“全景式”构建植树问题模型的实践与探索

陈爱兰

摘 要：“植树问题”是新课程改革后，小学数学教材新增的一块内容，因为相对独立，经常被教师选作教研课的内容，也有多位名师曾展示过这节课，研究众多。怎么样让教师的思考转变成学生的思考和体验，而不是为了标新立异？怎样“全景式”构建植树问题的模型？以三次实践为线索展开，呈现所作的探索与思考。

关键词：植树问题；全景式；问题模型

“植树问题”本质上是关于点数、间隔距离、间隔数三者关系的问题，在日常生活中比较常见，但不同“植树方法”的模型有细微差别，因而学生学习起来普遍感到比较困难。原来安排在人教版实验教科书四年级下册“数学广角”学习时，教材按直线上种树、封闭线上种树两大类，“两端都种”“两端都不种”“只种一端”和“方阵问题”四小类分课时教学。2011年《义务教育数学课程标准》修订后，“植树问题”调整到五年级上册“数学广角”单元，删除了“方阵问题”，代之以“封闭种树”，基本还是按两大类、四小类一步一小类“分镜头”式教学。教材这样编排，学生理解起来是容易多了，知识的联系却不紧密，学习的实践性、探究性不强，体验不足，要记忆的东西却不少，因而遗忘也很快。

有没有可能，通过素材重组，改变教材的呈现顺序和分类方法，在一节课的时间和空间里，使植树问题的所有模型得以简洁建构？适逢机遇，笔者进行了实践与探索。

一、“植树问题”教学尝试及带来的思考

【实践与探索】2017年10月13日，互助共同体上课在自己学校和兄弟学校进行了多次磨课。下面是第三次上课的课堂表述：

（一）课堂描述

1.情境引入，揭示课题

呈现三个情境：从中间剪断纸条；大桥柱子与铁链；圆形水池栏杆。引导画图表示。

归结并揭题：总距离÷间隔距离=间隔数

板书：植树问题

2.问题探究，建立模型

（1）呈现第一层次探究问题：学校要美化校园，需在20 m长的线上每隔5 m植一棵树，可以怎样植树？想一想后用简洁的方法画一画…

尝试后展示几个典型信息，引导思考：同样是4个间隔，有什么不同？

用纸条直观演示化封闭为开放，引导学生初步分成三种基本情况。

（2）呈现第二层次探究问题：如果是在25 m、30 m、35 m…的线上，每隔5 m植一棵呢？还是先画一画，再说一说。

引导学生通过观察思考，借助数据计算验证，得出三个基本模型。

3.初步运用，体会关键

师：解决植树问题，你觉得需要注意什么？

4.反思学习，课堂小结

师：这节课，我们共同研究了什么？你有什么感想？

（二）教学反思

第一层次为初步研究，由于受到引入环节暗示，探究方向更为明确，表示探究成果抽象度更高了，利用实物画图的只占班级学生，至少能画出一种植树方法的占。第二个层次为深入研究，经过第一次研究后的分类和思考，的学生有选择地很顺利完成了画图、小组讨论等活动。通过材料重组，只用了两个关联问题引导学生去探究，就得到了植树问题所有信息，打破了教材3课时的编排方式，避免了同一层次学习过程短时间内过多地简单重复。而且教材例题被改编成练习，更高凸显了“审题方法”“植树情况与相应文字描述转换”的感悟。探究已经比较得法，为什么模型的提炼和理解还是让部分学生迟迟作不出反应？假如数据大了怎么办？如何“全景式”构建？

（三）改进对策

1.关注植树问题包含的数学思想

本次实践中，模型建立产生短暂卡壳现象，在于有时根据表象建模，激烈易产生偏差，这里“两端都种”“两端都不种”导致的理解歧义。所以教学要由凭借表象和数据计算建立模型，过渡到依据内在思想理解、归纳规律。这个内在规律就是“一一对应”思想。

2.素材组织利用还需改进和深挖潜在价值

实践中，应该说几个素材在承载知识、驱动探究、运用巩固等方面起到了不同的作用，还是比较适切的。好的素材，如果没有一条线索把它们串联起来，也不过是散乱的“珍珠”。串联植树问题相关材料是问题的数学本质，而非“种树”。需要思考的是，怎么提供素材，怎么为学生建构模型、体验方法、感悟思想做好服务，怎么更好地现实“全景整合”。

