在抽象和联系中，发展空间观念

王超园

摘  要：以《观察的范围》一课为例，通过对教材与学情的分析，从学生的真实需求切入，进行了两次教学实践。结合两次教学实践，综合运用抽象、建模、推理、想象等方法，得出本节课发展空间观念的几个形成点，并为后续的教学提供一些思考。

关键词：空间观念;抽象;观察的范围

《观察的范围》选自北师大小学数学六年级上册“观察物体”这一单元的内容。横向比较不同版本的教材，我们发现，其他版本的教材是没有《观察的范围》这一内容的。为什么北师大版教材要将这一内容编排进去？这看似不用老师教，学生也明白的道理，为什么教材还要放在六年级进行教学呢？

一、缘起，拨动学生内心的疑惑点

教材中给予了相关说明。这种“不像数学”的内容，有助于学生“空间观念”的形成和“空间推理”“空间想象力”的发展，还可以培养学生用数学的眼光观察生活的意识。这样解释似乎让人难以理解，直到一次上课后学生的提问，让笔者找到了答案。

【教学片段】

在让学生总结规律时，一位学生提出了这样的疑惑：为什么同样是观察点与阻碍点越近，第一幅图中是盲区越来越大，观察范围越来越小，而第二幅图中，怎么是盲区越来越小，观察范围越来越大了呢？这两题似乎矛盾了。

【反思分析】

对于学生的提问，是我没有预设到的。本节课就知识点而言，对于学生来说并不难，那么教学的重难点又应该放在哪儿呢？面对学生提出的疑问，我又该如何解决呢？这些课堂中真实存在的声音，让我不得不思考知识点背后蕴含的思想方法是什么？又该如何去落实。

二、明理，依托思维发展的支撑点

（一）查阅资料，从空间观念中谋出路

本节课既然属于“图形与几何”领域下“图形的认识”这一部分的内容，必然要培养学生空间观念的能力。课标中提到，对于物体的认识，学生要能根据特征抽象出几何图形，那么本节课，在学生总结出规律以后，是否可以再进一步研究，抽象出几何图形呢？

（二）重读教材，在抽象与联系中体验

重新研读教材，我们发现，本节课要求学生将眼睛抽象成数学中的“点”，将视线抽象为数学中的“线”。那么由点和线组成的图形，在本节课中就是一个个三角形，如图1和图2。

图1中，由于观察点越高，角1越小，所以对应分BC边越短，相应的盲区也会减少。同理，图2中，由于观察点越近，角2越大，对应的A′B′边越长，相应的盲区会增加。盲区大小的表现形式，其实就是从不同角度看，三角形的角与对应边长之间的关系，我们可以将其抽象成数学模型，这就帮助孩子由生活过渡到了数学。史宁中教授曾说“抽象的核心是舍去现实背景，联系的核心是回归现实背景”。除了抽象出模型，还应让学生与生活联系，用数学的眼光看待世界。看来也只有抽象思维逐步形成的六年级学生，才有能力用模型来解释生活现象。

三、重构，紧扣空间观念的形成点

针对以上思考，笔者对本节课的教学思路进行重组，整理如下：

【教学片段】

（一）探究观察点高低的变化

课件演示【师】：让我们再来回顾梳理一遍，你们的意思都是连接这两个点，再延长来确定看到和看不到的风景。这两个点，我们给它起个名字，这些老师眼睛所在的点叫观察点，阻挡视线的最高点叫阻碍点，看不到的地方叫盲区，比如这一块看不到的地方是王老师的盲区……看得到的地方叫观察的范围。

