多状态系统的生产计划与预防性维修计划的集成优化

，，

(1.沈阳飞机工业(集团)有限公司工程技术中心，辽宁 沈阳 110034；2.东北大学机械工程与自动化学院，辽宁 沈阳 110004)

0 引言

Berrichi[1]指出如果过分强调生产，忽视对系统中设备的维护，会使设备可用度下降，导致系统的生产能力不足。将生产和维护策略在一起进行研究就可有效降低这种矛盾所带来的负面影响。Aghezzaf[2]和Chung[3]对集成优化的优势做了具体分析，指出生产和维修相互协作是制定生产系统生产计划的关键所在。研究变量为预防性维修时机、生产安排或者将二者集成在一起考虑[1]。Budai[4]将这些模型分为3类：经济批量生产模型[5]；带缓冲的批量生产模型[6]；生产、维修优化模型[7-8]。Weinstein[9]提出分层的方法研究生产和维修集成优化的问题，利用3阶段方法得出了系统的可用度和效益之间的关系。Aghezzaf[10]建立了单台设备集成生产和预防性维修模型，维修方式采用小修和预防性维修，预防性维修后部件恢复如新。通过算例验证了集成优化模型的优势。Nourelfath[11]利用遗传算法求得多状态系统的集成优化问题，打破了之前该领域研究中设备只有运行与故障两种状态的局限。Nourelfath[12]采用非周期预防性维修策略优化单台设备的生产和维修集成问题，并与周期维修策略进行了对比。Chung[3]对生产时间进行优化，其中考虑多个厂家生产调度问题，并将设备的不完全维修模型与完全维修模型进行了对比。

通过以上文献发现目前研究有两大缺陷，①研究主要围绕单台设备进行研究，对于多台设备组成的系统研究很少；②在设备层面往往假设只有两种状态，工作或失效，无法描述设备随工作时间而产生的性能退化。因此，主要从解决这两个方面问题入手，将多状态设备系统的维修计划和生产计划集成在一起进行研究，建立多状态、多设备的系统优化模型；维修策略采用小修与非周期的预防性维修相结合的策略，在设备失效时采用小修恢复其使用状态，不影响其故障率和已工作时间，而在预防性维修后，设备的工作时间清零，故障率也随之发生变化，只有通过更换才能使设备恢复如新。

1 问题描述

在生产线配置的问题研究中，通常以串并联系统建立系统建模。与以往假设设备为两状态的情况不同的是，假设系统中设备均为多状态设备，这样能够更好描述随工作时间增加设备的磨损退化情况，同时可以提供设备工作的中间状态，为不完全维修做好准备。每一台设备j(j=1,2,…,n)均有不同的生产效率gj，设备在不同状态下生产效率是相同的，但故障率函数是不同的。因此，生产线是有K个生产生产效率GSk的多状态系统，其中，GSk表示系统在第k(k=1,2,…K)个状态下单位时间内系统生产零件的数量。系统可以生产P种不同的零件。在给定的计划生产区间H，包含T个生产周期。每一个生产周期t(t=1,2,…,T)均为固定时长L。每个生产周期t结束的之前对于每种零件p(p∈{1,2,…,P})要生产dpt件。每个生产周期t又可细化为S个子生产周期，在生产子周期τts(s=1,2,…,S)开始的时候可以对设备进行计划性维修，如果在τts未安排维修则不进行计划维修。设备j的维修计划如图1所示。

图1 设备j的维修计划

对于每个设备均可采用有计划的维修和事后被动维修。计划维修包含预防性更换和不完全的预防性维修。其中更换使设备恢复到初始状态；而不完全维修虽然使设备的有效工作时间恢复到零，但是故障率函数变“陡”了。如图2所示，图2中设备的故障率随工作时间增长而变大，到达一定值后首先对设备进行预防性维修，维修后设备的工作时间回到零点，但故障率提升速度变大，到达预定的预防性维修次数后，处于经济或者生产能的要求，对设备进行更换，更换后设备恢复到初始状态。当设备故障时，对其采用事后维修，或称为小修，只能使设备恢复到故障前的状态。

图2 故障率曲线

每种设备的故障均会对系统造成不同程度的时间和费用上的消耗。在时间间隔[0,t]内，设备j的故障次数为Mj(t)。维修的总费用的期望CM就是计划生产区间H内设备的更换费用、预防性维修费用和事后维修费用的总和。系统在计划生产周期t内的生产效率为GSt，表示这段时间内的平均生产效率。

