运用“数学史”，润泽数学课堂教学

李莉

摘  要：数学史走进数学课堂已经成为时代发展之必然。用数学史润泽数学教学，可以让数学教学获得一种哲学高度、数学深度和教育心理学效度。通常情况下，数学史走进数学教学有链接式、再现式和融入式。当数学教学重返历史现场时，学生数学核心素养自然能够获得发展与提升。

关键词：数学史;数学教学;润泽课堂

在数学教育的发展史上，有两门学科对其影响最大：其一是数学，其二是教育心理学。“数学”主要回答“学什么”的问题，“教育心理学”主要解决“怎样学”的问题。作为人类“生命·实践”活动的智慧结晶，数学史不仅能展示数学发展史，而且能展示数学形态史、发现史、探究史。换言之，数学史不仅能让我们明确“学什么”（本质），而且能让我们明确“怎样学”（学习）。从这个意义上说，“数学史是数学教学的指南”（克莱因语）。

一、为何：数学史融入数学教学的意义

数学史之于数学教学究竟有着怎样的意义和价值？这里，笔者首先援引一些数学家的观点。法国数学家庞加莱说：“数学课程内容应按照数学史内容的发展顺序展现给读者。”中国科学院李文林教授认为，“数学史除了为历史、为数学而历史之外，还应该为教育而历史，也就是要充分发挥数学史的教育功能”。华东师范大学张奠宙教授认为，“数学史应当成为数学教育的有机组成部分”，等等。种种论述，无不说明数学史的作用。也就是说，数学史走入数学教学，将数学、数学史、数学教学融通起来应该是数学教学发展的必然。

1. 哲学的高度

将数学史融入数学教学之中，能够让我们拥有一种哲学的高度。在数学史上，一般认为存在着两种数学观念：一种观念将数学看成无可怀疑的真理集合，这种数学观是静态的;另一种观念将数学看成是动态的、可误的，是人类创造的产物，这种数学观是动态的。在小学数学教学中，如果教师能够结合数学知识的产生，结合数学史，比如数系的扩充，在小学阶段主要体现在从自然数到小数、分数，从正数到负数，从有理数到无理数（π、黄金分割数）等的演变和发展，学生就能立足于数学观、数学哲学的高度领悟数学本质。

2. 数学的深度

将数学史融入小学数学教学之中，能够让学生感悟到数学的思想、方法，从而获得一种数学的深度。这种深度不是通过简单的说教所能奏效的，而是一种慢慢浸润、逐步感悟的过程。比如，刘徽的“割圆术”蕴含的极限思想，《九章算术》中推导三角形的面积计算所蕴含的“以盈补虚”思想，“用字母表示数”中所蕴含的代数思想，等等。数学史在展示数学知识原始背景、直观基础、思维过程和方法等方面具有得天独厚的优势，能有效地促进学生对数学知识本质的深刻理解。

3. 教育心理学的效度

一般认为，作为一名小学数学教师，除了熟谙本体性数学知识外，还必须通晓教育心理学知识，只有这样，教学才会具有效度。其实，数学史不仅能让我们理解数学知识，也能让我们获得教学启示。因为，正如教育心理学家霍尔所说的，“个体心理发展萎缩了人类心理发展的历史”。因此，在小学数学教学中融入数学史，能够让我们洞察“人类数学探索的关键步子”，从而获得教学的启迪。比如教学《用字母表示数》，教师可以深入学习“人类用字母表示数的历程”;教学《认识负数》，教师可以深入学习“负数的诞生史”等。这样，教师在进行数学教学时就不会盲目，就能获得一种历史理性。

著名數学教育家陈省身说：“了解历史的变化是了解这门科学的一个步骤。”在数学教学中融入数学史，不仅能够让学生认识到数学知识的“庐山真面目”，而且能够发展学生的思想，拓展学生的数学视界，浸润学生的数学文化，提升学生的数学精神。

二、何为：数学史融入数学教学的路径

根据历史发生学原理和认知理论，教师可以采用多种方式将数学史融入数学课程与教学之中去。一是融入数学课程、数学教材之中去，这是教学专家、教材编者所要思考和实践的问题;另一种是进入数学教学、数学学习、数学探究之中去，这是师生所要共同思考和实践的问题。这里，笔者站在教师角色的立场上，试图探寻数学史融入数学教学的一般路径。

1. 链接式教学，凸显数学史的感知意义

数学史融入数学课堂教学，通常来说有两种途径：一是采用直接的方式，即链接式、再现式;二是采用间接的方式，即融入式。其中，链接式是许多教师经常运用的数学史介入数学的方式。比如，在数学教学中，教师通过图片或者视频、音频的形式展示数学史知识，从而让学生了解数学知识的来龙去脉、前世今生。从根本上说，每一个数学知识点的背后都凝缩着鲜活的数学历史，包括数学知识的诞生背景、数学家探索数学知识的故事、介绍数学历史名题、历史解法，等等。在数学教学中链接数学史，能够凸显数学史的感知意义。

