化学图论与极值图论中的代数方法

范益政

(安徽大学 数学科学学院，安徽 合肥 230601)

图论是离散数学最重要的分支之一，主要研究有限个对象的二元或多元关系，或有限集的子集系统，在数学、自然科学和社会科学等领域都有着重要的理论意义和应用价值.

图论的研究可追溯到1736年伟大数学家欧拉发表的一篇论文“哥尼斯堡七桥问题”，从此诞生了图论和拓扑学.经过200多年的发展，现代数学的理论和方法逐渐应用于图论研究，例如，应用代数研究图论发展为代数图论、应用概率研究图论发展为随机图论、应用拓扑研究图论发展为拓扑图论等.图论与其他学科的交叉也形成若干新的研究领域，例如，与结构化学的交叉形成化学图论，与算法研究的交叉形成算法图论等.

该专栏选取3篇综述文章，其中前2篇分别介绍化学图论和代数图论中的两个热点问题，即图能量和谱极值图论.第3篇文章则是连接离散数学与连续数学，介绍了时间测度链上动力方程振动性的进展.诸多连续数学的理论和方法都有离散情形下的比拟，所以离散数学与连续数学虽有差异，但也存在诸多近似和共性之处.这3篇文章为感兴趣的研究者特别是青年科学工作者集中提供具有代表性的学术信息，帮助他们快速进入研究领域，从而创造出更多有意义的成果.

分子图或化学图是化合物结构式的图表示.1937年著名数学家Pólya应用群论研究分子图的计数，或确定同分异构体的个数.1975年诺贝尔化学奖得主Prelog提出更应关注分子图的代数性质.图的能量定义为图的邻接矩阵的特征值的绝对值之和，反映共轭碳氢化合物的π-电子的能量级.邓波等的文章“边界能量图研究的综述”则介绍国际上关于边界能量图的经典结果和最新成果，包括边界能量图的搜索与构造、边界能量图的边数的下界、度条件下边界能量图的结构性质、拉普拉斯边界能量图等.研究问题来源于1973年著名理论化学家England和Ruedenberg发表于J. Amer. Chem. Soc. 的一篇文章所提的问题：为什么化合物的能量总大于其化学图的阶数?

极值图论研究起始于图论学家Turán于1941年刻画了不含Kr+1作为子图的所有n个顶点的图中边数最多的唯一极图, 后称为Turán图.1975 年Szemerédi 发现的正则性引理是解决极值图论问题的重要工具.极值图论主要研究满足某种结构性质的极大或极小图，或者说图的整体性质如何影响局部性质.谱极值图论是极值图论的谱版本，即研究具有某种谱性质的极大或极小图.著名的组合学家Nikiforov曾描述：很多极值图论的成果能被转变成谱极值理论的成果，并且这些转变的成果又能反过来加强原来的成果.陈明珠等的文章“谱极值图论的最新进展和相关问题”系统地介绍关于谱极值图论的近年来的最新研究成果和进展, 包括含有各种Turán类型(例如完全子图、线性森林、圈、二部图以及图子式等)邻接谱和无符号拉普拉斯谱, 并介绍了该领域的尚未解决的猜想和相关问题.

1990年德国学者Hilger提出时间测度链的概念，并由此创建了时间测度链上动力系统理论.时间测度链是实数域的闭子集，当时间测度链为实数集或整数集时，时间测度链上动力方程的理论则分别表示微分方程和差分方程的经典理论.杨甲山的文章“时间测度链上动力方程振动性的进展”则综述了时间测度链上的基本概念及动力方程的基本理论以及动力方程振动性的最新进展, 也叙述了作者研究所得的一些最新成果，并提出了进一步研究的问题.

附 专栏主持人简介：

范益政，安徽大学数学科学学院教授、博士生导师、中国科学技术大学博士，曾在南京师范大学从事博士后研究工作和加拿大里贾纳大学从事访问学者研究工作.2010年入选教育部新世纪优秀人才支持计划，2013年入选安徽省学术与技术带头人.中国工业与应用数学学会图论组合及应用专业委员会副主任委员，中国运筹学会图论组合学分会常务理事，安徽省数学会常务理事，安徽大学数学科学学院院长.主要研究领域为代数图论及其在信息科学中的应用.主持完成3项国家自然科学基金项目.在SIAM J MATRIX ANAL APPL, EURO J COMB, GRAPH COMB, LINEAR ALGEBRA APPL, LINEAR MULTILINEAR ALGEBRA, DISCRETE MATH, DISCRETE APPL MATH等期刊发表论文100余篇, 其中被SCI收录62篇，EI收录51篇，美国数学会 Mathematical Reviews收录92篇.研究成果“代数图论与化学图论研究”和“谱图理论研究”获安徽省自然科学奖三等奖.