【师】我们将三位老师观察的结果放在一起看看，你发现了什么？

【小结】是的，从上往下看。观察点越高，观察的范围越大，盲区越小。【板书】

【师】生活中像这样研究观察范围的问题，可以用更简单的方式来表达。

课件出示，实物隐去，抽象出图形。

【师】请你想象一下，如果观察点继续变高，会发生什么变化？再变高呢？

是啊，这就是我们熟悉的“欲穷千里目，更上一层楼”。

（二）探究观察点远近的变化

【师】生活中不但有“登高望远”，还有“退一步，海阔天空”，请看“行驶中的大巴车”。请你找找这个例子中，观察点在哪里，阻碍点在哪里？

【师】现在请你动手画一画，并说说你有什么发现？

【小结】从下往上看，观察点越远，观察的范围越大，盲区越小。

（三）路灯下的影子

通过刚才的学习，我们已经知道了观察的范围跟观察点的高低和观察点的远近有关。现在请你用学到的知识，来解决一下影子中的数学问题。

【反馈】

发现1. 玲玲离路灯越近，影子越短。

发现2. 观察点不变，阻碍点的位置变了。

发现3. 观察点与阻碍点之间的距离发生变化，影子也会发生变化。

思考：如果玲玲继续朝着路灯走，影子会如何变化？什么原因引起了这些变化？

【小结】是啊，观察点的变化和阻碍点的变化都会引起观察范围的变化。

其实啊，玲玲在走的过程当中，这个角也在发生变化。

【延伸】在登高望远和行驶的汽车中，是否也有这样一个变化的角呢？请同学们课后再去研究。

【执教的总结与反思】

在这一节课中，笔者从已有的知识经验入手，深入细致地安排了作图的教学，并在此基础上，通過想象图形未来的变化趋势，让学生感悟产生盲区大小背后的真实原因。

（一）登高望远，初建模型。

从前期学生的回答中，我们发现，学生对于观察范围的影响因素是有一定的生活经验的，但是经验还没成型，不是每个学生都了解。所以在安排第一环节的教学时，教师在重点解决基础知识的前提下，进行了一定的提升，抽象出直角三角形的模型，如图4。

从比较三位老师的观察范围，让学生总结规律与经验并不困难，为了让学生学有所得，教师继续安排了想象延伸环节。“继续登高会如何变化？”让学生通过观察图形初步感受到，观察范围的大小其实与直角三角形中，角1的大小有关。

（二）退一步海阔天空，丰富表象。

本环节，学生充分交流生活中的有关观察范围的现象，丰富认知，让学生感受到数学与生活之间的紧密性，养成用数学的眼光去观察生活的意识。相较于之前的试教，增加了观察角度的变化引起的变化。在学生无法用直角三角形模型来解释原因时，初步的感受即两者观察的角度不同，观察点与阻碍点之间的距离不同。因此，在学生发现规律时，添加上观察的角度更科学合理，有利于空间观念的培养。

（三）对比联系，发现本质。

“有趣的影子”题中静止的“杆子”换成女孩玲玲，借助动画让学生充分感知玲玲在路灯下走动，她的影子由长变短，最后由短变长，使学生从中体会观察点与阻碍点的位置变化引起了影子的长短变化。再引导学生分析是什么原因引起影子的长短发生了不同变化。通过动态呈现（如图），让学生感受到神奇的角在作怪，抓住数学的本质。

在学生感受的基础上，回过头去验证之前两个例子中是否也存在这样的道理，给学生留有充分思考的时间，并让学生想象，玲玲继续往前走，影子会如何变化？角度又会如何变化？直观的演示与适时的想象、推理相结合，有助于学生空间观念的形成和“空间推理”“空间想象力”的发展。

四、反思，用数学的眼光观察生活

（一）变扶为放，深入研究

我们通过研究已经发现了，观察的范围与直角三角形中的角与边的对应有联系，那么可否以此为切入口，进行深入研究呢？在第一个环节“登高望远”中就帮助学生建立起模型，并用这个模型来解释一些生活现象。发现即使情境不同、变化的点不同，但本质上是相同的，都是建模，而后发现角度与边之间的关系。

（二）紧贴生活，学以致用

数学来源于生活，最终要回归到生活。本节课中，生活中的实例还不是很多，应该多让学生举例并说明其中的道理。从使用日常语言到使用几何语言，也是发展空间观念的重要手段。