Carlson不等式在高中数学解题中的应用及思考

甘肃省张掖市肃南县第一中学

严天珍 (邮编：734400)

1 问题提出

自20世纪初著名德国数学家菲利克斯·克莱因(Felix Christian Klein)的代表作品《高观点下的初等数学》闻世至今，用高等数学的观点、原理和方法，认识、理解和解决中学数学问题成为广大数学教育工作者近百年来研究的热点．伴随着科学技术的高速发展和中学数学教学内容的日益革新，向量、概率论、微积分等高等数学中的内容均已逐步引入高中数学教材；不仅如此，高等数学背景的数学题在近年高考和竞赛数学中更是频频出现．

Carlson不等式作为高等数学中的重要不等式之一，它与许多经典代数不等式和著名几何不等式有着很深的渊源[1]，因而近年来得到了诸多数学爱好者和考试研究者的广泛关注．本文从Carlson不等式入手，例析其在高中数学解题中的有力工具性和优美简洁性，同时论述了利用高等数学的观点、原理和方法解决中学数学问题的一些思考和启示．

2 Carlson不等式

定理Carlson不等式：设A为非负数构成的n×m矩阵

3 应用举例

例1(2017年高考数学全国卷II第23题)已知a>0,b>0,a3+b3=2.证明：(I)(a+b)(a5+b5)≥4;(II)a+b≤2．

解(I)因为a>0,b>0且a3+b3=2，

则由Carlson不等式得

两边平方，得 (a+b)(a5+b5)≥4．

则由Carlson不等式得

解因为x1,x2,x3是非负实数，满足x1+x2+x3=1，

则可构造非负数构成的3×2矩阵

则由Carlson不等式得

证明因为(a-1)2(a+1)≥0，所以a3+2≥a2+a+1，同理可得

b3+2≥b2+b+1，c3+2≥c2+c+1，

则由Carlson不等式得

证明因为a>0,b>0,c>0,abc=1，

构造正数构成3×2的矩阵

由Carlson不等式得

=bc+ac+ab，

再由基本不等式得

4 一些思考

从Carlson不等式在高中数学解题中的应用举例不难看出，高等数学的知识不仅丰富了解决高中数学问题的方法和手段，而且它在解决高中数学问题方面体现出的优越性更是不一而足；同时，用高等数学的知识解决高中数学问题的观点对指导高中数学教学、促进高中数学教材改革等方面具有重要启示．

1.4 借用高等数学知识，巧解高中数学难题

初等数学是高等数学的基础，高等数学是初等数学发展到一定阶段的必然结果，但高等数学较于初等数学更具思想性．因而对于某些中学数学难题，如果借用高等数学中的知识直接解决，或者先用高等数学的思想方法加以分析、再从中受到某种启示进而寻找一种技巧性的初等解法进行解决[2]，就会显得简洁有效、思路大开，从而克服遇到某些技巧性较强的高中数学难题束手无策的困境．

4.2 领悟高等数学观点，指导高中数学教学

德国数学家菲利克斯·克莱因曾指出：教师应具有较高的数学观点，理由是，观点越高，事物显得越简单．教师是否具有较高的数学观点，是衡量教师数学素质的重要标准[3].教师作为教学的直接实施者和课堂的主导者，如果在教学中能够内化高等数学观点并适时应用于高中数学教学，才能更好地理清数学知识本质、进而在教学中真正做到深入浅出．

4.3 下移高等数学内容，革新高中数学教材

1977年8月，邓小平同志在科学和教育工作座谈会讲话中谈到：教材要反映出现代科学文化的先进水平，要符合我国的实际情况，要合乎现代科学的发展水平，要用最新的科学知识教育青年．因此在科学技术高速发展的今天，抓住高等数学与初等数学知识的结合点，将需要的高等数学内容下移到高中数学教材，这将成为我国新一轮教材改革的方向之一．

1 沈文选．卡尔松不等式——一批著名不等式的综合[J]．中学数学(湖北)，1994(7)：28-30

2 吕世虎等．从高等数学看中学数学[M]．北京：科学出版社，2012

3 杨远廷．用高等数学的观点看中学数学教学[J]．德阳教育学院学报，2000，14(1)：44-45