指数函数与幂函数迷思概念的分析与转变

四川师范大学数学与软件科学学院(610011)甘良燕 邵利

一、研究背景

迷思概念的研究一直是西方教育学界关心的热点问题之一.研究的领域涉及物理、化学、科学、生物、数学等学科.台湾地区较早开始对迷思概念的研究,研究成果颇丰,对日常课堂的教学起到指导作用,而我国大陆地区在相关问题上的研究才刚刚起步,研究内容主要集中在化学、生物、物理等学科,有关数学学科上的迷思概念研究甚少.在CNKI上以“迷思概念”为主题从2000年到2017年进行检索一共检索到273条结果,以“迷思概念”并含“数学”为主题检索到17条结果,可见对迷思概念的研究较少,尤其是数学学科迷思概念的研究还很少.

幂函数与指数函数是两类重要的基本初等函数,也是高中数学课程中基础内容之一和刻画现实世界的几类重要模型之一.另外幂函数指数函数的学习有助于加深学生对函数概念的理解和应用.但是由于“迷思概念”的发生机制异常复杂,可归于日常生活的影响,事物表面或明显特征的影响,知识与文化背景的影响,同伴文化的影响,教学的误导,大众传媒的误导等.并且幂函数与指数函数的定义很相似,是形似质异的两类函数.对幂函数来说,底数是自变量,指数是常数,对指数函数来说,指数是自变量,底数是常数.两类函数不仅结构很相似,并且幂函数与指数函数的种类较多,各具特色,所以两者的概念和性质容易混淆.归为明显特征导致的迷思概念,又由于两类函数的性质比较复杂,在教学过程中由于教学的误导进一步导致迷思概念的产生.

迷思概念的产生不仅会让学生不能正确理解知识,而且还会阻碍学生对新知识的探究,影响后继的学习.为了帮助学生转变幂函数和指数函数的迷思概念,利用类比的方法从抽象到具体,利用函数的几何直观性,分析归纳幂函数与指数函数,转变学习中产生的迷思概念,从而高效学习.

二、指数函数与幂函数迷思概念的探查

指数函数的定义是“一般地,形如的函数叫做指数函数”也就是说指数为自变量,底数为大于0且不等于1的常量的函数称为指数函数.幂函数的定义是“一般地,形如的函数叫做幂函数”即以底数为自变量,幂为因变量,指数为常数的函数称为幂函数.两类函数的定义都是形式定义,并且很相似.但两类函数的的概念实质和函数性质不同,是形似质异的两类函数.两类函数在定义域,值域,定点,单调性,和奇偶性等函数的基本性质上也是很容易混淆的.

通过以上的分析,明确了学习指数函数和幂函数时客观存在迷思概念,然而从整体来看,辨识两类函数是有规律可循的.为了适应新的知识需要采取同化或者顺应的方式,已达到知识结构的平衡所谓同化,是指学习者凭借既有知识,采取类推的方式将新知识纳入原有认知图示.类比教学是一种科学的教学方法,利用类比的科学思维特点,可以简化学生对科学概念的理解.幂函数的学习在指数函数之后,所以可以类比指数函数对幂函数的学习进行同化.这属于是建立在学生已有观念基础上的策略.另一种有效的方法是使用多媒体教育技术创建学习环境转变概念,利用几何画板作出幂函数和指数函数的图像让学生自主观察图像特征.观察后把学生分成小组进行讨论并展示讨论的结果.这个过程让学生直观的进行探索,观察发现,交流符合学生的认知规律和思维习惯.

三、指数函数、幂函数迷思概念的转变

在指数函数与幂函数的学习中,加深对它们的理解才不会把它们混为一谈,常通过图像来对比性质,进行总结.下面通过图像来对性质进行总结,在同一坐标中画出幂函数的图像(见图1),同时在另一个坐标系中画出指数函数的图像.(见图2)

图1

图2

所有的幂函数在x∈(0,+∞)都是有意义的,所以取x∈(0,+∞)来观察幂函数当时的函数图像.从定义域,值域,最值,定点,单调性,奇偶性与图像分布等进行分析,总结性质.幂函数有下面七条性质.

(1)幂函数恒过定点(1,1),既是当x=1时,函数值y=1,与a的取值无关.

(2)当a＞0,幂函数在(0,+∞)上为增函数,当a＜0时,幂函数在(0,+∞)上为减函数.

(3)当a＜0时,有当x趋于+∞时,y趋于0,既是幂函数图像向右趋近于x轴,当y趋于+∞时,x趋于0,既是幂函数的图像向上趋近于y轴.

(4)当x∈(0,1)时,随着a的值增大,幂函数的值越小,当x＞1时,随着a的值增大,幂函数的值越大.

(5)幂函数在x∈(0,+∞)没有最值.

(6)幂函数的图像不可能出现在第四象限.

(7)幂函数的奇偶性辨识,幂函数的奇偶性是在图像有双支的情况下讨论.其中,当分子p是奇数时则幂函数是奇函数,当分子p是偶数时幂函数是偶函数.

由图像把幂函数统一在第一象限来分析单调性,在第一象限由指数的正负决定单调性,指正函数单增,指负函数单减.函数在坐标轴里的定点有区别,指正函数过两定点(0,0)和(1,1),指负函数过一个定点(1,1)且无限的逼近x轴和y轴但与两坐标轴不相交.幂函数的图像有单支与双支的区别,幂函数(p,q是互质的正整数,q＞1),当q为偶数时,由偶次根式下被开方数大于0可知图像是单支的在第一象限;当q为奇数时,图像有双支,具体在哪个象限由分子p的奇偶性决定,p为偶数在一,二象限,p为奇数在一,三象限.幂函数指数分子的奇偶性决定函数的奇偶性,分子是奇数幂函数为奇函数,分子为偶数幂函数为偶函数.

对于指数函数,观察的图像.当a＞1或0＜a＜1时,函数的图像位于一、二象限,同样的从定义域,值域,定点,最值,单调性,奇偶性和图像分布来分析指数函数的性质,进行总结.

(1)指数函数的定义域是R,值域是(0,+∞).

(2)图像恒过定点(0,1).

(3)当a＞1时,在R上是增函数,当0＜a＜1时,在R上为减函数.

(4)指数函数的图像不可能出现在第三、四象限.

(5)指数函数没有最值,没有奇偶性.

关于定点可以利用图像直观的看出指数函数与幂函数的区别.幂函数的图像当a＞0时过定点(0,0)和(1,1),当a＜0时过定点(1,1).而指数函数的图像过定点(0,1).指数函数恒过一点,而幂函数需要对指数分情况来讨论确定图像过的定点.两函数的单调性都是以常数进行判断的,指数函数是以底数与1的大小进行判断.大于1单增,小于1(大于0)单减,幂函数大于0单增,小于0单减.幂函数中函数的奇偶性与指数的奇偶性有关,而指数函数无奇偶性.幂函数的图像不可能出现在第四象限,指数函数的图像不可能出现在第三、四象限.

四、小结与启示

指数函数与幂函数虽然有很多相似的地方,但是仔细分析发现无论是形式还是性质,两类函数都有很大的区别.通过指数函数与幂函数迷思概念的分析,寻找迷思概念的转变方法.一方面是基于学生原有的认知通过类比的教学模式来达到,另一方面是选择合适的教学媒体例如几何画版等,把抽象的概念具体化,使学生正确表征函数.

改变教学模式,减少迷思概念的形成.对于同样的教学内容考虑学生的认知,设计不同于传统的教学方法是有效的方法之一.合理选择教学媒体,把抽象的概念内容直观化帮助学生形成科学的概念.