虚源法研究马丢-高斯光束的传输

吴 琼， 任志君， 李晓东， 杜林岳， 毛和法， 胡海华

(1.浙江师范大学 浙江省光信息检测与显示技术研究重点实验室,浙江 金华 321004;2.浙江师范大学 信息光学研究所 浙江 金华 321004)

0 引 言

1987年，美国罗彻斯特大学的Durnin等[1-2]首次提出了具有实用价值的“无衍射光束”的概念，产生的第一种无衍射贝塞尔光束是一种中心光斑直径很小且不随传播距离而改变的光束.随后，Gutiérrez-Vega的研究小组[3]指出，波动方程的无衍射解有4种形式，分别对应直角坐标系下的余弦光束(平行光模型)、极坐标系下的贝塞尔光束、抛物坐标下的抛物线光束及椭圆坐标系下的马丢光束.

相对于直角坐标系下的余弦光束模型和极坐标系下的贝塞尔光束模型，椭圆坐标系下的马丢光束模型在数学上更为复杂，光学形态也丰富得多.因此,马丢光束在实际中有新的用途，比如,马丢光束可以用于光学格子的产生等[4-5].马丢光束包括第一、第二类奇型和第一、第二类偶型分布.与余弦函数和贝塞尔函数相同，4种类型马丢函数也不能平方可积，因此,理想马丢光束只能被看作是一个理论模型.实验上能产生的马丢光束常需要用高斯函数剪切得到，这就是马丢-高斯光束[6-7]，它具有准无衍射传输特性.因此，实际中人们更多关注的是马丢-高斯光束的产生和传输特性.

衍射问题是光学中极难处理的问题之一，极少的衍射问题能求得严格解.为研究光束的传输，在非傍轴近似理论中,虚源法是由Deschamps[8]提出的，被Felsen的研究小组[9]进行系统的发展，用来精确求解亥姆霍兹方程，进而精确研究光束在自由空间非傍轴传输的一种方法.截止目前，虚源法[9]已被用于研究几种具有实用价值光束的传输特性，比如余弦-高斯光束[10]、贝塞尔-高斯光束[11]、加速艾里光束[12]、厄米-拉盖尔-高斯光束[13]等，都得到了很有价值的研究结果.然而，对于椭圆坐标系下的马丢函数，由于其数学上的复杂性，至今还没有研究者能够运用虚源法来研究马丢-高斯光束的传输特性.基于光波传播的独立性原理和叠加性原理，利用数学上的级数展开，复杂光束可展开为一系列简单光束的叠加.据此，笔者以第一类奇型马丢-高斯光束为例，将级数展开与虚源法相结合，推导得到了这种光束传输的积分表达式.利用类似的处理方法，还分别得到了第二类奇型马丢-高斯光束和第一、第二类偶型马丢-高斯光束的积分表达式.这一组积分表达式为精确认识马丢-高斯光束的传输特性提供了方便.

1 用虚源法产生奇型马丢高斯光束

马丢光束有4种类型.在椭圆坐标系下，根据马丢函数的定义，马丢光束的4种类型分别为：第一类2m+2阶奇型马丢光束se2m+2(η,q)Jo2m+2(ξ,q)，第二类2m+1阶奇型马丢光束se2m+1(η,q)Jo2m+1(ξ,q)；第一类2m阶偶型马丢光束ce2m(η,q)Je2m(ξ,q)，第二类2m+1阶偶型马丢光束ce2m+1(η,q)Je2m+1(ξ,q).其中，m=1，2，3,….表达式中，ce和Je分别代表偶型角向和径向的马丢函数，se和Jo分别代表奇型角向和径向的马丢函数[6-7,14-18].

椭圆坐标系在数学上较难理解.既然光波在自由空间中可独立传播和叠加，那么笔者就采用与文献[6-7]相同的数学手段，利用数学级数展开的方式，将椭圆坐标系下的马丢函数展开为极坐标系下贝塞尔函数的形式来处理马丢-高斯光束.两类奇型马丢函数可展开为:

(1)

(2)

2类偶型马丢函数可展开为:

(3)

(4)

本文以第一类2m+2阶奇型马丢-高斯光束为例进行研究.为产生马丢-高斯光束，设标量波函数为E(r,θ,z).光束的传输需满足波动方程沿z方向传播的马丢-高斯光束，在z=0处，有

(5)

式(5)可以看作第一类奇型马丢-高斯光束传输的边界条件.

