高中数学第一课

陈晓明

摘要：高中数学教材的抽象性，难度，深度都有较大提高，因此许多学生变得不能适应，数学成绩直线下降，这样就更加害怕数学，形成恶性循环.作为高中数学教师，上好高中数学第一课，把学生顺利引进高中数学学习的大门至关重要.笔者通过几个方面的论述为学生树立正确的数学观.

关键词：价值；数学美；数学家；故事

在多数人的眼中，数学太难.进入高中以后，因为高中数学教材的抽象性，难度，深度相对于初中教材而言都有较大提高，因此许多学生变得不能适应，数学成绩直线下降，这样就更加害怕数学，形成恶性循环.因此，作为高中数学教师，上好高中数学第一课，为学生树立正确的数学观，把学生顺利引进高中数学学习的大门至关重要.

笔者接下来想通过以下几个方面的介绍来达到目的.

一、数学的价值

数学家克莱因告诉我们，数学是人类最高超的智力成就，也是人类心灵最独特的创作.音乐能激发或抚慰情怀，绘画使人赏心悦目，诗歌能动人心弦，哲学使人获得智慧，科学可改善物质生活，但数学能给予以上的一切.

人类历史上的每一个重大事件的背后都有数学的身影：海王星的发现，哥白尼的日心说，牛顿的万有引力定律，无线电波的发现，爱因斯坦的相对论，孟德尔的遗传学，巴贝奇的计算机，达尔文的进化论，达芬奇的绘画等都与数学思想有密切联系.

目前，数学已经深入到从自然科学到社会科学的各个领域，许多领域已经发展到不懂数学的人望尘莫及的阶段.数学不仅在科学推理中具有重要的价值，在科学研究中起着核心的作用，在工程设计中必不可少.

学习数学，还因为数学具有重要的教育价值.

首先，数学的抽象性帮助我们抓住事物的共性和本质，同时，数学的抽象性使得數学问题的解决伴随着困难.在解决数学问题的过程中，使学生体验到挫折和失败，而这正是砥砺意志打磨心理品质的绝好时机.愈挫愈勇，百折不挠的良好心理素质不会在温室中形成.如果学生在学校里没有尝尽为求解问题而奋斗的喜怒哀乐，那么数学教育就在一个重要的地方失败了.

其次，数学赋予知识以逻辑的严密性和结论的可靠性.数学的严密性和精确性可以使学生在将来的工作中减少随意性.英国律师要在大学中学习许多数学知识，并不是律师工作要多少数学，而是出于这样一种考虑：经过严格的数学训练可以使人养成一种独立思考而又客观公正的办事风格和严谨的学术品格.数学教育是培养学生诚信观念的重要渠道之一.在数学课上形成的诚信观是持久的，根深蒂固的.

再次，数学是思想的体操.进行数学推导和演算是锻炼思维的智力操.这种锻炼能够增强思维本领，提高思维能力.

数学不仅仅是一种工具，它更是一个人必备的素养.它会影响一个人的言行、思维方式等各个方面.一个人，如果他不是以数学为终生职业，那么他的数学素养并不只表现在他能解多难的题，解题有多快，数学能考多少分，关键在于他是否真正领会了数学的思想，数学的精神，是否将这些思想融会到他的日常生活和言行中去.

数学还有另外的作用.数学家狄尔曼说：“数学能集中、强化人们的注意力，能够给人以发明创造的精细和谨慎的谦虚精神，能够激发人们追求真理的勇气和信心，数学更能锻炼和发挥人们独立工作精神”.

数学已成为现代人的基本素养.

二、数学是美的

英国数学家罗素（Russell，1872-1970）认为：“数学，如果正确地看它，不但拥有真理，而且也具有至高的美，正像雕刻的美，是一种冷而严肃的美，这种美不是投合我们天性的微弱的方面，这种美没有绘画或音乐的那些华丽的装饰，它可以纯净到崇高的境地”[1].

长期以来，中学数学教学大都过于强调研究方法与技巧，疏于数学内在美的发掘，尤其高中教学以高考为目的，使得师生疲于应付，他们大多对数学的美视而不见，以致教也显得枯燥，学亦显得乏味，甚至将师生对数学的喜爱磨灭掉了.在数学教学中，教师要充分发掘数学的美育功能，让学生在数学学习中得到美的享受，激发对数学的热情.

