电磁感应现象中导体棒旋转切割问题

严来蒋

摘要：以导体棒旋转切割命制的试题近年来在高考中多有体现，如绕棒的一端转动切割、绕棒上的某一点旋转切割、两棒同时转动切割或圆盘在匀强磁场中绕中心轴转动等，理解等效切割或法拉第电磁感应定律，便可轻松解决有关问题.

关键词：等效；旋转切割；感应电动势

以导体棒旋转切割命制的试题近年来在高考中多有体现，如绕棒的一端转动切割、绕棒上的某一点旋转切割、两棒同时转动切割或圆盘在匀强磁场中绕中心轴转动等，理解等效切割或法拉第电磁感应定律，便可轻松解决有关问题.

如图1所示，当导体棒OA在垂直于匀强磁场的平面内，绕一端O点以角速度ω匀速转动切割磁感线时，由于棒上各点线速度不同，故E=Blv中的v不能以ωl进行替代.可以从以下两个角度进行分析，推导出感应电动势的计算式.

等效理解，

根据v=ωr可知，棒上各点线速度跟半径成正比，故可用棒的中点的速度作为平均切割速度代入公式计算.由此可得感应电动势的表达式

E=Blω·l2=12Bl2ω

由法拉第电磁感应定律推导，

设经过Δt时间导体棒扫过的扇形面积为ΔS，则ΔS=12ωΔt·l2，所以感应电动势表达式

E=ΔΔt=BΔSΔt=12Bl2ω

一、单棒旋转切割

例1如图2所示，在磁感应强度为B的匀强磁场中，长为3l的导体棒绕过O点垂直于纸面的轴以角速度ω匀速转动，棒Oa段长为2l，则（）

A.导体棒两端电势差Uab=32Bl2ω

B.导体棒两端电势差Uab=-32Bl2ω

C.导体棒两端电势差Uab=92Bl2ω

D.导体棒两端电势差Uab=-92Bl2ω

解析由于oa段和ob段产生的感应电动势方向不同，故导体棒两端的电势差为不同两段电动势的代数和，oa段感应电动势Eoa=12B（2l）2ω，ob段感应电动势Eob=-12Bl2ω，两段电动势代数和等于导体棒两端电势差Uba=32Bl2ω.

点评理解棒的两端切割速度方向不同，导致感应电动势方向不同，因为电动势是标量，故导体棒总电动势为两部分的代数和.

二、双棒旋转切割

例2如图3所示，在半径为R的半圆形区域内，有磁感应强度为B的垂直纸面向里的有界匀强磁场，PQM为圆内接三角形，且PM为圆的直径，三角形的各边由材料相同的细软导线组成（不考虑导线中电流间的相互作用）.设线圈的总电阻为r且不随形状改变，此时∠PMQ=37°，则下列说法正确的是（）

A.穿过线圈PQM的磁通量为Φ=096BR2

B.若磁场方向不变，只改变磁感应强度B的大小，且B=B0+kt（k为常数，k>0），则线圈中产生的感应电流大小为I=096kR2r

C.保持P、M两点位置不变，将Q点沿圆弧顺时针移动到接近M点的过程中，线圈中感应电流的方向先沿逆时针，后沿顺时针

D.保持P、M两点位置不变，将Q点沿圆弧顺时针移动到接近M点的过程中，线圈中不会产生焦耳热

解析三角形PQM的面积S=12（2Rsin37°）2Rcos37°=096R2，穿过线圈PQM中的磁通量Φ=BS=096BR2，故选项A正确.由B=B0+kt得ΔBΔt=k，根据法拉第电磁感应定律得：感应电动势为E=ΔBΔtS=096kR2，线圈中产生的感应电流大小为：I=Er=096kR2r，故选项B正确.

保持P、M两点位置不变，将Q点沿圆弧顺时针移动到接近M点的过程中，△PQM的面积先增大后减小，穿过线圈的磁通量先增大后减小，线圈中将产生感应电流，根据楞次定律可知，感应电流方向先沿逆時针方向后沿顺时针方向；将Q点沿圆弧顺时针移动到接近M点的过程中，PQ段和QM段都在旋转切割磁感线，在∠PMQ小于45°时，QM段旋转切割的电动势大于PQ段旋转切割的电动势，回路中感应电流方向沿逆时针；在∠PMQ大于45°时，QM段旋转切割的电动势小于PQ段旋转切割的电动势，回路中感应电流方向沿顺时针，故选项C正确.

