中学数列中的探索性问题分析

张应花

（贵州盘州市第一中学）

在数学的探索性问题的分析中，我们可以将数列中的数学疑问看成是数学的做题前提、依据、方法和结论这四个部分构成的一个体系，如果这四个部分中有两个具有不确定性，则这类数学问题我们称之为探索性问题。探索性问题可以分为如下几种类型：条件探索性问题、结论探索性问题、存在探索性问题、规律探索性问题。

一、规律探索性问题

例如：数列{kn}中 k1=3，k2=6，已知 kn+2=kn+1-kn，那么求出k2009=？

从这个题中我们可以看出k3=k2-k1=3，k4=k3-k2=-3，k5=k4-k3=-6，k6=k5-k4=-3这时我们可以看到{kn}是一个有规律的数列分布，其循环周期为6，也就是说k2009=k5=k4-k3=-6

这道题从根本上来看，我们从分析的过程中找出了数列的周期性，从而将复杂的问题简单化，但是这种问题的局限性在于其无法成为命题的证明。

二、条件探索性问题

这类问题的特点在于这种探索性问题的条件具有开放性，学生可以通过分析法根据结论与已知的条件来探索出前因来，但是这类问题需要解决的不是问题的充要条件，而是充分条件，学生只要具备良好的洞察力，问题都会解决掉。

已知正项数列{kn}的前 n 项和为 Sn，且 kn=S·nSn-1，（n≥2，Sn≠0），且已知 k=，求证为等差数列。1

证明：∵n≥2 时，kn=S·nSn-1

∴Sn-Sn-1=S·nSn-1

∴1/Sn-1/Sn-1=-1

∴1/Sn是公差为-1的等差数列。

从如上的问题的证明中，可以发现，对这种存在的条件探索性问题，其基本思路就是根据题中所给出的结果找出问题中存在的因，在做题的时候一定要先寻找使其结果成立的必要条件，然后再通过论证找到可以使结果成立的前因，即条件，在这一过程中，我们一定要考虑推理过程的可逆性，也就是在论证的过程中一定要说明你所持的条件为必要条件，确定条件是否多余要着眼于每个条件对所求或所证的对象的确定性，判定条件正误多从构造反例入手。

再如下题：Sn是数列{kn}的前 n 项和（n∈N*），k1=k=3n2kn+Sn-1.kn≠0，n=2,3,4,…

找出一个数k（为奇数）使以18为首项，7为公比的等比数列{Z（}n∈N*）中的所有项都是数列{kn}中的项，并指出Zn是数列{kn}中的第几项。

解析：由上面的证明中我们可以得出S1+S2=12，因此得出k2=12-2k，k3=3+2k.又因为数列{k2k},{k2k+1}都是以 k2，k3为首项，7 为公比的等比数列{Z（}n∈N*）中的所有项都是数列{kn}中的项，同时k为奇数，k2k+1为奇数，而Zn不是数列{k2n+1}中的项，那么就一定会是{k2n}的项。另外Z1=18，可以得出k=3，得出Zn是数列{kn}中的第6·7n-1+2k/3-2

点评：这里面给出的k的数值是不确定也不唯一的，但是从他给出的限定的范围来看k为奇数，可以确定k是任何的一个奇数，这就可以将最后的数值范围确定在{kn}中的第6·7n-1+2k/3-2。

三、存在性探索问题

这是一类在假定题中的数学对象存在或已经知道的结论是成立的前提下，认可其中一部分的结论然后在这一基础上进行逻辑思维推理时导出矛盾，推翻前面的假设的过程，然后给出的是正确的结论，这种反证法在解题的过程的利用起到了非常重要的作用。

已知数列{an}中，a1=8，a4=2，且 an+2-an+1+an=0（n∈N*），求数列{an}的通项公式。

解析：这道题中an+2-an+1+an=0（n∈N*）中已经给出一部分数值，依据这部分题意可以求出an=10-2n。

点评：这种存在性探索的特点就在于问题与前提条件具有假定存在特点，根据这种假定存在性，可以寻找到存在的合理性，与数列最值有关的问题，都可以利用数列的单调性来完成解题的过程。

综上所述，我们可以发现，这四种解数列的方式，是根据数列不同的存在方式来求解的，因此在确定何种解题方式的时候，需要先明确题间关系与题的条件。

［1］优春玲.浅谈中学数列中的探索性问题［J］.甘肃联合大学学报：自然科学版，2012（1）.

［2］杨美璋.利用零数列求解探索性问题［J］.数学教学研究，2003（7）.