美到处都有，对于我们的眼睛，不是缺少美，而是缺少发现.数学美的表现形式具有简单性、统一性、对称性、奇异性等特征，在我们的数学教材中处处都有体现，关键在于我们要去发现数学美.数学中精美的图形，简洁的语言，有趣的数学关系，和谐统一的简单式子，比例结构的匀称协调，命题或定理间的关联相似或对称、奇异，以及一个习题赏心悦目的解法，自觉感受与数学逻辑推导所得结果的反差所带来的惊异等都能使学生获得美的体验，唤起学生美的意识，逐步形成数学美的观念，使美感成为学生提高学习积极性的强烈内部诱因.

例1在学习抛物线y=ax2+bx+ca≠0时，其形式非常简单，它可以描述物体作平抛运动的轨迹，它又可以描述等差数列的前n项和公式c=0，……特别地，b=c=0时，得y=ax2 a≠0，其形式更加简单，它可以描述为自由落体的规律h=12gt2，可以用于计算圆的面积S=πr2，又可以表示为爱因斯坦的质能方程E=mc2……等等，它的图像既可以表示为炮弹的运动路线，又可以刻画浩瀚宇宙中天体的运行轨道……诸多事物的数形变化规律竟统一于如此简单的数学式子中，显示了囊括物质世界的伟力和完美性，真是奇妙无比.这样的境界，这样的完美，没有谁不会被之吸引，没有谁不会产生强烈的学习欲望.

例2证明32+5+32-5=1.

证明令x=32+5+32-5.

则x3=-332+5+32-5+4.

即x3+3x-4=0.

而x3+3x-4=x-1x2+x+4.

因x2+x+4的Δ<0无实根，

则x3+3x-4=0仅有一实根1.

又32+5+32-5是实数，故只能为1.

从本题中可以体会出四种数学美感：一是结论美：两个较复杂的根式，其和却非常单纯；二是证明美：证明过程处处令人感到方法的独特和巧妙；三是形式美：形式具有对称性，即两个根式关于运算符号是对称的；四是隐含的逻辑关系美：返观整个证明过程，即可发现前三种数学美感之间是相互依存的，即本题中的结论美和证法美都来自于对称的形式美，本题如果没有根式关于运算符号的对称美，则两个根式的和就不等于1，证法的独特和巧妙也不会出现.因此，作为数学教师，应注意挖掘数学教材中的数学美因，确定数学审美对象，endprint

呈现数学美特征，让学生参与、体验数学审美过程，展示数学“过程美”（动态美），实现主观与客观的统一，形成数学美感.

例317世纪的雅各·伯努利（1655-1705）对对数螺线进行了深入研究，发现这种曲线经过多种变换后仍然为对数螺线.例如对数螺线的渐屈线和渐伸线都还是对数螺线.自然对数螺线的极点至其切线的垂线的轨迹，也还是对数螺线.以极点为发光点，经对数螺线反射后得到无数条反射线，与所有这些反射线相切的曲线，仍然是对数螺线.对数螺线放大或缩小后的性质丝毫不变，只是位置有所变化而已.雅各·伯努利深为这种数学美所眷恋，据他的遗嘱，在他的墓碑上镌刻上一正一反两条对数螺线，并附以颂词：“虽然变化了，但我依然如故！”.

难怪20世纪最伟大的数学家希尔伯特把数学比喻为“一座鲜花盛开的园林”，他鼓励我们去寻幽探胜，去向人们介绍这些奇景秀色，去共同赞美它！

三、数学离我们很近

生活中有许多问题的解决，渗透了数学思想方法.如司马光砸缸→逆向思维，曹冲称象→换元法，道旁李苦→反证法，鲁班发明锯→特殊与一般……

在自然界，人们发现到处都有数学.

蜜蜂蜂房是严格的六角柱状体，它的一端是平整的六角形开口，另一端是封闭的六角菱锥形的底，由三个相同的菱形组成.组成底盘的菱形的钝角为109度28分，所有的锐角为70度32分，这样既坚固又省料（最值问题：用料最省，容积最大）.

丹顶鹤总是成群结队迁飞，而且排成“人”字形.“人”字形的角度是110度.更精确地计算还表明“人”字形夹角的一半――即每边与鹤群前进方向的夹角为54度44分8秒！而金刚石结晶体的角度正好也是54度44分8秒！是巧合还是某种大自然的“默契”？

壁虎在捕捉昆虫时，总是沿着一条数学上的螺旋曲线奔跑的.