Q点沿圆弧顺时针移动到接近M点的过程中，回路中有感应电流，线圈中会产生焦耳热，故选项D错误.

点评本题应用几何知识分析线圈面积的变化，确定磁通量的变化，进而运用楞次定律可知感应电流的方向；也可以等效为两棒同时切割，用右手定则判断感应电动势方向，由棒的等效切割长度，比较感应电动势大小，从而确定感应电流的方向.

三、圆盘与涡流

例31824年，法国科学家阿拉果完成了著名的“圆盘实验”.实验中将一铜圆盘水平放置，在其中心正上方用柔软细线悬挂一枚可以自由旋转的磁针，如图4所示.实验中发现，当圆盘在磁针的磁场中绕过圆盘中心的竖直轴旋转时，磁针也随着一起转动起来，但略有滞后.下列说法正确的是（）

A.圆盘上产生了感应电动势

B.圆盘内的涡电流产生的磁场导致磁针转动

C.在圆盘转动的过程中，磁针的磁场穿过整个圆盘的磁通量发生了变化

D.圆盘中的自由电子随圆盘一起运动形成电流，此电流产生的磁场导致磁针转动

解析当圆盘在小磁针的磁场中转动时，半径方向的金属条在切割磁感线，在铜盘的圆心和边缘之间产生感应电动势，故A正确.圆盘在径向的辐条切割磁感线的过程中，内部距离圆心远近不同的点电势不等而形成感应电流，即涡流，小磁针处在涡流的磁场中受到磁力而使小磁针转动起来，即电磁驱动，故B正确.圆盘转动过程中，由于圆盘面积、磁场都不变，故穿过整个圆盘中的磁通量没有变化，故C错误.电流是由于圆盘切割磁感线而产生的，不是因为自由电子随圆盘一起运动产生的，故D错误.

点评本题考查电磁驱动的原理，明确电流的形成不是因为自由电子运动，而是由于圆盘切割磁感线产生了电动势，从而形成涡流.涡流的磁场使小磁针转动.

小结解决导体棒旋转切割问题的切入点是求解感应电动势，感应电动势的方向由右手定则或楞次定律判断，感应电动势的大小由法拉第电磁感应定律计算或等效切割解答.不论单棒切割、双棒切割、还是圆盘转动切割都可能会有多个感应电动势，要注意计算各个电动势的代数和.把圆盘等效为沿半径方向的无数根导体棒旋转切割是求解圆盘问题的关键.

四、圆盘旋转切割

例4如图5甲所示为法拉第圆盘发电机照片，乙是圆盘发电机的侧视图，丙是发电机的截面图.设圆盘半径为r，匀强磁场的磁感应强度为B，电阻为R，圆盘转动的角速度为ω.（1）不计圆盘的电阻，求感应电流的大小.（2）如果把此圆盘挖去半径为r2的同心圆，仍以角速度ω绕C点转动，将原来接C点的导线接在圆盘的内侧，求感应电流的大小.

解析（1）可以将圆盘等效为无数根很细的金属条（像自行车的辐条一样），则每根金属条都在切割磁感线，每根金属条均为电源，且彼此之间为并联关系.

由于C点到D点的辐条各点线速度是均匀变化的，所以可以用CD棒的平均速度作为切割磁感线的有效速度.即电动势E1=Br1=12Br2ω，电流I1=E1R=Br2ω2R.

（2）当挖去r2的同心圆后，等效辐条切割磁感线的平均线速度v2=rω+rω22=3rω4，则圆盘电动势E2=r2Bv2=38Br2ω，对应感应电流I2=E2R=3Br2ω8R.

点评解决此题的关键是把圆盘等效为无数根很细的金属条，因为磁通量是相对某个回路而言的，当圆盘转动时，圆盘中心与边缘的连线和外部电路组成的回路磁通量发生变化，进而产生感应电动势.

参考文献：

[1]朱行建，罗成高考物理探究性试题的主要类型及解决策略[J].物理通报，2017年（5）：39-41

[2] 陈小平物理高考备考中落实能力目标的探讨[J]物理教师，2017年04期：23-24endprint