心智图像：让学生与数学深度遇见

沈燕

摘  要：“心智图像”是学生在数学学习中形成的一种知识“对应物”。在小学生的数学学习中，心智图像通常是从直观动作向具体形象转变，从单子分割向整体统合转变，从内在主观向外在客观转变。学生的心智图像主要有基于原型的心智图像、基于范例的心智图像、基于表征的心智图像和基于结构的心智图像。心智图像，让学生与数学深度遇见。

关键词：心智图像;图像特质;图像作用;深度学习

心理学研究成果表明：当一个数学概念被重新提及或某个数学问题被接触，人们的记忆就能被瞬间激活，从而在心理形成一种对应物，学生数学学习力的高低取决于这种心理对应物的激活程度。这种“心理对应物”即是一种“心智图像”（又称为“心理意象”）。在数学教学中，借助心智图像，能促进学生对数学知识的深度理解、深度探究。心智图像，让学生与数学深度遇见。

一、小学生数学学习中的心智图像特质

如上所述，心智图像又称为心理意象，心智图像可以是直观的，也可以是语言、符号等形式形象的混合。在认知心理学中，“图式”可以看成是心智图像的上位概念。关于图式，瑞士心理学家皮亚杰将之定义为“动物的结构和组织”，为此，皮亚杰还创造了两个概念术语来诠释这种图式的形成过程：一是同化，二是顺应。心智图像就是被人理解、建构了的图式。心智图像并不是一成不变的，而是可以被不断重构、润泽。心智图像并不是一个新概念，其很早就出现在哲学、心理学之中，只不过在数学教学研究中尚显稚嫩。法国著名数学家笛卡尔将之称为“心理意象”，著名数学教育心理学家斯坎普将之称为“心灵映象”，等等。

1. 从直观动作走向具体形象

心智图像是学生在内心形成的视觉意象或想象意象，因而具有直观形象性。小学生的数学学习，主要依赖于其心智图像。值得注意的是，小学生的直观形象的心智图像已经从直观动作为主转向具体形象为主，并且具有了一定的概括性、抽象性。比如，学生通过长方形桌面、门面、黑板面等抽象成长方形图像。借助这种长方形的心智图像，学生能够迅速判定一个图形是否是长方形，同时还能促进学生深度学习，将正方形也纳入长方形之中（一种特殊的长方形）。

2. 从单子分割走向整体统合

如上所述，学生的心智图像不是一成不变的，而是出于动态发展过程之中。心智图像是不断丰富、不断完善、不断发展的。心智图像具有一种不断舍弃次要、非本质、非关键信息，突出本质属性的能力，它总是力图抓住主要的、本质的、关键性、实质性的东西。比如，学生对于正方形、长方形、菱形、平行四边形等图形的认识，低年级学生建立的图形心智图像是“各自为政”的，随着学习的不断深入，学生对自身的心智图像不断地进行加工，这些心智图像从分割走向统合。原来，长方形、菱形是平行四边形，正方形既是长方形又是菱形等。

3. 从内在主观走向外在客观

学生心智图像的建立，是从感性走向理性、从主观走向客观、从肢体走向心智的过程。在小学低年级学段，学生心智图像往往依靠学生的生活经验，因此教师需要联系学生的生活经验，需要创设情境。随着年级的上升，学生的心智图像开始走向客观。他们逐渐“毋意”“毋必”“毋固”“毋我”。比如学生开始学习《间隔排列》，其在内心建立的图像是直观形象的，甚至是具体的。随着年级的升高，学生不再借助于具体的物象，而是形成了符号化的心智图像，他们会将间隔排列纳入到周期现象中，由此形成更为上位的抽象认知。这种逐渐摆脱物象、具象、形象走向抽象的过程就是心智图像客观化、形式化的过程。

在数学教学中，当学生面对所要解决的数学问题时，当学生遇到新知情境时，可以借助心智图像，将复杂的问题简单化、将抽象的问题具体化，将陌生的问题熟悉化。从心智图像中获得问题解决思路、策略。从这个意义上说，心智图像是学生数学学习的内在眼睛。

二、小学生数学学习中的心智图像功用

学生的数学思维总是与心智图像相生相伴、相随相融的。正如古希腊著名哲学家亞里士多德所说：没有心智图像就无法思维。在数学教学中，教师要运用一定的策略，帮助学生选择、建构恰当的心智图像，进而深度地理解数学知识，获得解决问题的思路，灵活地解决数学问题。