蜘蛛结的“八卦”形网，是既复杂又美丽的八角形几何图案，人们即使用直尺和圆规也很难画出像蜘蛛网那样匀称的图案.

冬天，猫睡觉时总是把身体抱成一个球形，这其间也有数学，因为球形使身体的表面积最小，从而散发的热量也最少.

真正的数学“天才”是珊瑚虫.珊瑚虫在自己的身上记下“日历”，它们每年在自己的体壁上“刻画”出365条斑纹，显然是一天“画”一条.奇怪的是，古生物学家发现3亿5千万年前的珊瑚虫每年“画”出400幅“水彩画”.天文学家告诉我们，当时地球一天仅219小时，一年不是365天，而是400天.

在自然界，树的一枝上各叶片按螺旋形上升的距离刚好按黄金比排列，因为这种排列叶片的受光效果最好.从而可启发建筑师设计出使房间接受阳光最充足的新颖高楼大厦.

气象学家洛伦兹提出一篇论文，名叫《一只蝴蝶拍一下翅膀会不会在德克萨斯州引起龙卷风？》，讲述了南美洲亚马逊河流域热带雨林中一只蝴蝶偶尔扇动了几下翅膀，所引起的微弱气流对地球大气的影响可能随时间增长而不是减弱，甚至可能在两周后在美国德克萨斯州引起一场龙卷风.他论述某系统如果初期条件差一点点，结果会很不稳定，因而提出这个惊人的问题.他把这种现象称“蝴蝶效应”.“蝴蝶效应”是现代數学分支“控制论”和“混沌理论”等研究的对象.

四、数学家的故事

数学家并不是一群躲在象牙塔内冥思苦想、不食人间烟火的怪人，他们除了智力过人以外，也和我们一样，有着世俗的欲望和追求，经历着常人的喜悦和苦恼.

数学界的诺贝尔奖“菲尔兹奖”镌刻在奖章上的格言掷地有声：“超越人类极限，做宇宙主人”.奖章正面上希腊数学家阿基米德的头像让人想起了他的名言：“只要给我一个支点，我就可以撬动地球”.公元前287年，阿基米德出生在意大利半岛南端西西里岛的叙拉古.在父亲的影响下，他从小热爱学习，善于思考，喜欢辩论.他用数学研究力学和其他实际问题.保护叙拉古战役中的机械巨手和投石机等就是最生动地例子，有力地证明了“知识就是力量”的真理.在亚历山大城求学期间，他经常到尼罗河畔散步，在久旱不雨的季节，他看到农人吃力地一桶一桶地把水从尼罗河提上来浇地，他便创造了一种螺旋提水器，通过螺杆的旋转把水从河里取上来，省了农人很大力气.它不仅沿用到今天，而且也是当代用于水中和空中的一切螺旋推进器的原始雏形.有一次叙拉古国王对杠杆的威力表示怀疑，他要求阿基米德移动载满重物和乘客的一般新三桅船.阿基米德叫工匠在船的前后左右安装了一套设计精巧的滑车和杠杆.他让国王牵动一根绳子，大船居然慢慢地滑到海中.群众欢呼雀跃，国王也高兴异常，当众宣布：“从现在起，我要求大家，无论阿基米德说什么，都要相信他！”.

高斯是举世公认的最伟大的科学家之一.高斯于1777年4月30日生于德国不伦瑞克一个贫困的农民家庭，在他的少年时代对他影响最大的是他的舅舅，一个自学成才的棉缎工人.因为他经常教给幼年高斯一些知识，这对于少年高斯的成长起到了很大的作用.由于家庭生活贫困，高斯的父亲靠打短工维持家庭生计，并不打算让高斯上学以节省家庭开支.有一件事打动了父亲让儿子得以上学.一天晚上，劳动一天的父亲计算薪金账目，年少的高斯在爸爸身边玩耍，爸爸算了很长时间总算才完，不料小高斯在一边说：爸爸算错了，结果应该是多少多少.核对一遍后，果然小高斯算得对，父亲异常惊喜，决定送七岁的高斯去上学.正十七边形的尺规作图法这一世界悬而未决的问题在1796年被年仅19岁的格丁根大学一年级学生高斯解决了.人们为了纪念这个伟大的发现，高斯去世后，人们在高斯纪念碑上刻上一个正十七边形.

