理想变压器中的相位问题研究——一道全国卷高考题引发的问题讨论

张红明 周宗波

(北京师范大学附中 北京 100052) (武汉武钢三中 湖北 武汉 420100)

1 问题引入

变压器问题的考查连续出现在全国高考课标卷理综试题中，2014，2015，2016年均有考查．通过理想变压器的副线圈串接二极管，通过理想变压器的原线圈串接电阻等，来考查学生的灵活应变能力、创新能力和探究能力．下面给出2015年全国课标Ⅰ卷理综物理试题.

【例1】(2015高考全国课标Ⅰ卷第16题)一理想变压器的原、副线圈的匝数比为3∶1，在原、副线圈的回路中分别接有阻值相同的电阻，原线圈一侧接在电压为220 V的正弦交流电源上，如图1所示．设副线圈回路中电阻两端的电压为U，原、副线圈回路中电阻消耗的功率的比值为k，则

图1 题图

下面对该题展开分析.

图2 例1分析

2015年这道高考题在中学物理教师中引起了广泛的热议，两种观点激烈碰撞,更为令人困惑的是在接下来的2016年高考全国卷中又出现了类似的变压器问题．这到底是怎么回事？

2 问题研究

一种直觉，认为这道题有科学性错误的观点是有问题的．该题的原线圈中串联了电阻R，表面看起来是理想变压器的一种变式，其实它应该是一种典型的物理问题．请看远距离输电，其示意图如图3所示.

图3 远距离输电示意图

在远距离输电问题中，如果去掉升压变压器，直接把升压变压器的输出电压看作是电源，那么远距离输电问题就变成上述的高考题，它们在本质上完全一样．对于远距离输电，我们经常用到电压关系U2=U线+U3，对这个关系我们觉得天经地义，丝毫没有人怀疑它的正确性，根本没有人提出电阻两端电压与线圈两端电压存在相位差问题．

在上述高考题中，电阻两端电压加上线圈两端电压就是电路输入的总电压，其正确性应该是显然的．这个正确性是建立在线圈两端电压与电阻两端电压是同相位的，下面对其正确性进行深入地研究．

理想变压器是以互感现象为基础的电磁装置，它的原理性结构如图4所示.

图4 理想变压器原理性结构

理想变压器是绕在同一个铁心上的两个线圈．在交流电源的作用下，原线圈内产生交变电流，从而在铁心内激发交变的磁通量．交变的磁通量又在副线圈内产生感应电动势和感应电流，它反过来通过互感磁通又影响到原线圈．这便是变压器工作时的基本过程．理想变压器应该满足以下几个条件：

(1)没有漏磁，即通过两个线圈中每匝的磁通量都一样；

(2)两线圈中没有电阻，从而没有铜损(即忽略线圈导线中的焦耳损耗)；

(3)铁心中没有铁损(即忽略铁心中的磁滞损耗和涡流损耗)；

(4)原、副线圈中的感抗趋于无穷大，从而空载电流趋于零．

2.1 理想变压器的电压变比公式

首先，为了确定正负号，先得规定原、副线圈的回绕方向．两线圈回绕方向的选择如图4中箭头所示，应该注意到这样的选择使得它们在磁芯内产生的磁通量的方向是一致的，即都沿顺时针方向．

设原、副线圈的匝数分别为N1，N2，通过磁芯任意横截面得到磁通量为φ，则通过原、副线圈的磁通匝链数分别为ψ1，ψ2，则

ψ1=N1φ=L1I1+M21I2

(1)

ψ2=N2φ=L2I2+M12I1

(2)

式中L1,L2,M21,M12分别为原副线圈的自感系数和互感系数，I1,I2分别为原副线圈中的电流．

根据法拉第电磁感应定律，两线圈中产生的感应电动势分别为

-jωN1φ=-jωL1I1-jωM21I2

(3)

-jωN2φ=-jωL2I2-jωM12I1

(4)

设变压器的原副线圈的电压分别为u1,u2，则有

u1=uAB=-εAB=jωN1φ=

jωL1I1+jωM21I2

(5)

u2=uCD=εDC=-jωN2φ=

-jωL2I2-jωM12I1

(6)

以上两式相除得

(7)

这便是理想变压器的电压变比公式，式中的符号表示u1的相位与u2相差π．

2.2 理想变压器的电流变比公式

副线圈空载时，令式(1)中的I2=0，I1=I0，立即得到空载电流(也称励磁电流)为

(8)

再看有负载电流的情形，在式(1)中用jωL1I0代表左边的u1，移项后得

jωL1(I1-I0)=-jωM21I2

(9)

(10)

此式即为理想变压器的电流变比公式，式中的符号表示I1的相位与I2相差π．

3 问题分析

在上述题目中，由于副线圈连接的是纯电阻元件，因此副线圈中电压u2与电流I2是同相位的．又由于原线圈中的u1的相位与副线圈u2相差π，原线圈中电流I1的相位与副线圈中电流I2相差π，所以原线圈的电压u1与电流I1是同相位的．进一步知道，原线圈中串联的电阻两端电压与线圈两端电压是同相位的，所以它们的有效值可以直接相加等于电路的输入电压．至此，上述问题就全面解决．

3 启示与反思

在中学物理远距离输电的教学中，有时教给学生的是一些结论性的知识，如高压输电电压等于输电线上的损耗电压加降压变压器的输入电压，这其中的深层次的原因不必要求学生知道，但对教师来说应做到心中有数．

1 人民教育出版社课程教材研究所.普通高中课程标准实验教科书物理·选修3-1.北京：人民教育出版社，2014

2 梁灿彬，秦光戎，梁竹健.普通物理教程·电磁学(第三版).北京：高等教育出版社，2012

3 赵凯华，陈煕谋.电磁学(下册).北京：高等教育出版社，1985