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弱正则*-半群的一类子半群

2018-03-04贾爱霞张莉

数学学习与研究 2018年23期

贾爱霞 张莉

【摘要】 从弱正则*-半群S的幂等元集、投影元的集合和正则*-同余等角度讨论了弱正则*-半群S与S的射影集S*之间的关系.

【关键词】 弱正则*-半群;子半群;射影集

一、预备知识

设S是半群,如果在S上有一元运算*:S→S,xMT ExtraaA@x*,满足如下三条:

(1)(x∈S)(x*)*=x;

(2)(x∈S)xx*x=x;

(3)(x,y∈S)(xx*yy*)*=yy*xx*.

則称S为弱正则*-半群[1],记为(S,*).集合S*={x*:x∈S}称为(S,*)的射影集.

称(S,*)的元素x为幂等元,如果x2=x.用E(S)表示(S,*)的全体幂等元构成的集合.称(S,*)的幂等元e为S的投影元,如果e*=e.用P(S)表示(S,*)的全体投影元构成的集合.

称半群S上的同余ρ为*-同余,如果对任意的a,b∈S, (a,b)∈ρ(a*,b*)∈ρ.对于半群S上的*-同余ρ,称集合Pkerρ={a∈S:e∈P(S),(a,e)∈ρ}={eρ:e∈P(S)}.

称半群S上的*-同余ρ为正则*-同余,如果 S ρ 是一个正则*-半群.

正则*-半群是一类很重要的半群,许多半群研究人员从各种角度对正则*-半群进行了研究[2-3].弱正则*-半群是比正则*-半群更广的一类正则半群[4-5].本文讨论了弱正则*-半群(S,*)的射影集S*={x*:x∈S}的一些基本性质,并从幂等元集、投影元的集合和正则*-同余等角度讨论了弱正则*-半群(S,*)与其射影集S*之间的关系.

未说明的符号与术语同文献[6].

二、弱正则*-半群S与其射影集S*之间的关系

引理1  设S是弱正则*-半群,P1={xx*:x∈S},P2={x*x:x∈S},则P1=P2=P(S).

证明  对任意x∈S,有(xx*)(xx*)=xx*,

(xx*)*=((xx*)(xx*))*=(xx*)(xx*)=xx*,

因而,xx*∈P(S),说明P1P(S).

反过来,对任意a∈P(S),有a=aa=aa*,说明P(S)P1.所以P1=P(S).

同理可证P2=P(S).因此,P1=P2=P(S).

引理2  S*={x*:x∈S}为弱正则*-半群S上的一个正则*-子半群.

为此,我们称S*是弱正则*-半群S的射影子半群.

引理3 [7] 设ρ是正则S-半群S上的A={Ai:i∈I}-同余,并设A={Ai:i∈I}为ρ的投影核.如果σ是S上的一个Ai-同余,且每个Ai是一个σ-类,则σ=ρ.

引理4  设ρ,σ是弱正则S-半群S上的两个ρ=σPkerρ=Pkerσ.-同余,则ρ=σPkerρ=Pkerσ.

证明  必要性显然成立.下证充分性.

设Pkerρ=Pkerσ.则对任意q∈P(S),qρ=qσ.对任意(x,y)∈σ,因为σ是(xx*,yx*)∈σ.-同余,所以(xx*,yx*)∈σ.

又因为xx*∈P(S),所以(yx*)σ=(xx*)σ=(xx*)ρ,

即有(xx*,yx*)∈ρ.类似可证(y*x,y*y)∈ρ.因此,

x=xx*xρyx*x=yy*yx*xρyy*xx*x=yy*xρyy*y=y.

至此,我们就得到了σρ.同理可证ρσ.因而,ρ=σ.

定理1  设S*是弱正则S-半群S的射影子半群,并将S和S*上的幂等元集、投影元的集合分别记作E(S)、P(S)和E(S*)、P(S*).设ρ,σ是弱正则S-半群S上的正则ρ|S*-同余,则ρ|S*,σ|S*为ρ,σ在S*上的限制.于是有下列各项成立:

(1)E(S*)E(S);

(2)P(S)=P(S*);

(3)ρ=σρ|S*=σ|S*.

证明(1)和(2)显然成立,下面证明(3).

必要性显然成立,只需证充分性.设ρ|S*=σ|S*,由引理2可知S*是一个正则ρ|S*-半群,从而ρ|S*和σ|S*都是正则S*-半群S*上的P(S)=P(S*)-同余,且P(S)=P(S*).根据引理3,可以知道在正则S*-半群S*上有

Pkerρ|S*=Pkerσ|S*,即(q∈P(S))qρ|S*=qσ|S*.

对任意q∈P(S),令

Bq={a∈S-S*:(a,q)∈ρ}∪qρ|S*,

则Pkerρ={Bq:q∈P(S)}.

下证Pkerσ={Bq:q∈P(S)}.

任取q∈P(S),则对任意的a∈Bq,都有a*,(a*)*∈qρ|S*=qσ|S*.又因为σ是S上的正则(a,(a*)*)∈σ-同余,所以(a,(a*)*)∈σ,进而a∈qσ,这说明Bqqσ.

反过来,对任意的b∈qσ,若b∈S*,则b∈qρ|S*Bq;若b∈S-S*,则由(b,q)∈σ可得((b*)*,q)∈σ,从而((b*)*,q)∈σ|S*=ρ|S*,这说明(b*)*∈qρ|S*qρ,因而,b∈qρ=Bq,所以有qσBq.

综上可得qσ=Bq,这就证明了Pkerσ={Bq:q∈P(S)}=Pkerρ.根据引理4可知ρ=σ.

【参考文献】

[1] RUI C X.Weakly regular *-semigroups[J].Semigroup  Forum,1999(58):463-465.

[2]NORDAHL T E,SCHEIBLICH H E.Regular *-semigroups[J].Semigroup Forum,1978(16):369-377.

[3]Yamada,M.*-system in regular semigroups.Semigroup Forum,1982(24):173-187.

[4]芮昌祥,陈建飞.基本的弱正则*-半群的结构[J].数学学报,2000(3):471-480.

[5]芮昌祥.弱正则*-半群和半群的弱P-正则性[D].成都:四川大学,1998.

[6]HOWIE J M.Fundamentals of semigroup theory[M].Oxford:Oxford Univ Press,1995:45-200.

[7]IMAOKA T.*-Congruences on regular *-semigroups[J].Semigroup Forum,1981(23):321-326.