一节将做详细说明。

(3)关于组合再平衡风险的刻画，目前亦无针对股票质押业务的相关方法，但不妨借鉴现有系统性风险的代表性研究成果，这是因为二者都与杠杆、交叉持股密切相关。例如，Adrian等[17-18]指出若杠杆型投资者是连续盯市的，资产价格的变化会反映其净财富价值变化，并对其他投资者的资产负债表调整有所反应，那么杠杆就具有很强的顺周期性；换言之，杠杆是潜在的风险反馈的根源，反馈途径则是通过银行、证券公司等对其资产负债表进行再平衡。Corsi等[19]探讨了交叉持股对系统性风险的影响，在股票流动性不足的情况下，组合再平衡将导致银行的行为和股票价格之间存在多维反馈效应，进而显著增加其波动率和相关性，更重要的是，它将导致价格收益从一个平稳动态转换到非平稳状态。Caccioli等[20,21]则研究了交叉持股和杠杆对金融传染的放大效应，认为系统性风险发生的概率取决于杠杆和市场冲击程度，且在危机期间动态去杠杆能够放大这种风险。李政等[22]对杠杆交易与股价间互动关系进行了考察，研究发现两者具有显著的短期双向引导关系，杠杆交易发挥着助涨助跌的作用。韦立坚等[23]研究发现融资杠杆在投资者的技术分析策略和适应性转换动态资产配置作用下，对市场泡沫的形成与破灭会起到推波助澜的作用，并引起个股板块联动和流动性缺失传染，最终导致连锁强行平仓，从而引发流动性踩踏危机。

上述研究为本研究提供了宝贵的理论借鉴，在此基础上，下文拟基于“市场中存在杠杆型投资者”以及“杠杆型投资者和质押人之间交叉持股”等若干贴近实际的假设，展开如下工作：首先，根据现有流动性风险模型，刻画质押人面临现金流危机时卖出股票行为对市场产生的冲击程度；然后，分析杠杆对投资者资产组合价值的影响机理，以及交叉持股对质押标的的正反馈效应，继而综合考虑杠杆和交叉持股对股票质押率的影响，构建一个兼顾波动率、流动性和组合再平衡风险的股票质押率优化定价模型；最后进行模拟和比较分析。(注：本文中的杠杆指的是投资者在购买股票时所使用的投资杠杆，如融资融券业务亦或是配资中的杠杆)

概括而言，本文的主要创新点包括：第一，刻画了股票质押业务利益相关者被迫卖出股票行为所产生的市场冲击效应，并将其确立为影响股票质押率的关键因素；第二，通过考虑杠杆和交叉持股的事实，分析了杠杆型投资者资产组合再平衡行为对质押标的价格变化的正反馈效应；第三，构建了一个兼顾波动率风险、流动性风险以及组合再平衡风险的股票质押率优化模型，有助于质权人在不同市场环境下更合理、灵活地设定质押率。

2 基本假设

根据本文研究目的，提出如下基本假设：

(1)股票收益率服从算术布朗运动

(1)

其中，Pi(0)表示股票期初价格；Ψi～N(0, 1)；σi为股票日波动率，μi为漂移率，且根据Almgren等(2000)[24]的经典假设，投资者无法掌握未来股价运动的有效信息，故μi可等于零。于是设

(2)

同时，由于在后文的股票质押率定价模型推导过程中，涉及的均是股票价格变化率，故为简化推导过程，不妨令Pi(0)=1。

(2)关于流动性风险的刻画，本文假定指令流对股票价格产生的市场冲击是线性的。这里指令流指的是，投资者在股票交易过程中向交易所提交的包含交易规模、交易方向(买或卖)等信息的报价单。下面对该假设做数学说明，以作为后文模型构建的重要基础。借鉴Obizhaeva(2008)，对于任意股票i，当指令流的交易规模为orderi股时，股票i的预期价格变化率为：

(3)

其中，Pi(t)是股票i在时刻t(即指令执行之后)的价格，t∈(0,T]的价格，Pi(t-)是股票i在时刻t-(即未执行指令时)的价格，Vi为股票i的日均成交量，右边的符号取决于交易方向(正为买，负为卖)。令Qi≡orderiPi(t-)表示指令流价值，就有：

(4)

(3)本文研究涉及的市场参与者有三类：一是质权人，即股票质押业务的资金融出方，主要指具有相关业务资格的证券公司、银行和信托机构；二是质押人(主要为上市公司)，即股票质押业务的资金融入方，这类投资者的特征是，其所融入的资金不会用于继续购买股票，而是用于新项目投资；三是杠杆型投资者，这类投资者的特征是，无论他们以何种方式(如质押、或是配资等)融入资金，该资金都是用于继续投资股票。

