浮动滚子推杆等跨凸轮机构及其尺寸综合的正-逆映射求交方法

2018-03-03林梦杰李延平

中国机械工程 2018年3期

范武林梦杰李延平常勇,2

1.集美大学机械与能源工程学院,厦门,3610212.集美大学工程训练中心,厦门,361021

0 引言

本文第四作者等[1]于2010年提出了浮动滚子推杆盘形凸轮机构Ⅰ类、Ⅱ类综合问题及其准确描述，通过引入浮动数轴、瞬时/整程区间套等概念，得到了解存在性、存在特征的一整套解析公式，解决了浮动滚子推杆力锁合盘形凸轮机构的第Ⅱ类尺寸综合问题，之后，考虑到形锁合机构综合的复杂性和特殊性，于2012年引入往程/返程和向径标刻线等概念，揭示了形锁合机构在综合路径、方法步骤等方面的显著差异，解决了浮动滚子推杆形锁合盘形凸轮机构的第Ⅱ类尺寸综合问题[2]。在文献[1-2]研究成果的基础上，又通过引入浮动坐标系、瞬时/整程选择区域和最经济搜索带域等概念，采用离散降维快速求解方法，解决了浮动滚子推杆盘形凸轮机构的广义第Ⅱ类尺寸综合问题[3]。

与力锁合凸轮机构[4-6]相比,形锁合凸轮机构[7]具有运动精度高、抗冲击能力强、寿命长和适用于高速等优点，在内燃机、纺织、印刷、包装和农业等领域应用广泛[8-9]。探索与拓展形锁合凸轮机构可能的构型空间并解决尺寸综合问题[8-9]，具有重要意义。

较之共轭、槽道凸轮机构，等径凸轮机构求解困难，具有如下形态特征：主/副滚子中心C、C′和凸轮轴心O1三点共线，位于连杆方位线O1O2上。

能否跳脱和突破等径凸轮机构“三点共线”传统限定条件，提出形锁合机构的新构型？若能，在尺寸综合方面可否获得正面收益？针对上述问题，笔者开展了相关研究，并由此提出了等跨凸轮机构的新构型。

1 等跨凸轮机构的形态特征及其尺寸综合

问题的准确描述

图1 等跨凸轮机构Fig.1 Equal-span cam mechanism

图2 诸运动角、休止角的牵连关系Fig.2 The implicated relations between the angles of motion and repose

值得指出：上述①～③，亦是等跨凸轮机构成立的充要条件。

往程中，凸轮主轮廓段作用于主滚子驱动机构运动，凸轮副轮廓段接触副滚子起锁合作用。返程中，则反之。

浮动滚子推杆等跨凸轮机构尺寸综合问题的准确表述如下。

已知：机架、摇杆长度l0、l5，摇杆往程始/终位置O20A、O2mA，初位角θ50，行程角βm，往程运动规律β=β(θ1)(θ1为凸轮转角)，往程运动角Ф0，推程许用压力角[α]，凸轮、摇块和机架在O1点复合铰接。

求解：整程满足压力角α≤[α]和条件①～③的C、C′解集，r0许用取值范围(r0为凸轮基圆半径)，最优尺寸解等。

浮动滚子推杆等径凸轮机构[2](图3)满足条件①～③，不过uC=-uC′=0。

图3 等径凸轮机构Fig.3 Yoke radial cam mechanism

2 固定/浮动坐标系和解析公式

2.1 固定坐标系和解析公式

建立固定坐标系O1xy(图1)。连杆2往程(返程)的时变长度和类角速度

s2(r)=s2(r)(θ1)=(l02+l52+2l0l5cos(θ50-β(r)))1/2

(1)

θ2(r)=arctan(l5sin(θ50-β(r))/(l0+l5cos(θ50-β(r))))

(2)

dθ2(r)/dθ1=-l5(dβ(r)/dθ1)(l5+l0cos(θ50-β(r)))/

(3)