在圆柱坐标系下，假定有无穷多个位于z=zex且强度为Sex(2l+2)的电环，环半径为l=lex.在z>0空间产生第一类奇型马丢-高斯光束，该光源的标量波函数可写为

E2m+2,2l+2(r,θ,z)=M2m+2,2l+2(r,z)sin[(2l+2)θ].

(6)

在式(5)所示的边界条件下，式(6)满足非齐次亥姆霍兹方程

(7)

根据极坐标系下的傅里叶-贝塞尔变换

(8)

(9)

(10)

(11)

求解式(11)可得

(12)

在z>0处，为了获得马丢高斯光束，必须满足式(5)给出的z=0处的边界条件.即在傍轴近似下，式(12)需满足如下的边界条件:

(13)

由式(13)给定的边界条件可得到式(12)中的参量zex,rex和Sex(2l+2)分别为:

(14)

(15)

(16)

将式(14)～式(16)中的zex,rex,Sex代入式(10)中，得到M2m+2,2l+2(r,z)的积分表达式

(17)

将zex,rex,Sex代入式(12)，也可得到M2m+2,2l+2(r,z)的傍轴近似解

(18)

式(18)中，M2m+2,2l+2,p中的下标p表示傍轴近似.相对于式(17)的非傍轴传输的积分解，式(18)所给出的傍轴近似解析解形式更为简单.在要求不是特别严格时，在满足傍轴近似的条件下，式(18)能更简单地处理马丢-高斯光束的传输问题.

(19)

通过式(19)即可精确计算第一类奇型马丢-高斯光束在自由空间传输时的光场分布.如当r=0时，通过式(19)可求出第一类奇阶马丢-高斯光束的轴上的光场分布

(20)

图1 第一类奇型马丢-高斯光束的轴上光强分布

很多时候，光束传输时的轴上光场分布最值得人们关注.故用于计算轴上光场分布的式(20)有一定的理论价值.

根据虚源法推导得到了马丢-高斯光束在自由空间传输的积分表达式，笔者数值模拟了第一类奇型马丢-高斯光束的轴上光强分布,具体如图1所示.从图1中可以看出，当传输距离较小时，非傍轴光强分布的结果与傍轴理论计算的结果有明显差异;随着传输距离的增加，傍轴的近似计算结果与考虑校正项的非傍轴计算结果越来越接近.说明根据衍射理论来研究光束的近场传输时，利用非傍轴理论才能得出正确的结果.在研究光束的远场传输时，利用傍轴理论的近似法才能得到相对正确的研究结果.

笔者用相同的方法得到第二类奇型马丢-高斯光束在自由空间传输的精确积分表达式为

(21)

第一类偶型马丢-高斯光束在自由空间传输的精确积分表达式为

(22)

第二类偶型马丢-高斯光束在自由空间传输的精确积分表达式为

(23)

综上所述，式(21)～式(23)即为另外3种马丢-高斯光束传输的积分表达式，相应的傍轴近似解和轴上光场分布解也可相应得到，限于篇幅，本文就不再赘述.

2 结 论

相对于贝塞尔光束、艾里光束等(准)无衍射光束，马丢光束最大的特点是具有多种光学形态.这种多样性并不仅仅体现在马丢光束本身就有4种形态，而且它的4种形态的每一种光学形态都随着椭圆离焦量的改变而改变.因此，马丢光束的构造和产生在实际的科学研究中具有更大的实用性和灵活性.

但在数学上描述马丢光束的马丢函数也更加复杂，这大大阻碍了人们研究马丢光束簇的传输特性.为解决这一光学难题，笔者根据光波传播的独立性原理和叠加性原理，在数学上将椭圆坐标系下的马丢函数展开为极坐标系下的贝塞尔函数.在贝塞尔函数关系的基础上，利用虚源法精确推导了4种马丢-高斯光束的积分表达式.该组积分表达式为精确、定量地研究马丢-高斯光束的传输特性奠定了理论基础.另外，本文采用级数展开(对应光波传播的独立性原理和叠加性原理)与虚源技术相结合的手段，为研究其他复杂光束的传输问题提供了很好的方法与思路.

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