浅谈积分在动态经济学中的应用

王文相

【摘要】 动态分析的一个显著特征是要计算变量的时间，这就要引进时间因素来实现.本文讨论了积分和微分方程关于连续时间计算的数学方法，通过动态模型中的时间问题，根据变量的变化形式，来探讨变量的时间路程.

【关键词】 积分;动态经济学;时间序列;静态模型

动态学这个词应用于经济分析时，对不同的经济学分类，有各自不同的含义.鲍莫尔（Baumol）教授在其著作“动态经济学”中，讨论过几种动态分析方法，每一种对这个术语都赋予了不同含义.在一篇关于语义学的文章里，马契拉普教授罗列了这个术语的各种意义，其中包括这样一种含义：“通常，‘静态学就是静止的，而‘动态学是属于自己的、具有极大优越性的理论.”然而，近年来，动态学这个术语已获得几乎是专门的用法：现在它是指这样的一种分析法，目的在于找出和研究变量明确的时间路程，或者是给出充分的时间来确定这些变量是否会收敛于某些（均衡）值，这种方法是很重要的，因为它显示了妨碍我们研究静态学和比较静态学的关键原因.在比较静态学中，我们总是有这样的假定：经过调整过程必然导致均衡.在动态分析中，我们分两面性地看待“可达均衡”的问题，而不是假定它必然达到.

动态分析的一个显著特征是要计算变量的时间，这就要引进时间因素来实现.一般有两种引进的方法：一种是把时间看作连续变量，另一种是把时间看作离散变量.前一种情况，在时间的每一点上变量都要发生某些变化（例如计算连续复利的情况）;而后一种情况，仅在一个时期内变量发生变化（例如仅在每6个月末加利息）.在某些情况下，一种时间概念较另一种也许更合适，但正如我们已经看到的，当离散时间间隔变得非常短时，连续的情况通常看作离散情况的极限.我们先讨论与积分和微分方程中和数学方法有关的连续时间的情况，之后再转到离散时间的情况，并利用差分方程来进行分析.

一般说来，静态模型中的问题，是要求出问题内某些变量的值，这些内生变量满足某些规定的均衡条件.应用于最优化模型的状况，则变为求出使特殊目标函数达到极大（小）值的问题（如果二阶条件有问题，则简化为一阶条件作为均衡条件）.与此相反，动态模型中的问题，通常是根据变量的已知变化形式（比方已知瞬时变化率）描述某一变量的时间路程.

举一个例子，上述描述就清楚了，假定已知人口数量H按照变化率

dH dt =t- 1 2  （1）

随着时间而变化.那么我们要问：与（1）相符合的人口时间路程H=H（t）等于什么，也就是说，函数H（t）的具体形式是什么，才使人口数量与时间t的关系满足（1）式中所规定的变化规律.大家都了解，如果我们一开始就已经知道函数H=H（t），那么由微分法可求出 dH dt ，但我们现在面临的问题相反，需要从已知的导出函数求出原函数，而不是从原函数求出导出函数，在数学上，我们需要与微分学的方法完全相反的方法，也就是积分法或积分学.下面我们通过观察发现H=2t 1 2 的确具有形如（1）式中的导数，因而，显然它是问题的一个解.麻烦的是还存在类似的函数，例如，H=2t 1 2 +15或H=2t 1 2 +99，更一般地，

H=2t 1 2 +c（c为任意常数）. （2）

它们都正好具有同样的导数（1）.因此，不能确定唯一的时间路程，除非有某种方法确定常数c的值.为了达到这个目的，在模型中加入附加信息，这种附加信息就是初始条件或边界条件.如果我们知道初始人口H（0）[即t=0的H值，让我们假定H（0）=100]，那么可以确定常数c的值，在（2）式中，令t=0时得到

H（0）=2（0） 1 2 +c=c.

假如H（0）=100，那么c=100，且（2）式变为

H=2t 1 2 +100.

此处常数不再是任意的.更一般地，对任意给定的初始人口H（0），时间路程将是

H=2t 1 2 +H（0）.

本例中，在任意时间点上的人口数量将由初始人口H（0）与包含时间变量t的另一项之和所组成.这样的时间路程的确表明变量随时间变化的全部行程.因而，它的确形成动态模型的解.

这个人口例子虽然简单，但说明动态经济学问题的实质.已知一个变量随时间变化的方式，我们设法求出描述这变量的时间路程函数.在这个过程中，我们将遇到一个或多个任意常数，但如果有足够多的以初始条件形式出现的附加信息，就总可以确定这些任意常數.在比较简单的一类问题中，例如上面所提到的例子中，可用积分学的方法求出其解.积分是研究已知导函数反求其原函数的方法.在更复杂的情况下，我们也可以求助于微分方程的已知方法.微分方程是与积分学有密切关系的数学分支.因为微分方程定义为含有微分或导数表示式的方程，所以，（1）式确实可看作一个微分方程.因此，求出它的解时，我们事实上已经解出了一个微分方程，虽然它是非常简单的一个.

【参考文献】

[1]茆诗松，汤银才.贝叶斯统计[M].北京：中国统计出版社，2012：46.

[2]雷晋干，陈铭俊.数值分析的泛函方法[M].北京：高等教育出版社，1996.