比如，一位教师教学《异分母分数加减法》（苏教版小学数学五年级下册），首先带领学生探究各种算法，如“化小数法”“画图法”“通分法”。在学生掌握了“通分法”后，教师向学生介绍中国古代的“齐同术”：“众分错杂，非细不会。乘而散之，所以通之。通之则可并也。凡母互乘子谓之齐，群母相乘谓之同。同者，相与通同共一母也。齐者，子与母齐，势不可失本数也。”（《九章算术注》）引领学生讨论“齐同术”，归纳其与通分法的异同，归纳各自优点与不足。尽管通分在我国有着久远的历史，但在当时的古埃及、欧洲，通分却是一件特别困难的事情。这时，学生油然而生出一种自豪感，激发起研究数学的远大理性。尽管这样的“链接式教学”比较简单，似乎是一种点缀、一种装饰，似乎是数学史的较低层次的运用，但我们决不能忽视它的价值。

有时候，数学史上一个小插曲、一个一闪即逝的小故事，往往就是学生数学探究的兴奋点，就是学生数学学习理想的萌生点。在数学教学中，采用链接式教学，能够激发学生的好奇心、求知欲，引发学生的探究激情，在学生稚嫩的心里播下渴望知识、渴望数学研究的种子。

2. 再现式教学，凸显数学史的理解意义

如果“链接式教学”是数学史的简单介绍，触及的是学生感知的话，那么“再现式教学”则是选取数学知识形成的切片或者数学思想方法运用过程中的关键节点、片段进行展示。可见，再现式数学史的数学教学，聚焦的是数学学习的重点、难点、疑点等。可见，再现是在数学与数学历史之间架构一座桥梁，用以发展学生的数学思维，激活学生的数学想象，培育学生的数学核心素养。

比如，教学《可能性》（苏教版小学数学四年级上册），笔者组织学生开展了“抛硬币”活动，让学生感受、体验“等可能性”。学生以两人小组为单位，一个学生负责抛硬币，另一个学生负责记录。全班分成了二十多个小组，其中一些小组抛了10次，一些小组抛了20次，还有一些小组抛了50次、60次、70次、100次，等等。在全班交流時学生发现，抛10次的小组，正反两面相差的次数差很多;抛100次的小组，正反两面相差的次数差不多。据此，学生发现：抛的次数越多，正面和反面朝上的次数越接近。在这个基础上，笔者运用多媒体课件，再现出历史上科学家们的“抛硬币数据”，孩子们惊呆了。原来，学生以为自己抛一百次是多余的，不用抛就能猜出结果，现在看到数学家们的抛硬币数据，纷纷折服于数学家们探究数学的严谨精神。

数学史的再现不是“简单复制”，而是一种能够反映数学发现条件、意义和认识过程的片段展示。通过数学“抛硬币”实验，学生体验到事件发生的随机性，体验到事件发生的可能性的大小。而数学史的再现，让学生深刻感受、体验到“等可能性”从定性猜测到定量刻画的过程。在这个过程中，学生还感受到数学家们进行数学探究的可贵品质。

三、融入式教学，凸显数学史的创造意义

著名思想家波利亚指出，“只有理解人类如何获得某些事实或概念的知识，我们才能对人类的孩子应该如何获得这样的知识做出更好的判断”。运用数学史的最高境界是：教师不提数学史，但学生却在真实地经历着数学史。因此，教师要创设情境，引领学生重蹈人类探究的关键步子。如果说数学史的“链接式”“再现式”是一种显性运用的话，那么“融入式”教学，则是数学史的隐性运用。

比如，教学《用字母表示数》（苏教版小学数学五年级上册），教师可以与历史同步，优化教学过程设计，让学生主动经历知识的再建构、再创造过程。笔者在教学中首先用可见的方式出示“用小棒围成的1个、2个、3个三角形”，让学生思考并表示“围4个、5个、6个三角形需要多少根小棒？”“继续摆下去呢，怎样表示？能否用一个算式表示三角形的个数与小棒的根数之间的关系呢？”当学生通过交流形成了“a×3”后，教师再引导学生思考这里的a的变化范围，进一步理解“用字母可以表示变化的数”。这里，学生快速地经历了“用字母表示数”的发展史，即文辞代数、缩写代数、符号代数的三个历史阶段。字母不仅可以表示已知的数，还可以表示未知的数;不仅可以表示确定的数，还可以表示不确定的数。学生学习“用字母表示数”的过程与代数知识的发生、发展的逻辑过程相一致。这样的教学，无疑是有效的。

融入数学史的数学教学，更能凸显学生的创造意义。数学史成了推进数学教学的内在依托，教师站在历史高度，循着数学知识在历史上的发展脉络和学生数学学习的心理规律，将数学知识的发展脉络与思想演进悄无声息地融入学生的数学学习之中，能促发学生数学的深度思考与探究。

数学史是数学教学取之不尽、用之不竭的一座宝藏，含有丰富的数学教学素材、数学思想养料。站在数学史的高度审视数学教学，我们发现，数学教学因为数学史而厚重，数学史因为数学教学而修远。因此，教师必须将数学史以适当的方式融入数学教学之中去。当我们用数学史去照耀学生数学学习现实时，当数学教学重返历史现场时，学生的数学核心素养就自然能够获得发展、提升。