2 系统模型

目标函数是非线性的费用公式，包含储存费用，延期交货罚金，生产费用，设备调试费用和设备维修费用CM(Z)。该系统的决策变量为在生产周期t结束时库存量Ipt；延期交货量Bpt；生产周期t生产零件数量xpt；生产决策变量ypt，当ypt=1表示生产周期t生产零件p，当ypt=0表示不生产零件p；Z表示系统维修决策，包含预防性维修决策和更换维修决策。

CT=

(1)

等式约束条件为：

xpt-Ipt+Ip(t-1)+Bpt-Bp(t-1)=dpt

(2)

不等式约束条件为：

(3)

(4)

其它约束条件为：

①xpt，Ipt和Bpt均为整数。

②ypt为二值变量，并且Z为三值矩阵。

③Bp0=0，Ip0=0。

其中，hpt表示生产周期t结束时，零件p库存的单件费用；bpt表示生产周期t结束时，零件p缺货的单件补偿；cpt表示生产周期t中，零件p生产的单件费用；spt表示生产周期t中，生产零件p的配置费用。

3 维修模型

系统的总维修费用CM(Z)和系统的生产效率GS与其所采用的维修计划相关。

3.1 故障率模型

对于设备j，预防性维修和设备更换可在每一个维修周期τts开始的时候执行，预防性维修为不完全维修。维修模型采用Nakagawa模型，即维修后设备使用时间归零，而故障率函数提升速度增加，如式(5)所示。

λk(t,a)=ak·λ0(t)

(5)

a>1表示设备的预防性维修效果k次预防性维修之后，设备的故障率是初始故障率的ak倍。

3.2 计划维修矩阵

图3 计划维修矩阵结构

图4给出了一个具体的计划维修矩阵，其中包含4台设备、5个计划生产周期和2个计划维修子周期。对于设备2在第4个和第10个计划维修周期开始时执行预防性维修，在第6个预防性维修周期开始时对设备进行更换。

图4 计划维修矩阵实例

3.3 计划维修费用

(6)

其中，j=1,2,…,n；I(.)为指示函数。

(7)

(8)

j=1,2,…,n。

(9)

αj表示设备j的维修效果；rj是设备j的初始故障率函数。系统的维修费CM(Z)用是所有设备的更换费用、预防性维修费用和事后维修费用的总和。

(10)

其中，||·||表示矩阵范数，该范数的定义为矩阵中所有元素绝对值之和。CR为事后维修费用矩阵;CPR为预防性维修费用矩阵;CMR为事后维修费用矩阵。

3.4 设备可用度

根据相同的原理，计划维修周期τts内设备j的可用度计算公式为：

(11)

trj表示设备j更换时间；tprj表示预防性维修时间；tmrj表示事后维修时间。

然而，为了计算成产周期t内系统生产效率GSt，需要得出此段时间内各台设备的可用度，需要注意的是一个生产周期包含了S个计划维修周期，式(12)给出了计划维修周期的可用度计算方法。

(12)

设备在工作效率上只有两种状态，即正常运行和停机维修，工作效率分别为{gj,0}，对应的概率为：

(13)

3.5 系统生产率

GSt表示生产周期t内的平均生产效率，可利用加权平均数的方法求得

(14)

Gs和Ps分别表示系统性能状态值和其相对应的概率;M表示系统状态个数。

系统中设备是相互独立的，因此，系统在生产周期t上的工作能力Gs和其相应的概率Ps可利用UGF来进行求解。利用UGF法进行系统可靠性分析所需的基本信息是：设备性能分布和系统性能结构函数，即

gi,pi,1≤i≤n;Ф(G1,G2,…,Gn)

(15)

n表示系统设备数。任意设备i的性能Gi都有mi种离散状态，各状态能力值及相应的概率可通过有序集合对gi={gi1,…,gimi}、pi={pi1,…,pimi}描述。Φ表示系统性能结构函数，该函数建立了系统性能与各设备性能之间的关系。用UGF描述设备的性能分布为：

(16)

UGF指数表示设备性能状态值，对应的系数表示设备性能处于该状态的概率。

为评估全系统的性能分布Gs，Ps，需求出系统性能状态值及与各状态值所对应的概率，具体表现为各组成设备所有可能的状态组合，系统性能状态值可通过性能结构函数Φ求出。当系统各设备状态统计独立时，各设备状态组合的概率就等于所对应的各设备状态概率的乘积，由此对描述不同设备性能分布的设备发生函数作复合运算，即得到描述系统性能分布的系统发生函数为：

