具有高聚类系数的加权分层组织结构网络

陆肜肜

摘 要：现实生活中大多数的组织结构网络都体现层次性。本文通过迭代的方式构建加权分层网络以模拟组织结构网络。该网络每条边都被赋予了权重以更好地描述个体之间关系的紧密程度。通过计算，根节点的度分布服从幂律分布，表明该模型具有无标度性质。同时该网络具有极高平均聚类系数0.7624。可见，层次化结构有利于促进整体的凝聚力，组织结构网具有层次性是合理且必然的。

关键词：应用数学 无标度网络 聚类系数 组织结构网络

中图分类号：TP393 文献标识码：A 文章编号：1672-3791（2018）12（a）-0-02

在自然界里许多网络上下层之间都遵循一个固定的组织原则，因此所抽象出来的网络结构里广泛出现层次结构。以部队的三三制编制原则为例，即3个班编为1个排，3个排又编入1个连，依此类推。

分层网络首次被Barabási等人提出[1，2]，其网络的特点是具有层次结构，其生成方式是复制迭代。现实中很多的网络都具有层次性的，例如社交网络中每个人的朋友圈、科学家论文合作网、企业的组织机构网中都存在层次结构。在全国的教育网中，一班级由几十人组成，一个年级由十几个班级组成，一个学校由几个年级组成，由此往上类推到一个市、一个省乃至全国。下面通过观察部队的班、排、连、营、团、旅、师、军的分层组织结构，来构建分层网络的模型。不难发现，在一个班内的班长和自己士兵联系紧密，同一班的士兵之间联系紧密。排长与每个班的士兵联系紧密。然而某班士兵与其他班士兵联系并不紧密。根据这些特征，本文的分层网络结构如下，初始网络G（1）是由1个根节点及6个边节点组成，根节点和边节点之间有连边，边节点们之间互相有连边。第二步，复制6个G（1）放在G（1）周围，并且令复制的6个G（1）中的边节点与初始网络G（1）的根节点相连。接下来一直重复第二步直到形成满意的模型，见图1。因此，分层网络可以很好的模拟组织结构网的层次性。

为了更好地描述网络中节点与节点之间的关系，加权网络的思想随之产生。近年来复杂网络的研究也是普遍围绕加权网络进行的。加权网络是指每条连边上都被赋予权重ω的网络，权重ω表示连边的意义或容量[3]。由于互联网中每个路由器所接受的数据流量是不相等的，科学家合作网中学者之间合作的次数与深度也不尽相同，社会关系网中个体与个体的联系紧密程度是不同的以及航空网络中两个机场间的客流量也是参差不齐的。因此，這些差异都可以用权重 来描述。本文将把加权思想加入分层网络模型中，建立了一个加权分层网络模型，以模拟组织结构网中的层次性。为了描述真实网络中每条连边的重要性且相应于组织结构网的层次结构，新网络中的权重分配也是具有层次性的，如ω=at（t=1，2，3…）。

无标度网络的特点是小部分节点的度很大，而大部分的节点的度很小[4]。网络具有无标度性，这意味着节点的度具有如下性质：p（k）～k-γ，其中γ是度指数。无标度网络具有两个互相矛盾的属性：鲁棒性、脆弱性。该类网络的既具有鲁棒性，即当网络受到随机性攻击，网络的破坏程度很低。其又具有脆弱性，即当网络中的大节点受到蓄意攻击，网络极容易瘫痪。

聚类系数是用于衡量网络中节点之间的凝聚程度的系数。网络的平均聚类系数则是整个网络的所有结点的聚类系数的均值。由此可知，如果一个网络的平均聚类系数越大，那么整个网络的凝聚程度越高。

为了研究该类具有层次性的组织结构网络，本文构建了一个全新的加权分层网络。通过计算其度分布和平均聚类系数，判断其无标度性和内部凝聚力。从而对该类网络进行客观合理的分析和评估。

1 加权分层模型的建立

1.1 初始网络

G（1）表示第1代的模型。G（1）有7个节点，根节点与6个边节点连线的权重为a（a>1），两边节点之间连线的权重为1（见图1）。

1.2 网络的复制生成

G（t）表示第t代的模型。复制6个G（t-1），将复制结构的各自的边节点与原网络G（t-1）的最中心的根节点相连接，且连线的权重都为at，见图1。

1.3 网络的迭代

一直重复第二步骤，直到生成了符合研究现象的模型为止。

2 网络无标度性质的分析

接下来，研究该网络模型的度分布。

当根节点度为时的节点的数目为6·7t-i-1。则

有：

同理，当边节点度为k=i+5时的节点的数目为6i7t-i-1。则有：

由此，得到了根节点的度分布服从幂律分布（见图2）。

由此可见，该网络具有无标度性质，也就具有鲁棒性和脆弱性。这一结果与现实情况相符，具有层次性的组织结构网的随机节点受损对整个网络影响不大。但若攻击者针对度相对较大的节点进行攻击，整个网络将受到致命的打击。从组织结构网的无标度性质来看，层次性是把双刃剑，即网络既稳固坚韧同时又不堪一击。

3 聚类系数

节点i的聚类系数为，其中Ei表示节点i的

所有邻点之间的连边数，而Ki是节点i的度。整个网络的平

均聚类系数为，其中N是网络的大小。平均聚类

系数C体现了网络全局的凝聚力。

由网络迭代过程可知，度为k的根节点的邻点有

条边。则度为k的根节点聚类系数是

。同理，度为k的边节点的邻点有

条边。则度为k的边节点聚类系数是

。

因此，第t代整个网络的聚类系数是：

当t→∞时，

可见，该网络的聚类系数很高。聚类系数体现了整个网络的凝聚程度和紧密性。因此，具有层次性的组织结构网内的各个个体联系得相当紧密。

4 结论

本文构建了一个通过迭代的方式生成的加权的层次结构的模型，用来模拟研究具有层次性的组织结构网。相应于其层次结构，在网络的连边上赋予具有层次性的权重。

通过研究得到新模型的根节点度分布是服从幂律分布的，即该网络具有无标度性质。无标度性质是一把双刃剑，其具有鲁棒性与脆弱性。在网络受到随机攻击时，网络安全。但是其遇到针对大节点的攻击时，网络危险。针对该结论，今后我们研究方向为保持层次性网络的鲁棒性同时削弱脆弱性，优化组织结构网。

同时，研究表明该组织结构网还具有高聚类系数0.7624，即该网络的凝聚力很强。这就进一步表明层次性的组织结构网具有合理性，可以提高工作效率，增强集体的凝聚力。

参考文献

[1] Albert-László Barabási， Erzsébet Ravasz，Tamás Vicsek.Deterministic scale-free networks[J].Physica A， 2001（299）：559-564.

[2] Erzsébet Ravasz，Albert-László Barabási.Hierarchical organization in complex networks[J].Physical Reviewe，2003（67）：026112.

[3] Barrat.The architecture of the complex weighted networks[J].Proc Natl Acad Sci U S A，2004，101（11）： 3747-52.

[4] Barabási，Albert-László，Albert，Réka.Emergence of scaling in random networks[J].Science，1999， 286（5439）：509-512.