对开普勒第二定律教学的多角度分析

段金龙

摘要：开普勒行星运动定律的教学中，其中第二定律（面积定律）是教学难点.针对这个问题，本文尝试从几何、动力学及动能定理三个角度，对开普勒第二定律进行教学分析.

关键词：开普勒第二定律；多角度分析

开普勒行星运动定律的教学中，第二定律（面积定律）最难理解，也是该节的难点.笔者认为，原因可能有以下两点：一、该定律对学生的数学功底有一定的要求；二、学生对“为什么当行星离太阳较近时运行速度快，而离太阳较远时运行速度慢”的原因不清楚.但随着学生所学知识的增多，教师可以有意识地引导学生回过头来用“新”知识解决“旧”难点.本文首先用几何知识证明“行星在近日点速度快，远日点速度慢”，然后分别从动力学和动能定理（引力做功）的角度对此作出解释说明.最后，以对开普勒第二定律的教学处理为例，介绍笔者对教学难点的一贯处理方法，目的在于与广大同行一同探讨教学中存在的此类问题.

一、从几何角度出发，对“行星在近日点速度快，远日点速度慢”的证明

由开普勒第一定律（轨道定律）知，太阳系的八大行星绕太陽运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上[1].现以一颗行星为例，如图1所示，行星与太阳连线的长度r在一段很短的时间△t内来不及发生大的改变，可看做一恒定的半径扫出一个扇形（此处用到了微元思想），由几何知识可知，此扇形面积为

ΔS=12Δl·r（1）

其中，Δl是弧长，r是半径.

由椭圆知识，在近日点A附近平均轨道半径最短，远日点B附近平均轨道半径最长，其它点的平均轨道半径介于二者之间.对于近日点A、远日点B及轨道上的其它任意点P，有：

A

根据开普勒第二定律，扇形面积ΔS相同，故

ΔlA>ΔlP>ΔlB（3）

由于时间Δt极短，行星的速率

v=ΔlΔt（4）

又由于Δt相等，所以

vA>vP>vB（5）

即在椭圆轨道上，行星经过近日点时速度最快，经过远日点时速度最慢；当行星从近日点向远日点运动时，其速率在逐渐减小；当行星从远日点向近日点运动时，其速率在逐渐增大.

二、对“行星在近日点速度快，远日点速度慢”的解释

对于“为什么行星在近日点速度快，远日点速度慢？”，教材在该节中并没有做出回答（其实仅仅根据该节及前面的知识，并不能回答这个问题），但这个问题终究是不能回避的，待时机成熟，教师应不失时机地引导学生来分析这个问题.接下来，笔者分别从动力学角度和引力做功角度，对“为什么行星在近日点速度快，远日点速度慢？”加以解释.

1.动力学角度

开普勒第二定律蕴含着行星与太阳之间的相互作用力沿着它们的连线，但不是很明确.待学生学习了之后的第二节《太阳与行星间的引力》及第三节《万有引力定律》后，这点就会得到证实.在完成第二节和第三节的教学后，往往会再回过头来从动力学的角度引导学生对开普勒第二定律进行再分析.

如图2所示，太阳对行星的引力充当行星所受的合外力，从而使行星产生总是指向太阳的加速度.当行星从近日点向远日点运动时，它的加速度a与速度v成钝角，使得行星的速率逐渐减小；当行星从远日点向近日点运动时，它的加速度a与速度v成锐角，使得行星的速率逐渐增大[2].

2.动能定理角度

当学完第七章之后，学生对“合外力做功，改变物体的动能”有了一定的认识，又可以回过头来从引力做功的角度分析开普勒第二定律，如图3所示.

当行星从近日点向远日点运动时，太阳对它的引力F（即合力）与其运行速度v成钝角，引力做负功，使得行星的动能逐渐减小，速率也随之减小；当行星从远日点向近日点运动时，引力F与速度v成锐角，引力做正功，使得行星的速率逐渐增大[2].

三、反思

开普勒行星运动第二定律在以往的教材中并不做要求，只是以注解的方式出现在正文下边（原因可能就是因为其较难理解），新课标教材把它编排在正文中，与第一定律（轨道定律）、第三定律（周期定律）一起构成了完整的体系.这样的安排固然更科学，但同时也对教师提出了更高的要求.在本文中，笔者曾两度回首，从动力学角度和引力做功角度分析了开普勒第二定律，与起初的几何证明形成了前后呼应（在几何证明中用到的微元思想又与前面章节的化“变”为“恒”形成呼应）.

实践证明，笔者的这种处理方法是适合基础知识比较薄弱的学生的.也就是说，在初次遇到某一难点时，教师不可不管学生的接受能力和认知规律，将难点一步讲到位，结果教师讲得很累，学生也听得很累，教学效果大打折扣.因此，在遇到教学难点时，教师大可不必急于求成，一切还得从学生的实际情况出发，先放一放，等后边时机成熟了，再引导学生从另一个角度来寻求解决问题的途径，也不失为一种方法.笔者通过教学实践，总结得出这一处理方法的好处有：其一，通过多角度、前后呼应的方式使难点得到有效分散，突破起来更轻松，学生容易接受，其积极性也更容易被调动起来；其二，有助于培养学生从多角度看待同一问题，以及从多种渠道寻求解决问题的途径的意识和思维习惯；其三，有利于帮助学生构建起知识体系，通过用“新”知识来解决“旧”难点，能让学生体会到物理学存在知识体系，而不是零散的知识点，使学生感受到物理学的统一美（在本例中，对开普勒第二定律从动力学角度和做功角度的分析能让学生体会到“天上的力与人间的力其实是一样的，都满足相同的规律”）.

参考文献：

[1]张大昌主编普通高中课程标准实验教科书 物理（必修2）[M] 北京：人民教育出版社，201029.

[2]程守洙，江之永普通物理学第五版（修订本）[M].北京：高等教育出版社，2001