例谈等腰三角形中的分类讨论

卢信

【摘要】 分类讨论思想在等腰三角形的学习中渗透的很深，往往一有等腰三角形的题目都会出现分类讨论思想的影子，探究一些常见的有关等腰三角形中分类思想的例题，总结“对角进行分类讨论”“对边进行分类讨论”“对点进行分类讨论”“分类讨论的突破口作用”这4种等腰三角形中分类讨论的基本方法和思路，提高解决此类问题的准确性.

【关键词】 等腰三角形;分类讨论;边;角;坐标系;方程

分类讨论思想是初中数学学习中的重要思想，在等腰三角形中更是把分类思想体现得活灵活现.有关等腰三角形的问题涉及与边、角有关的问题，还有图形面积有关的问题，题目难度不大但十分广泛.下面以几种不同的情形进行分析探讨，进而说明等腰三角形中的分类讨论思想，从而提高学生解题的完整性和正确性.

一、有关角的分类情形——对角进行分类讨论

对一个等腰三角形，若条件中并没有确定顶角或底角时，应注意分情况讨论，先确定这个已知角是顶角还是底角，再运用三角形内角和定理求解.

（一）已知一个等腰三角形的内角的情形

分三种情况：① 已知内角是锐角时，比如，一个内角是80°角，它既可以是底角，也可以顶角.② 已知一个内角是直角时，即90°，它只能是顶角.③ 已知一个内角是钝角时，比如，100°，它只能是顶角不能是底角.

例1   已知等腰三角形的一个内角为75°，则其顶角为（  ）.

A.30°

B.75°

C.105°

D.30°或75°

（二）已知一个等腰三角形的外角的情形

分二种情况：① 此外角是底角的补角;② 此外角是顶角的补角.

例2   若等腰三角形的一个外角为100°，则其顶角为 _______.

因此，涉及等腰三角形的内角或者外角的问题的时候，注意看清题目中这个内角是顶角还是底角，这个外角是顶角的补角还是底角的补角，在条件不清或者没有说明的情况下，注意分类讨论.

二、有关边的分类情形——对边进行分类讨论

（一）涉及等腰三角形中两边长的情形

等腰三角形有两腰相等，在没说明哪两条边相等的前提下，要分类讨论.

例3   如果等腰三角形两边长是5 cm和3 cm，那么这个等腰三角形的周长是_______ .

例4   一个等腰三角形的两边长分别是2 cm和5 cm，它的周长是_______ .

（二）涉及等腰三角形的中线的问题

等腰三角形的中线有3条，底边上的中线把等腰三角形分成全等的两个直角三角形，涉及了等腰三角形“三线合一”的性质.腰上的中线把等腰三角形分成不全等的两个三角形，涉及此类问题的时候，考虑是否出现分类讨论的情况.

例5   若等腰三角形一腰上的中线分周长为6 cm和9 cm两部分，求这个等腰三角形的底和腰的长.

（三）涉及等腰三角形的高线的问题

等腰三角形的高线有3条，底边上的高线把等腰三角形分成全等的两个直角三角形，涉及了等腰三角形“三线合一”的性质，如果是腰上的高线，涉及等腰三角形是锐角还是钝角三角形，因此，出现内高和外高.

例6   已知一边长为10 cm的等腰三角形面积为30 cm2，求出这个等腰三角形的另两条边长.

（四）涉及等腰三角形的中垂线的问题

等腰三角形的中垂线有三条，底边上的中垂线是等腰三角形的对称轴，里面涉及了等腰三角形“三线合一”的性质，但是腰上的中垂线有可能需要分类讨论.

例7   在△ABC中，AB=AC，AB的中垂线与AC所在直线相交所得的锐角为50°，则底角∠B= _______.

三、坐标系中的等腰三角形——对点进行分类讨论

再精彩的东西也需要背景，等腰三角形有时候会赋予“坐標系”这样的背景，利用背景的力量使题目变得丰富多彩.

例8   如图所示，平面直角坐标系上的两点A的坐标是（1，0），B的坐标是（0，-1）.若在x轴上找一点C，使A，B，C三点构成等腰三角形，满足条件的点C有几个？

四、方程问题中等腰三角形——分类讨论的突破口作用

等腰三角形与方程问题的结合，使题目变得精彩纷呈，变得有血有肉，也更能体会数学的魅力，当然，也涉及分类思想这一数学灵魂.

例9   已知△ABC的两边AB，AC的长是关于x的一元二次方程x2-（2k+3）x+k2+3k+2=的两个实数根，第三边BC长为5.

（1）k为何值时，△ABC是以BC为斜边的直角三角形？

（2）k为何值时，△ABC是等腰三角形，并求△ABC的周长.

总之，在众多异彩纷呈的有关等腰三角形的数学题海中，分类讨论思想体现得尤为明显.教学中除了常规的正向思考，还应当引导学生全方位、多角度地观察图形特点，深入细致地思考，获取解决问题的多种途径和结果，从而提高学生思维的发散性、灵活性，养成学生全面考虑问题的好习惯，使学生在数学学习中渐入佳境.学生在今后的学习过程中，渗透分类思想，使学习变得“有血有肉”，做个有数学思想的人.

【参考文献】

[1]李贵生.等腰三角形中的分类讨论思想[J].初中生之友，2012（26）：22-24.

[2]范良火.义务教育教科书·数学[M].杭州：浙江教育出版社，2012.