浅谈椭圆切点坐标的四种求法

关丽娜 钟德光 郑伟庭

摘要：本文通过一道例题给出求解椭圆切点坐标的四种方法，并讨论了在具体情况下，使用哪种方法是最适合的

关键词：判别式法；柯西不等式法；辅助角公式法；同一法

对高考数学全国卷题型的研究毫无疑问是一项有意义的工作作为二选一选做题的参数方程，其题目难度总体来说不是很大但是对于下面这种即将讨论的关于求椭圆切点坐标的题目，学生往往无从下手或者用较复杂的方法解答因此，笔者对这种题型的解法进行了一番探究，总结出了解决这类题目的四种解法以下展示出来，供大家交流讨论.

题目已知椭圆C∶x23+y2=1，直线l∶x+y=16，求椭圆C上一点P ，使得它到直线l的距离最小.

分析1通过画图，可以看出当椭圆C上一点P所在的切线与直线l平行时，此时的点P到直线l的距离是最大或者最小的因此，此题可以采用以下的判别式法.

方法1（判别式法）当椭圆C上一点P所在的切线与直线l平行时，点P到直线l的距离是最大或者最小的.因此，可设此时P点所在切线l′的方程为x+y=λ.

联立x23+y2=1.x+y=λ （1）（2）

消去y并且整理可得：

4x2-6λx+3λ2-3=0（3）

由于l′与椭圆C相切，因此Δ=（-6λ）2-4×4×（3λ2-3）=0.

解得λ=2或者λ=-2（舍去）.

将λ=2代入（3）式解得x=32.

将λ=2与x=32代入（2），解得y=12.

因此点（32，12）为所求.

分析2由于此处涉及到最值问题，因此可以考虑柯西不等式，其中求点的坐标对应于柯西不等式的取等条件因此有了以下的方法2.

方法2（柯西不等式法）设椭圆C上任意一点为P（x，y），则P到直线l的距离为d=x+y-162.

由柯西不等式可得（x23+y2）（3+1）≥（x+y）2，

即-2≤x+y≤2.

从而有-18≤x+y-16≤-14.

所以d的最小值为-142=72.

等号成立当且仅当x3y=31，x+y=2.

解得x=32，y=12.

因此点P（32，12）为所求.

分析3由方法2的解答过程中可以看出，所求问题最后转化为求x+y-16的最值因此可以从椭圆的角参数方程出发，利用辅助角公式进行求解.

方法3（辅助角公式法）由条件可设椭圆C上任意一P（3cosθ，sinθ），（θ∈[0，2π）），则P到直线l的距离为

d=3cosθ+sinθ-162=2sin（θ+π3）-162≥72.

当且仅当sin（θ+π3）=1时等号成立.

此时解得θ=π6.

此时点P（3cosθ，sinθ）坐标为（32，12）.

分析4由于椭圆x2a2+y2b2=1上任意一点P（x0，y0）的切线方程为x0xa2+y0yb2=1，若可以求出P点处具体的切线方程，不妨设为Ax+By+C=0那么这两条直线是同一条直线，因此必有Ax0a2=By0b2=C-1，从而可求出切点P（x0，y0）的坐标，这就是同一法为了达到这个目的，首先需要探索直线与椭圆相切的一般判别式.虽然这个结果已经有了，但是这里我们采用仿射变换去证明此结果，即以下的一个引理.

引理若直线Ax+By+C=0与椭圆x2a2+y2b2=1相切，则有A2a2+B2b2=C2.

证明利用仿射变换x=ax′y=by′ 将椭圆x2a2+y2b2=1变为单位圆x′2+y′2=1.此时直线Ax+By+C=0变为直线Aax′+Bby′+C=0.

由于仿射变换保持点的结合性，故单位圆x′2+y′2=1与直线Aax′+Bby′+C=0相切.

因此可得CA2a2+B2b2=1.

整理即有A2a2+B2b2=C2.

通过这个引理，我们很容易得到以下方法4.

方法4（同一法）易知当椭圆C上一点P（x0，y0）所在的切线与直线l平行时，点P到直线l的距离是最大或者最小的.

因此，可设此时P点所在切线l′的方程为x+y=λ.

因为直线l′与椭圆C相切，

因此由引理可得32+12=λ2.

解得λ=2或者λ=-2（舍去）.

故l′的方程为x+y=2.

又因为P（x0，y0）的切线方程为x0x3+y0y=1，

因此有1x03=1y0=21.

解得x0=32，y0=12.

即点（32，12）为所求.

從以上讨论可知，如果这类题目以解答题出现，那么用柯西不等式求解不失为一个好方法；若为填空或者选择题，那么用同一法是第一选择.endprint