U(z) =ΩΦ(U1(z),…,Un(z))

(17)

ΩΦ为复合算子符。运算时，元件发生函数各项系数相乘，而指数的运算规则由性能结构函数Φ确定。Φ的定义严格基于系统各设备的相互关系和物理特性，具体形式灵活多样。

4 求解方法

生产计划模型是非线性整数模型，其中决策变量包括两部分：系统维修策略矩阵Z和每一个生产周期t上每种部件p的预计产量xpt、库存量Ipt、缺货量Bpt和生产决策变量ypt。在给定维修策略矩阵Z的情况下，可求得此系统的维修总费用CM(Z)和系统平均生产率GSt。在此基础上，模型退化为一个线性的整数批量生产问题。变量xpt，Ipt，Bpt和ypt可以利用整数规划的方法一并求出。

优化方法采用内外两层的结构，外层采用GA方法，搜索合适的维修策略矩阵Z；内层采用yalmip工具箱求解批量生产问题，内层的约束条件需要利用维护策略Z求得CM(Z)和GSt。总体优化程序框图如图5所示。

图5 优化程序框图

5 算例

5.1 算例参数

算例中每个生产周期包含2个计划维修周期，即每过2个星期设备就可以进行相应的计划维修(假设每个月包含4个星期)。每个生产周期需求产量如表1所示。由3台多状态设备组成，设备的配置如图6所示。相应的设备特征、寿命分布以及维修效果如表2所示。生产区间为4个月，包含了4个生产周期，即每个生产周期长度为1个月。

表1 零件需求

图6 3台多状态设备组成的串并联系统

(18)

表2 设备特性

设计生产计划所需要的费用参数如表3所示。

表3 生产费用

5.2 结果分析

在为期4个月的生产活动之中，系统的总的生产和维护费用为122 561元。系统维护策略如表4所示。设备1在第2个和第3个生产周期的第2个维修周期进行预防性维修；设备2在第3个生产周期的第1个维修周期进行预防性维修；设备3在第2个和第4个生产周期的第2个维修周期进行预防性维修。系统的生产计划如表5所示。系统在各个生产周期的总产能分别为196，189.5，191.7，187.1。在第1个周期中计划生产96个A种零件，100个B种零件。第2个生产周期产品需求量为95+100=195个，而实际产能仅为189.5，为应对第2个生产周期产能不足的情况，对两种零件分别提供1个和5个库存。

表4 系统维护策略

表5 生产计划

5.3 对比算例

算例中设备维护是非周期性的，而工程实际中，为了提高管理效率，大多数情况会采用周期性维修。分别采用维修间隔为4周、6周和8周3种情况与算例进行对比。

算例与对比算例均未更换设备，因此设备的更换费用为零。由于在生产结束后生产任务总是完成的，零件的生产费用是固定的。并且在每个生产周期中每种零件均有生产，所以设备调试费用也是相同的。因此，系统总费用只与预防性维修费用、库存费用和缺货罚金相关。各分项费用对比结果如表6所示。从对比结果可以看出随着维修间隔增长，预防性维修费用逐步减少，而事后维修费用逐步增加，也就是说事后维修次数逐步增多，导致系统可用度下降，使零件缺货现象开始出现。如表6中，维修间隔延长到8周时，缺货罚金为2 550元，虽然总费用较其它两个维修间隔来说比较划算，但当缺货赔偿变大的时候，这种优势可能就会消失甚至称为一种劣势。因此，如何合理调节维修间隔是十分有意义的。从数据上来看，采用不等周期维修要比周期维修更好的在预防性维修费用和事后维修费中找到平衡。

表6 费用对比

6 结束语

提出一种多状态系统生产计划与维修计划的集成优化方法。在生产计划方面主要考虑每个生产周期中不同零件生产个数、多生产零件库存个数、缺货个数以及生产不同零件时系统的调试次数。在维修计划方面主要考虑了预防性维修、更换和事后维修对于设备可用度和系统生产效率的影响。从设备使用退化的角度出发，将不完全维修模型引入到生产计划与维修计划集成的优化问题之中。采用内外两层优化模式对此问题进行寻优，外层利用GA方法探索维修计划，内层利用yalmip求解批量生产问题。通过算例验证，优化的维修计划与周期性维修计划相比，能更好地在设备维修与产品生产上取得平衡，节省更多的运营费用。

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