1. 基于原型的心智图像，让意义更明确

学生建立的心智图像，有一部分来自事物原型。这些基于原型的心智图像，让数学知识的意义更加明晰。比如教学《三角形的高》（苏教版小学数学四年级下册），教师可以借用“人字梁”等生活经验的原型，让学生建立“高”的心智图像（从顶点到对边的垂直线段）。在事物原型心智图像的基础上，教师可以借助学生的三角板，让学生的心智图像打破固着状态，对学生的心智图像不断地丰富、完善，使学生建立的心智图像更准确、更科学。原来三角形的高不仅可以在三角形的内部，也可以在三角形上。接着，将“人字梁”换个方向，引导学生从“人字梁”的另一个顶点向对边作垂线，这时三角形的高在三角形的外部。如此，借助于数学模型的生活原型，从不同的视角补充、丰富、完善三角形高的心智图像。将学生的心智图像进行纯化，即高是不管方向、方位的，而是从顶点到底边的垂直距离。

2. 基于范例的心智图像，让内涵更清晰

学生的心智图像具有相对的稳定性。因此，在数学教学中，教师可以运用范例，帮助学生建立心智图像。以范例作为心智图像，能够让学生掌握的数学知识内涵更加清晰。比如，教学《有余数的除法》后，学生对“余数必须比除数小”“被除数等于商乘除数加余数”还是不甚理解。为此，教师通常会写出一个个算式，让学生进行计算，学生通过不断地试商、调商，让余数比除数小，但学生由于缺乏心智图像，对“余数必须比除数小”的理解是肤浅的。为此，教师可以让学生不断地返回本源，通过让学生借助《有余数的除法》开始学习平均分小棒的操作范例，促成学生理解“如果余数比除数大，还可以继续平均分”，从而对“余数必须比除数小”形成内涵理解。基于范例，让学生不断返回知识的鲜活本源，从中获得启发。原来，余数比除数大，就可以继续平均分，从而增大商。从中，学生还会感悟到：余数和商有关系——余数变大，商会变小;余数变小，商会变大。

3. 基于表征的心智图像，让本质更凸显

学生建立的心智图像有时比较模糊，既不全面也不深刻，需要教师从不同层面，运用不同的表征去进行解析。基于多元表征的心智图像，能够让知识的本质更加凸显。比如，教学《间隔排列》，教师可以引导学生借助实物、模型、图像、符号、语言等不同表征形式，从不同的方面去对数学知识进行表征。比如对于“两端物体相同时的间隔排列规律”，有学生用实物操作，有学生画出图形，有学生用文字叙述，有学生用符号表达，还有学生伸出手借助手指和手指缝进行说明，如此等等。不同的学生展示不同的表征，让间隔排列的数学知识本质得到最佳的凸显。学生在内心形成了不同的心智图像。有了这样稳固的心智图像，不管问题怎样变化，如两端都栽树、两端都不栽树、只一端栽树、封闭图形上栽树等，学生都能根据条件的变化而变化相应的心智图像。正所谓“不管风吹雨打，胜似闲庭信步”。

4. 基于结构的心智图像，让知识更明朗

数学是对结构的建构。有时候，单子式的知识不容易让学生所理解，而借助知识结构，则能够让学生认识其本质。数学知识犹如一个网状结构，知识点就是这个网状结构中的节点。基于结构的心智图像，就是指教师在教学中要及时将新知纳入知识系统之中，以便让学生形成完整的认知结构。当然，学生的认知结构应该始终处于开放状态。比如教学“圆”这一单元，学生学习了圆的周长、圆的面积公式后，对圆的半径、直径、周长之间的基本计算公式以及变形公式不能熟练地运用。究其根本，是因为学生没有能够把握它们之间的关系。基于此，笔者构建了一個三角形结构，三角形的顶点分别是圆的半径、直径和周长，其关系分别为2，π，2π的关系。学生借助结构图，能够熟练记忆d=2r，r=d÷2，C=πd，d=C÷π，C=2πr，r=C÷2π等公式，并能详细解释其形成过程。在这个过程中，圆的半径、直径、周长的三角形状公式图介入到学生心中，成为其心智图像。

在小学数学教学中，心智图像有着十分重要的作用。它能让学生清晰地把握数学知识的本质，把握数学问题的关键。心智图像是学生深刻理解数学知识的“抓手”，能优化学生认知结构，让学生更好地理解数学本质、形成探究数学能力，发展学生的数学核心素养。教学中，教师要根据学生的具体学情和数学知识的特质，因“题”而异、因“时”而异，运用不同的方式建构学生的心智图像，让学生的心智图像更好地为学生的数学学习服务。