【几次教学实践触发的思考】“植树问题”需要怎么“创新地教”。

（1）抓住知识前情，关注学生起点。改版前和改版后的人教版教材，都是直接用“校园植树”情境引入的，贴近现实，可离学生的经验并非是最靠近的，而且也不具突破难点的作用。第二次课堂实践的引入情境贴近學情，但是还没有最切合植树问题的知识情境及学生的学习起点。所以，引入应该从学生的学习起点“间隔排列”和知识前情“一一对应”做起。

（2）重组材料，精简模型。仅靠教材的三个例题是有局限性的，模型的外延应该再扩展一些才能丰富模型的内涵。这样就需要重组材料，设计一些任务，让学生合作探究，形成不同的学习资源，引导学生进行分类比较、分析交流，形成植树问题知识的“全景”，从整体出发，建立精简的模型。上面的实践有这样的发展趋势，但还不够，还要创设更大的思维空间。

（3）渗透思想方法，沟通模型。通过两次教学实践，植树问题的几个模型虽然有些变化，通过引导得当，学生完全可以把它们沟通起来，从而使学习产生质的飞跃。很遗憾，两次实践都没有突破。如果再次教学，就需要引导学生体验和经历过程，感悟和理解模型包含的共性东西，以它为统领沟通全部模型，使三个模型再升华为一个数学思想，这就是“一一对应”思想。

二、“全景整合式”构建植树问题模型的构想

基于以上思考，把教学目标设定个为：（1）知识技能上，能感悟并归纳说明三种不同情况的植树棵数和间隔数之间的关系；（2）过程方法上，能凭借数形结合的手段，通过独立思考、观察交流、特点归类等方法，研究发现三种植树问题的模型，感受对应思想；（3）情感体验上，在尝试、思考、交互学习中体验成功感，增强学习自信。

学习总策略设想为：以教材整合重组为手段，通过探究生成资源，改变教材一个课题一个知识点的“小镜头”编排形式，从知识整体出发，把植树问题的几个模型组合在一起，创建一个大背景，形成大思维空间；以实际运用和对应思想为纽带，沟通模型，感悟植树问题的本质。两方面的综合，就是本文所讲的“全景整合式”构建。

“全景式”构建植树问题模型，包含的意思可用下面结构图表示。

三、“全景整合式”构建植树问题模型的实践与探索

【第三次实践与探索】2017年10月28日，互助共同体数学赛课活动。

（一）课堂描述

1.材料引入，明确任务

呈现三个材料，引导学生观察、思考、交流。

（1）□△□△□△□△…□△□△如果□有68个，则△有（ ）个。

师追问：一个□、一个△间隔循环排列，还可以理解成□和△怎样对应？

板书：间隔一一对应

（2）□△□△□△□△…□△□如果□有78个，则△有（ ）个。

（3）如果□有88个，则△有（ ）个。

师：谁能再解释一下，△为什么要少1个？

师：和前面的排列形式不同，还是一一对应的吗？

过渡，揭示课题。

2.引导研究，建立模型

（1）第一层次问题研究：某校组织各班植树绿化校园，在植树中他们遇到一个问题。需要在20 m长的线上植树，每隔5 m植一棵，植得有形些，可以怎么植？需要多少树苗？

学生尝试用自己的方法画图，教师巡视并收集信息。

反馈学生信息，引导评价。

导思：同样是4个间隔，有什么不同？补充板书：总距离÷间隔距离=间隔数。

学生归纳“两端都种，两端都不种，只种一段，种成圆形”4种情况。

师追问：种成圆形就是首尾相连封闭种树，要是展开来，你觉得和之前哪种最有联系？

学生猜测后，把直线植树、封闭植树的四种情形合并分类为三种基本类型。

师追问：封闭种，只能种成圆形吗？

（2）第二层次问题研究：如果是在25 m、30 m、35 m…的线上，每隔5 m植一棵，可以怎么植？需要多少棵树苗？

学生选择一种栽法操作，教师巡视收集信息，反馈整理，小组讨论后全班交流。

抓住时机，指个别同学上黑板用彩色箭头表示“一一对应”。

师追问：如果距离再长一些，还有这样的规律吗？

3.初步运用，感悟关键

呈现编自例题的问题，引导学生独立练习：（1）同学们在长100 m的小路一边植树，从头到尾每隔5 m栽一棵。一共要栽多少棵树（2）大象馆和猴山之间相距60 m。要在两馆间的小路两旁栽树，相邻两棵树距离是3 m。一共要栽多少棵树？