绝对瞬心P20(r)、相对瞬心P21(r)往程(返程)坐标

(4)

(5)

式(5)中，“±”的“+”对应同摆式机构，“-”对应异摆式机构。

P20(r)、P21(r)至P10(O1)的距离

(6)

后文中，简记lP10P20(r)、lP10P21(r)为l20(r)和l21(r)。

2.2 浮动坐标系的概念

浮动坐标系(图1)为固连于连杆平面Σ2、以O2为原点的直角坐标系O2uv[3]。

2.3 往程/返程的前半区段、后半区段划分[2]

往程：摇杆5的行程O20A→O2mA。前半区段O20A→O2bA；后半区段O2bA→O2mA。

返程：摇杆5的行程O2mA→O20A。前半区段O2mA→O2bA；后半区段O2bA→O20A。

O2bO1⊥O2bA，即

(7)

3 等跨凸轮机构的特征牵连关系

3.1 主/副滚子间的分布规律特征

(8)

据式(8)和条件③，得

s20-vC=vC′-s2m

(9)

即

vC′=s20+s2m-vC

图4 主/副滚子间的分布规律特征Fig.4 The distribution characteristics of main roller and auxiliary roller

C和C′的u向跨距、v向跨距分别为

(10)

据式(9)、式(10)得到：C(uC,vC)一旦选定，Lu、Lv和C′(uC′,vC′)随之确定，皆为定值。

3.2 诸运动角、休止角的牵连关系

(11)

(12)

(13)

据式(12)得到：Ф0+Фs为定值，与C、C′位置选取无关。

摇杆位移规律：可自由任意选取范围θ1∈[0, Ф0+Фs]；而余下θ1∈(Ф0+Фs, 360°]，须依据等跨机构条件①～③确定。

(14)

式(12)和式(14)中，“+”、“-”分别对应凸轮顺时针、逆时针转动情况。

3.3 摇杆返程位移规律

图5 摇杆返程位移规律Fig.5 Return displacement law of rocker

(15)

(16)

据余弦定理有

(17)

(18)

某时刻，凸轮转过角度

θ1Δ=180°±(θ2-θ2t)

(19)

对应凸轮角位移

(20)

摇杆返程角位移

(21)

4 主/副滚子中心C、C′的整程区域套

4.1 满足α≤[α]条件的C的整程区域套

满足α≤[α]条件的C的解集即整程区域套，它主要取决于往程。

4.1.1 满足α≤[α]条件的C的往程区域套

(22)

通常地，返程区域套因不起作用而免予考虑，往程区域套即整程区域套。

4.1.2 实际最经济搜索带域与等距离散化

据图6a，ugmin、ugmax必出现在Γg(u,v)最左、最右端处，即

(23)

式中，η=1；前半区段ζ=1，后半区段ζ=-1。

通过一维搜索，可解得(ugmin)maxty、(ugmax)minty,其含义和求解方法见文献[3]。

理论最经济搜索带域

ug∈[(ugmin)maxty, (ugmax)minty]

(24)

等距离散化该最经济搜索带域，得直线序列{ugj}。取间距

Δug=[(ugmax)minty-(ugmin)maxty]/(100q)

(25)

ugj=(ugmin)maxty+(j-1)Δug

(26)

j=1,2,…,100q+1

式中，q=1,2,…，据精度要求确定。

等距离散化θ1，间距

Δθ1=1/(10p-1) (rad)

(27)

θ1=θ1m=0°+(m-1)Δθ1

(28)

m=1,2,…,Ф0/Δθ1+1

式中，p=1,2,…，也据精度要求确定。

根据{∂Γg(θ1m)}，通过求交比较，得到实际最经济搜索带域:

ug∈[(ugmin)maxry,(ugmax)minry]

(29)