1707年4月15日，欧拉诞生于瑞士巴塞尔城近郊.1766年，59岁的欧拉仅有的左眼失明（欧拉的右眼早在1735年已失明），因而他生活的最后17年是在全盲中度过的，尽管如此，他在这些年的成果不亚于以前，欧拉凭着超人的才智、渊博的知识、惊人的记忆力，坚持科学研究，用口授给子女记录的办法又发表专著多部，论文数百篇.1783年9月18日，欧拉一边给小孙女讲故事，一边进行着有关天王星轨道的数学计算，突然，手中的烟斗落地了，76岁的欧拉安祥地睡了，再也没有醒来，正如法国数学家康多塞（Condorcet）所说：“他停止了计算，也停止了生命”.欧拉一生命运多舛，他结过两次婚，先后有13个孩子，其中有8个夭折，欧拉常常一边抱着婴儿一边写论文.1771年圣彼得堡的一场大火，将欧拉的藏书及部分研究成果化为灰烬，但欧拉在遭受各种巨大不幸的逆境中，仍坚忍不拔地奋斗拼搏，直到生命的最后一刻.欧拉在科学事业上的卓越贡献以及他的高尚品质，为世人所敬仰.在他晚年的时候，欧洲几乎所有的数学家都尊他为老师，人们还把他称为“数学界的莎士比亚”，不少数学史专家把欧拉与阿基米德、牛顿和高斯并列为有史以来最伟大的四位数学家.endprint

借助这些榜样的力量激发我们同学学习高中数学的斗志.

五、耐人寻味的数学史

今天的所有数学原理是人类长期社会实践与研究的结晶，里面包括了许许多多人的贡献.通过把数学史的一些重要内容与高中数学相关知识学习联系在一起，可以提高学生学习数学的兴趣、加深他们对于数学基本概念、基本思想的理解与掌握，同时可以对他们的人格进行培养.比如数学学习中，一般人都会碰到一时解不开的题目.这个时候，通过讲述数学史上成功人士的艰苦奋斗历程，就可以消除学生的挫折感.让他们知道，原来著名的数学家一样有头疼有解不开的题目.这样的目的是想告诉他们，学习上的挫折是学习过程的一种必然伴随物，有困难并不可怕，可怕的是为困难所吓倒.教师在课堂教学中可随时穿插讲述数学史，例如在学习“对数”时，就把对数是怎样发明以及它在数学史的地位向学生加以生动地讲述；介绍无理数的发现，可告诉学生由此引发的世界第一次数学危机，以及希帕索斯为之付出生命的代价的可歌可泣的故事，同时也说明“纸是包不住火的”，真理终究是真理；当学生为三等分角而苦恼时，可介绍世界几何三大作图难题；学习圆锥曲线时，可介绍古希腊数学家阿波罗尼奥斯的圆锥曲线理论在沉睡1800多年后被开普勒运用发现行星运动三大定律；学习数列，介绍杨辉三角以及我国数学沉浮的容辱史，激发同学们爱国热情；学习斐波拉契数列，介绍它竟然与黄金分割，洛书有着千丝万缕的联系……

结束语

菲尔兹奖得主陶哲轩在《解题·成长·快乐》序言中引用古希腊哲学家普罗克洛斯的话：“这，就是数学：她提醒你灵魂有不可见的形态；她赋予自己的发现以生命；她唤醒悟性，澄清思维；她照亮了我们内心的思想；她涤尽我们有生以来的蒙昧与无知……” [2].

我国著名数学教育家徐利治教授说：“为什么搞数学工作能获得快乐、健康和长寿呢？这是因为数学是一门很美的科学，它既有优美的内容建构，又有美妙的思想和应用，而且科研成果往往有希望获得哈代（GH.Hardy）所说的某种‘永恒价值；因此从事数学工作不仅能愉快地帮助培养人才，而且经常有机会能从成果收获中得到精神上的满足、乐趣与欣慰.而这些正好是任何长寿者人生中所需要的内部精神条件”[3].

最后，笔者想说，只有走近数学，才能喜欢数学.只有喜欢数学，才能走进数學，你才会发现数学的世界丰富多彩，奥妙无穷！

数学，美丽又迷人！

参考文献：

[1]易南轩.数学美拾趣[M].北京：科学出版社，2004：1.

[2]陶哲轩.解题·成长·快乐——陶哲轩教你学数学[M].北京：北京大学出版社，2009：6.

[3]徐利治.数学美学与文学[J].数学教育学报，2006（5）：5.endprint