另外，本文未考虑非杠杆型投资者对市场的影响，原因有三：一是本文主要目的在于分析杠杆对股票质押率的影响；二是这类投资者在面对价格变化时的行为方式难以刻画，例如即使股票大幅下跌，这类投资者可能仍保持原仓位；三是这类投资者事实上也可以看被视作杠杆型投资者的特例，即λ=1的情形。

(4)质押人和杠杆型投资者之间有交叉持股的联系。那么结合假设(3)，本文所指的杠杆型投资者是指与质押人持有相似资产组合、且在买卖股票时存在杠杆的投资者。

(5)质押人的违约(即无法及时且足额偿还质押款)时间在股票质押合约有效期内服从均匀分布。

3 模型设定

在股票质押业务中，质权人、质押人和杠杆型投资者之间的利益关系如图1所示。

图1 股票质押业务参与者利益关系示意图

上述示意图中，市场参与者包括质权人、质押人以及杠杆为λ的投资者。另外，有如下几点需做特别说明：

(1)该市场中有两种股票，其中“股票1”属于抽象化概念，代表除质押标的外任何一只或多只股票，“股票2”则为质押标的。

(2)杠杆型投资者与质押人之间的交叉持股关系为：前者通过杠杆方式持有股票1和股票2上的投资比例分别为a1和a2；后者在股票1和股票2上的投资比例分别为b1和b2。其中ai，bi∈[0, 1]，i=1, 2，这表示本文不考虑资产组合中存在融券卖出的情形。因此，本文所说的交叉持股关系事实上是指投资者所持有相似的投资组合。

(3)在签订合约时，质押人将数量为(1-h)b2的股票2进行质押，质押期限为T，其中未质押比例h∈[0,1)。然后，质押人要么在合约到期时向质权人归还全部本息，要么在到期前的某一时刻τ违约，τ∈(0,T]。具体地，若质押人在时刻τ发生违约，便只能通过出售其资产组合中除质押标的外的头寸以偿还质押款，即质押人不仅要出售未被质押的hb2股质押标的(股票2)，还要出售b1股股票1。基于假设(2)和(4)，这种市场冲击势必会影响杠杆型投资者的资产组合价值，使得其需要依据自身投资策略以及杠杆管理要求来调整其资产组合，从而造成质押标的的价格进一步下降。这就是本文在股票质押率定价中所要考虑的组合再平衡风险。

3.1 质押人违约对股价的影响

基于假设(2)中给出的市场冲击模型，本节将刻画质押人在时刻τ违约后股票1和股票2的价格变化。令Pi(τ-)表示质押人违约前股票i(i=1表示股票1，i=2表示股票2)的价格，若质押人违约，根据式(3)，此时股票1在质押人违约前后的价格变化为P1(τ)-P1(τ-)=-P1(τ-)σ1(b1/V1)，那么在[0,τ]期间，股票1的价格变化ΔP1(τ)为:

ΔP1(τ)≡P1(τ)-P1(τ-)+P1(τ-)-P1(0)

(5)

其中，V1代表股票1日均成交量。类似地，股票2在[0,τ]期间的价格变化为:

(6)

3.2 杠杆型投资者组合再平衡对股价的影响

质押人违约对股价产生影响后，杠杆型投资者会被迫进行组合再平衡，从而进一步影响股价，本节拟对该影响进行刻画。

借鉴Adrian和Etula[18]的研究思想，质押人违约后，若杠杆型投资者不改变原杠杆水平λ，那么杠杆投资者需调整的股票市值为(λ-1)ΔVA(τ)。其中，ΔVA(τ)表示杠杆投型资者在进行组合再平衡前的总资产价值变化；如果ΔVA(τ)<0，意味着杠杆型投资者对所持股票执行的是卖出指令；反之则是买入指令。在[0,τ]期间，ΔVA(τ)计算公式为

(7)

为实现上述组合再平衡目标，设杠杆型投资者需买卖的股票1和股票2的价值占总调整价值(λ-1)ΔVA(τ)的比例分别为f1(τ)和f2(τ)，显然：f1(τ) +f2(τ)=1。具体而言，f1(τ)和f2(τ)取决于质押人在时刻τ违约后形成的股票1和股票2价格，即:

(8)

下面令τ+表示τ之后的即时时刻，那么根据式(4)，质押标的的价格变化量为:

(9)

再将式(6)、(7)代入式(9)，进一步得到:

(10)

(11)

于是，质押标的的价格变化率为:

(12)

同时，股票1的价格变化率为:

(13)