(a)往程瞬时区域套Γg(u, v)生成原理

(b) 往程区域套生成原理图6 主滚子中心C的区域套生成原理Fig.6 The generating principle of nested region of main roller C

分析{ugj}与{∂Γg(θ1m)}的关系如下：

设{ugj}与O1P21交于Oj点(图7仅表述ugfmin0，则vC=s2-τC。

图求解的解析公式建立Fig.7 Establishment of analytic formula for

对于关系(1)和(2)，分别有

(30)

(31)

下面分ugj≤0、ugj>0两种情况讨论。

(1)ugj≤0。

(32)

解得

τCs1g={(l20-l21)tan[α]+[(l20-l21)2tan2[α]-

4(l20-ηugj)(l21-ηugj)]1/2}/2

(33)

τCs2g={(l20-l21)tan[α]-[(l20-l21)2tan2[α]-

4(l20-ηugj)(l21-ηugj)]1/2}/2

(34)

将式(1)、式(33)和式(34)代入式(30)，搜索解得

vCs1gflmax=(s2-τCs1g)flmax

vCs2gflmin=(s2-τCs2g)flmin

(35)

(36)

解得

τCs1g={(l20+l21)tan[α]+[(l20+l21)2tan2[α]+

4(l20+ηugj)(l21-ηugj)]1/2}/2

(37)

τCi2g={-(l20+l21)tan[α]+[(l20+l21)2tan2[α]+

4(l20+ηugj)(l21-ηugj)]1/2}/2

(38)

将式(1)、式(37)和式(38)代入式(31)，搜索解得

vCs1grmmax=(s2-τCs1g)rmmax

vCi2grmmin=(s2-τCi2g)rmmin

(2)ugj>0。

先令

l21(θ1)-ugj=0

(39)

(40)

(41)

解得

τCs1g={(l20-l21)tan[α]+[(l20-l21)2tan2[α]+

4(l20-ηugj)(ηugj-l21)]1/2}/2

(42)

τCi2g={-(l20-l21)tan[α]+[(l20-l21)2tan2[α]+

4(l20-ηugj)(ηugj-l21)]1/2}/2

(43)

将式(1)、式(42)和式(43)代入式(31)，搜索解得

vCs1gfmmax=(s2-τCs1g)fmmax

vCi2gfmmin=(s2-τCi2g)fmmin

vCs1gflmax=(s2-τCs1g)flmax

vCs2gflmin=(s2-τCs2g)flmin

vCs1grmmax=(s2-τCs1g)rmmax

vCi2grmmin=(s2-τCi2g)rmmin

(44)

解得

τCs1g={(l20+l21)tan[α]+[(l20+l21)2tan2[α]-

4(l20+ηugj)(ηugj-l21)]1/2}/2

(45)

τCs2g={(l20+l21)tan[α]-[(l20+l21)2tan2[α]-

4(l20+ηugj)(ηugj-l21)]1/2}/2

(46)

将式(1)、式(45)和式(46)代入式(30)，搜索解得

vCs1grlmax=(s2-τCs1g)rlmax

vCs2grlmin=(s2-τCs2g)rlmin

据上述计算结果，得到：

①ugj≤0时

(47)

②ugj>0时

(48)

4.2 满足α≤[α]条件的C′的整程区域套

4.2.1 满足α≤[α]条件的C′的返程区域套

(49)

通常，往程区域套不起作用，故返程区域套即整程区域套。

4.2.2 实际最经济搜索带域

式(23)～式(27)中，将ug、(ugmin)maxty、(ugmax)minty替以ur、(urmin)maxty、(urmax)minty；式(23)取η=-1，将l20、l21替以l20r、l21r。其中:

θ1=θ1n=Ф0+Фs+(n-1)Δθ1

(50)

即可得到实际最经济搜索带域

ur∈[(urmin)maxry, (urmax)minry]

(51)

(a)返程瞬时区域套Γr(u, v)生成原理

(b)返程区域套生成原理图8 副滚子中心C′的区域套生成原理Fig.8 The generating principle of nested region of auxiliary roller C′