（3）小明家门前有一条35 m的小路，要在路的一旁每隔5 m栽树，起点不栽，终点要栽。一共要栽树多少棵？

引导感悟：想一想，解决植树问题，需要先求出什么？关键要弄清什么？

4.实践运用，体会本质

呈现练习：边默读边思考，这里什么是“间隔”？什么是“树”？问题怎么解决？

（1）5路公共汽车的行驶路线全长12 km，相邻两站之间路程都是1 km。共设有几个车站？

（2）马拉松比赛全程约42 km。平均每3 km设置一处饮水服务点（起点不设，终点要设），全程一共有多少处这样的服务点？

5.反思总结：这节课你学到了什么？我们是怎么研究的？

（二）教学反思

首先，这次实践不再用情境引入，而是选择数学特征更强的素材，即三角形和正方形的有序排列。有直线排列，也有封闭排列，有刚好对应的，也有不完全对应的。与第二次实践比，优越之处在于：既隐含有“植树”的不同方式，又蕴含着“对应思想”。这样就做到了知识前情、学习起点和方法指导兼顾。让学生通过观察、比较和思考，受到暗示，有所感悟，为即将展开的探究作了铺垫。

其次，延续了第二次实践中利用大问题分层推进探究的做法，但在讨论中有意识地引导学生从“一一对应”角度建立模型，有效消除了“两端都种”要“+2”“两端都不种”就“-2”的尴尬。也避免了通过数据计算验证模型的局限性，对模型本质的揭示更清晰。通过追问，想象“更长距离植树”具有同样规律，扩大了概念的外延，思维的空间更大了，模型构建更科学。通过操作观察、小组合作、讨论交流，用课堂生成的资源，自然地呈现了植树问题模型“家族的全体成员”，知识整体性更强。

再次，全课从感受思想方法开始，到经历对应思想建构模型的过程，然后感悟运用关键，接着增加了生活中的“植树问题”拓展体验，整个过程形成“植树问题”学习的“全貌”。通过学习学生不但知道了植树问题是与“种树”有关的问题，而且感悟到了生活中“非种树”的问题，只要是与间隔距离、间隔数和点数有关，它也是“植树问题”。这就由一个问题的学习上升为一类问题的学习，所以，植樹问题模型的建立是“全景整合式”的，比前几次实践更完整、更合理。

（三）改进对策

1.从新旧知识联系的角度出发，借助“平均分”融会贯通总距离、间隔距离和间隔数之间的关系

“每隔x”植一棵，和经验中的“平均分”联系最紧密，植树问题和平均分都有“不重复、不遗漏”的相同含义在里面。

2.从构建大问题、增强思考性角度看，可以和实践中那样还是放在探究环节

关键是，当组织反馈后，挖掘学生信息时，教师不要越位，尽量减少“教”和“给”的痕迹，把握契机，利用适时追问，引导学生就素材进行再思考，解决机制的感悟问题。

总之，无论是关注过程还是材料重组，无论是学法指导还是放手探究，无论是感悟关键还是体验思想方法，前提都是站在知识的整体角度去把握教材，研究学习资源的内在线索，在精简高效思想指导下串小问题为“全景式”。关键还是要针对合适的教学目标，充分挖掘材料的多重价值和相互联系，从而让系列素材暴露出学习内容的数学本质。

事实上有许多课的教学都存在与“植树问题”类似的情况，怎么继承和创新尤为重要。比如：“乘法口诀”教学、“大数的认识”教学、“三角形特征”教学、“用字母表示数”教学、“方程与解决问题”教学、“长方体和正方体的认识”教学、“分数加减法”教学、“分数乘法”教学等。只要我们认真分析，深入思考，勇于实践，就有可能实现某块知识的“全景式”教学，就有可能做出少许的自我超越。

编辑 段丽君