观察式(12)，可以进一步发现：杠杆型投资者和质押人的期初资产组合配置结构(即vA,1&vA,2，vB,1&vB,2)，以及股票1和股票2的流动性不足程度(即l1和l2)也是影响质押标的价格变化的重要因素。

综上所述，股票质押率不仅受波动率影响，还与股票流动性风险以及组合再平衡风险密切相关，其中组合再平衡风险体现在两个方面，一是杠杆型投资者的杠杆水平，二是杠杆型投资者和质押人的期初资产组合配置结构。

3.3 股票质押率的解析解

基于第3.1和3.2节，本节将推导出股票质押率的解析解。

由于质押标的价格变动率是股票质押率定价的关键参数，故为简化接下来的推导过程，令:

于是式(12)可变为:

(14)

式(14)中，质押标的价格变动率ΔP2(τ+)显然服从十分复杂的分布形态，这将导致基于该参数直接进行股票质押率定价模型推导异常困难。针对该问题，有两种处理方法：

一种是利用Monte Carlo方法模拟质押标的价格P2(τ+)的运动路径，详见第4节。

另一种是将f2(τ)近似为常数(即杠杆型投资者对于组合再平衡中关于调整股票1和股票2仓位的比例结构是固定的，如:

情形1：质押人违约时，质权人不必卖出质押标的，只需考虑组合再平衡对质押标的价格变化的影响。股票质押率H1应该满足:

α=Prob0{-ΔP2(τ+)>1-H1}

(15)

(16)

其中，VaRRebalance表示质权人通过设置质押率可覆盖的损失，Zα为标准正态分布的α分位数。由于违约时间τ在(0,T]上服从均匀分布，故在(0,T]上对式(16)取平均，就可得到股票质押率的最终计算公式:

(17)

情形2：质押人违约时，质权人卖出质押股票，即质权人认为即使质押人已卖出除质押头寸外的股票以偿还质押借款，依然可能无法足额偿还，此时质权人的卖出行为会进一步造成市场冲击。股票质押率H2应该满足:

(18)

由于P2(τ+)=P2(0)+ΔP2(τ+)=1+ΔP2(τ+)，式(18)等价于:

(19)

(20)

进一步地，在(0,T]上对式(20)取平均就可得到股票质押率:

(21)

4 模拟分析

如上节所述，根据式(14)求股票质押率的方法有有两种，一是将f2(τ)近似为常数(前文已做详细说明，不再赘述)；二是利用Monte Carlo方法模拟质押标的价格P2(τ+)的运动路径，以获得股票质押率的数值解，并分析相关参数(包括投资者杠杆水平、流动性冲击水平)对股票质押率的影响。鉴于情形1和情形2在定价思想上本质一致，因此本节仅给出情形2的模拟结果，下面给出具体实现过程。

首先，模拟步骤包括：① 生成违约时间τ的随机数。根据假设(5)，τ在质押期限(0,T]上服从均匀分布；同时，设T∈(0, 250]。② 根据式(2)，模拟(0,τ)期间质押标的价格的时间序列。③ 根据式(8)、(12)和(13)，模拟时刻τ之后质押标的的价格。④ 重复步骤①～③10000次，计算这10000次质押标的价格与初始价格之差，并取绝对值，记绝对值序列的99%分位数为VaRp。⑤ 最后，股票质押率=1-VaRp。

然后，对参数设定和取值进行说明。根据本文股票质押率定价模型推导过程以及分析目的，相关参数可以分为两大类：

一类是关键参数，包括投资者杠杆水平λ和流动性冲击水平h。对于这两个参数，本文取值将尽可能贴近真实情况，比如对于投资者杠杆水平，在2014-2015年上半年“牛市”中，进行配资的投资者杠杆水平5-10倍的情况屡见不鲜，2倍的杠杆基本算是起点，因此下文在进行情景分析时，分别取值λ=2、5和10，来代表三种情形；对于流动性冲击水平，本文模型已显示它需要通过质押人的未质押比例这一参数来间接反映，而通过观察我国上市公司质押情况(具体数据可查阅WIND)发现，大股东质押80%甚至更多股份并不稀奇，质押50%股权也较常见，不过更多的质押比例处于20%至30%之间，因此在进行情景分析时，分别取值未质押比例h=20%、50%和80%，来代表相应的三种情形。

另一类是非关键参数，包括投资者持有资产的日波动率、资产间的相关系数、持股比例等。这些参数在现实中可以有无限种组合，且在股票质押业务开展实务中，可以直接根据历史数据获取。因此，依据实务经验，本文将选择主观取值，但不会脱离实际。具体地，令① 股票1和股票2的日波动率分别为σ1=5%和σ2=2.5%，日均成交量均为Vi=1；② 股票1和股票2价格的相关系数ρ=0.5；③ 杠杆型投资者在股票1和股票2的投资比重分别为a1=0.5，a2=0.5；质押人在股票1和股票2的投资比重分别为b1=0.4，b2=0.6。