对应关系(1)和(2)，分别有

(52)

(53)

(1)urj≥0。

(2)urj<0。

令

l21r(θ1)-urj=0

(54)

据上述计算结果可得

①urj≥0时

(55)

②urj<0时

(56)

5 满足α≤[α]和等跨条件①～③的C、C′的整程区域套以及凸轮基圆半径r0取值范围的确定

本节讨论凸轮顺时针转动时，满足α≤[α]和等跨条件①～③的C、C′的整程区域套。凸轮逆时针转动时的情况与顺时针转动时类似，不再详述。

5.1 主/副滚子中心C、C′的归并搜索带域

如图9所示，据式(29)和式(51)进行归并求交，得到满足α≤[α]和等跨条件①～③的C、C′的归并搜索带域。

图9 C、C′归并搜索带域的确定Fig.9 Determination of merger search belt-area of C and C′

主滚子中心C的归并搜索带域

uC∈[(umin)max, (umax)min]

(57)

(58)

副滚子中心C′的归并搜索带域

uC′∈[-(umax)min, -(umin)max]

(59)

5.2 主/副滚子中心C、C′的整程区间套

(60)

图10 C、C′整程区间套的确定Fig.10 determination of merger whole choice area of C and C′

通过求交，得到u=urj=uC′(=-uC)时副滚子中心C′的归并整程区间套

(61)

(62)

(63)

则

(64)

即为u=ugj=uC时主滚子中心C的归并整程区间套。

上述式(61)和式(64)的获取，体现了一个正-逆映射求交的迭代求解过程，这也是本文的核心内容。

5.3 主/副滚子中心C、C′的归并整程区域套

据式(57)、式(59)和式(61)、式(64)，遍历搜索{ugj}和{urj}，解得C、C′的归并整程区域套Γ*(u,v)和Γ′*(u,v)，以及C、C′的归并整程区域套边界∂Γ*(u,v)、∂Γ′*(u,v),如图11所示。

图11 整程区域套Γ*(u, v)、Γ′*(u, v)的形态分布Fig.11 Morphological distribution of merger whole choice area of Γ*(u,v)、Γ′*(u,v)

图11中的Γ*(u,v)和Γ′*(u,v)，可采用开发的ESCMFY可视化程序，结合例题已知条件，在计算机上快速求解得到。

5.4 凸轮基圆半径r0取值范围的确定

引入O2uv到O1xy的坐标变换

(65)

C在∂Γ*(u,v)上时，凸轮基圆半径

(66)

一维搜索解得所有边界点(xCj,yCj)，计算得到凸轮最小、最大基圆半径：

(67)

r0的取值范围为

(68)

6 机构综合示例

对于浮动滚子推杆等跨凸轮机构，已知l0=140 mm，l5=50 mm，θ50=140°，βm=80°，往程选取摆线规律，Ф0=150°，[α]=40°，凸轮顺时针转动。求解：

(1)取uC=uC′=0，即等径凸轮机构，限定C、C′居于连杆方位线O1O2上，对应的求解量为r0min|0、C**|0和C′**|0；

(3)比较讨论(1)、(2)的求解结果。

7 结论

(1)提出浮动滚子推杆等跨凸轮机构新构型，给出尺寸综合问题的准确描述；提出其形态特征与条件，揭示与等径凸轮机构的联系与差异。

(2)讨论解决了主/副滚子分布规律特征，运动角、休止角的牵连关系，摇杆返程位移规律等。

(3)通过主/副滚子中心归并搜索带域和归并整程区域套的正-逆映射求交的求解过程，揭示等跨凸轮机构复杂、独到的异质性研究内涵。

(4)通过对比等跨、等径凸轮机构的尺寸综合结果，充分论证了等跨凸轮机构的引入具有重要的机构学理论意义和工程实际价值。

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