至此，给出两种情形下的股票质押率模拟结果：第一，当未质押比例h=0.5时，在合约有效期内，不同杠杆水平λ下股票质押率的变化路径；第二，当杠杆水平λ=5时，在合约有效期内，不同未质押比例h下股票质押率的变化路径。

模拟结果见图 2，通过观察可以发现三个重要特征：

第一，与仅基于波动率算得的股票质押率相比，本文定价方法给出的股票质押率水平显然更低，这说明若不考虑质押标的流动性风险和组合再平衡风险，股票质押率的确会偏高。

第二，杠杆型投资者的杠杆水平越高，股票质押越低。这意味着金融系统的杠杆越大，其脆弱性越高，即使股票价格小幅下跌，投资者之间的组合再平衡行为也可能导致质押标的价格进一步下跌。

第三，质押人的未质押比例(或者说相应的流动性冲击)越高，股票质押率越低。这一关系的核心机制在于，在质押人和杠杆型投资者存在交叉持股情形下，质押人违约所导致的市场冲击程度越大，质押标的价格下跌幅度越大。

此外，针对两个关键参数(杠杆水平和流动性冲击)，本文进一步做了双因素敏感性分析(见图3)。结果同样显示：在其他条件不变的情形下，质押率与杠杆和流动性冲击均呈负向关系。

图2 股票质押率模拟结果注：图中，no-rebalance是仅基于波动率预测的股票质押率。根据各国现行股票质押监管法规，股票质押率通常存在最大值，如我国将其设为0.6。

图3 基于杠杆和流动性冲击的双因素敏感性分析

为使本文模拟分析结果尽可能反映实际，下面再考虑实务中通常存在的一个问题，即在金融市场中，由于市场坏消息的冲击，股票价格往往存在跳空现象。因此，可在式(1)中加入向下的跳跃过程，以模拟坏消息对股票价格的冲击，于是就有:

(22)

其中，dπ(γ)度量的是泊松跳跃的增量过程；γ为单位时间的跳跃频率；Jt表示跳跃幅度，假定其服从正态分布Jt～N(μt,δ2)。不失一般性，令δ2=1；μt=-b0Pi(τ-)，即跳跃幅度的均值与价格的水平值负相关。相关参数设定和取值为：b0=0.01；γ=0.2，即当模拟频率为天时，平均每5天价格发生一次跳跃，跳跃幅度的期望值为价格的减函数，其他参数设定同前文。

相应地，前文模拟步骤②应变为：“根据式(22)，模拟(0,τ)期间质押标的价格的时间序列”，其他步骤则不变。模拟结果见图4。

对比图2和图4不难发现：杠杆型投资者的杠杆水平、质押人的未质押比例依然与股票质押率呈负相关关系；同时，当考虑金融市场中的负向冲击所导致的股价跳空现象时，最优股票质押率应进一步降低。

图4 考虑股价跳空现象后的股票质押率模拟结果

5 结语

通过对2015年“股灾”反思，有效降低质权人风险，抑制市场恐慌情绪蔓延，从而避免出现类似极端事件发生已成理论界和实务界共识。在此背景下，合理与灵活设定股票质押率显得尤为重要。结合对现有股票质押率定价方法的分析，本研究认为，股票质押率除受波动率影响外，还与股票流动性风险以及组合再平衡风险密切相关，其中组合再平衡风险反映在杠杆型投资者的杠杆水平，以及杠杆型投资者和质押人的资产组合配置结构两个方面。

基于上述认识，本文首先借鉴Obizhaeva流动性风险模型，刻画了质押人面临现金流危机时卖出股票行为对市场产生的冲击程度；然后分析杠杆对投资者资产组合价值的影响机理，以及交叉持股对质押标的的正反馈效应；最后综合考虑杠杆和交叉持股对股票质押率的影响，构建了一个兼顾波动率、流动性和组合再平衡风险的股票质押率优化定价模型。概括而言，本研究主要贡献有两点：一是弥补了现有股票质押率定价模型只考虑波动率风险，而忽视流动性风险和组合再平衡风险的不足，可有效提高定价精度，从而有效解决杠杆过高、交叉持股情况下，股票质押率的更合理调整问题；二是通过模拟进一步验证，杠杆型投资者的杠杆水平、质押人的流动性冲击与股票质押率显著相关，且当考虑金融市场中的负向冲击所导致的股价跳空现象时，最优股票质押率应进一步降低。

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